Космическая геодезия
Контрольная
работа по «Космической геодезии»
Задача №1
Вычисление геоцентрических
экваториальных координат ИСЗ по данным его топоцентрических координат
В некоторый момент времени UTC с пункта
земной поверхности Р, геодезические координаты (B, L, H) которого
заданы относительно референц- эллипсоида Красовского с параметрами a и l ,
определены истинные экваториальные топоцентрические координаты ИСЗ и
топоцентрическая дальность до ИСЗ. Предполагается, что при
определении истинных топоцентрических координат ИСЗ учтены редукционные
поправки (прецессия, нутация) за переход от системы координат стандартной эпохи
(эпохи каталога J2000.0) к истинной системе координат
на эпоху наблюдения (момент наблюдения UTC - всемирное
координированное время).
Предполагается, что синхронным
методом решена задача по определению ориентировки (углов Эйлера, ψ, θ,
ω) референцной
(геодезической) системы относительно геодезической, а орбитальным методом
определены координаты центра
референц-эллипсоида Красовского относительно центра масс Земли.
Необходимо вычислить геоцентрические
экваториальные координаты ИСЗ и геоцентрическую дальность до ИСЗ.
Исходные данные
Координаты пункта наблюдения Р:
геодезическая широта
геодезическая долгота
геодезическая высота
Параметры референц-эллипсоида
Красовского
большая полуось
эксцентриситет
Координаты центра
референц-эллипсоида Красовского относительно центра масс Земли:
Углы Эйлера:
прецессии
нутации
чистого вращения
Координаты мгновенного полюса:
Истинные экваториальные
топоцентрические координаты ИСЗ и топоцентрическая дальность на эпоху
наблюдения:
дальность
прямое восхождение
склонение
момент наблюдения
Поправка за переход от UTC к UT11
Гринвичское звездное время в полночь
на дату наблюдения:
Решение
1. Вычисляем геодезические
прямоугольные координаты () пункта Р
в системе референц-эллипсоида Красовского.
Начало этой системы лежит в центре
референц-эллипсоида (рис. 1.1) ось совпадает с осью вращения
эллипсоида, ось направлена в
точку пересечения геодезического меридиана Гринвича с плоскостью экватора
эллипсоида, ось лежит в
плоскости экватора и положительна к востоку.
Рисунок 1.1
Прямоугольные геодезические
координаты пункта Р вычисляются по формулам:
Где N - длина
внутренней нормали к поверхности эллипсоида, вычисляется по формуле:
a - большая
полуось референц-эллипсоида Красовского.
. Вычисляем прямоугольные координаты
пункта Р в гринвичской системе координат.
Начало гринвичской системы координат
ОG совпадает с центром масс Земли (рис.
1.2).
Ось направлена в средний северный полис
Земли эпохи 1900-1905гг. (Международное условное начало МУН), ось направлена
в точку пересечения геоцентрического меридиана Гринвича с плоскостью экватора
эпохи 1900-1905 гг. Ось лежит в
плоскости экватора и дополняет систему до правой.
Из рисунка 1.2 видно, что начало
геодезической и гринвичской систем не совпадают, а их оси развернуты на
небольшие углы (углы Эйлера, ψ, θ, ω).
Таким образом, чтобы перейти от
прямоугольных геодезических координат пункта Р с началом ОГ
в центре референц-эллипсоида к прямоугольным гринвичским координатам с началом
в ОG в центре масс Земли, необходимо
осуществить перенос и разворот осей геодезической системы координат
относительно гринвичской системы.
Рисунок 1.2
Учитывая, что углы Эйлера, ψ,
θ, ω малы, порядка нескольких секунд,
переход от прямоугольных геодезических координат пункта Р к гринвичским
координатам осуществляется на основании следующего выражения в координатной
форме:
Выразим углы Эйлера в радианах:
. Вычисление гринвичских координат
пункта Р в инерционной системе координат.
Осуществляем переход от гринвичских
координат инерциальным
координатам пункта.
Для этого, на первом этапе,
вычисляем гринвичские координаты пункта относительно полюса по формулам,
записываемым в координатной форме:
Переведем углы в радианы
На втором этапе, учитывая истинное
гринвичское звездное время, осуществляем переход к инерциальным геоцентрическим
прямоугольным координатам пункта по формулам:
Где S - истинное
гринвичское звездное время, соответствующее моменту наблюдения UT1:
. Находим истинные прямоугольные
топоцентрические координаты ИСЗ на момент наблюдения UT1.
Начало топоцентрической системы
координат совпадает с пунктом наблюдения Р, а соответствующие оси параллельны
осям экваториальной геоцентрической (инерционной) системы координат.
Истинные топоцентрические
прямоугольные координаты ИСЗ вычислим по формулам:
. Находим геоцентрические
инерциальные координаты ИСЗ:
Формулы для вычисления
экваториальных координат и дальности:
Задача 2
Вычисление элементов невозмущенной
орбиты ИСЗ
Предполагается, что для двух
моментов UT1, из
обработки фотографических наблюдений ИСЗ получены топоцентрические направления на спутник,
а при помощи лазерного дальномера измерены расстояния до ИСЗ.
После вычисления геоцентрических
координат ИСЗ (см. задание 1) приступаем к определению предварительной орбиты.
Такая орбита и положение движущегося
по ней ИСЗ определяется шестью элементами. Два из них - большая полуось орбиты а
и эксцентриситет е определяют размеры и форму орбиты, три элемента
определяют ориентацию плоскости орбиты относительно осей инерциальной системы
координат, шестой элемент совместно с моментом времени определяет положение ИСЗ
до орбиты.
На рис. 2.1 изображена плоскость
эллиптической орбиты ИСЗ.
Точка П является перицентром
орбиты и максимально приближена к центру масс Земли, точка А является
апоцентром орбиты и максимально удалена от центра масс Земли. Линия,
соединяющая апоцентр и перицентр орбиты, называется линией апсид.
Рисунок 2.1
Уравнение эллипса в полярных
координатах (уравнение орбиты) имеет вид:
Где r -
радиус-вектор ИСЗ; V - истинная аномалия - угол
между направлением на перицентр орбиты и направлением на ИСЗ; Р -
фокальный параметр; а - большая полуось орбиты; е -
эксцентриситет орбиты.
Если вокруг орбитального эллипса
описать окружность радиусом равным большой полуоси а и восстановить в
точке С перпендикуляр к линии апсид и продолжить его до пересечения с
окружностью, получим точку С’. Соединим С’ с геометрическим
центром О орбитального эллипса. Угол между направлением на точку П
и направлением на точку С’ из геометрического центра О называется
эксцентрической аномалией Е, причем:
.
Шестым элементом, чаще всего,
является время прохождения
ИСЗ через перицентр.
Ориентация плоскости орбиты в
инерциальном пространстве определяется при помощи двух углов и (рис. 2.2).
Наклонение - угол
между плоскостью экватора и плоскостью орбиты ИСЗ.
Долгота восходящего узла - угол
между положительным направлением оси Х и направлением в точку .
Аргумент перицентра - угол между
направлением на точку восходящего узла и на перицентр П - задает
ориентацию орбиты в плоскости орбиты.
Аргумент широты U- угол между
направлением на и на ИСЗ.
Таким образом, нам необходимо
определить шесть элементов предварительной орбиты а,е, , , i, .
Рисунок 2.2
Исходные данные
Геоцентрическая гравитационная
постоянная:
Геоцентрические координаты и UT11 берутся из
задания 1
На второй момент вычисляются по
формулам:
Решение:
Формулы для вычисления
предварительной орбиты можно получить из решения прямоугольных сферических
треугольников (рис 2.3), используя формулы сферической тригонометрии.
Рисунок 2.3
. Из решения прямоугольных
сферических треугольников ϒС1С1’ и ϒС2С2’
получим формулы для вычисления долготы восходящего узла , наклонения
i, и аргумента
широты U:
. По упрощенной формуле Гаусса
находим фокальный параметр:
. Вычисление а, е, среднего
движения п.
Из уравнения орбиты получим формулу
для вычисления истинной аномалии:
После чего вычисляем эксцентриситет,
аргумент перицентра, большую полуось орбиты и среднее движение:
. Вычисление момента прохождения
через перицентр.
Исходные данные подобраны так, что в
задании будет иметь место эллиптическое движение (е<1).
А) Вычисляем эксцентрическую
аномалию Е по формуле:
Б) Из уравнения Кеплера находим
момент прохождения
ИСЗ через перицентр:
Задание 3
Определение полярного сжатия Земли
по вековым возмущениям оскулирующих элементов орбиты ИСЗ
геоцентрический координата спутник
орбита
Необходимо по вековым возмущениям
первого порядка в долготе восходящего узла , аргумента перицентра и начальном
значении средней аномалии , полученным
из наблюдений, найти полярное сжатие Земли .
Вековые возмущения в элементах
орбиты ИСЗ от второй зональной гармоники , характеризующей полярное сжатие
Земли, имеют вид:
Где фокальный параметр , -
коэффициент второй зональной гармоники, - средний экваториальный радиус
Земли, е - эксцентриситет орбиты, i -
наклонение орбиты, N - число оборотов ИСЗ.
В формулах параметр связан с
полярным сжатием (с точностью до квадрата сжатия) формулой:
- угловая скорость Земли, -
геоцентрическая гравитационная постоянная.
Исходные данные:
Средний экваториальный радиус Земли
Угловая скорость Земли
Геоцентрическая гравитационная
постоянная
Осредненные элементы орбиты:
большая полуось
наклонение
эксцентриситет .
Решение:
1. Вычисляем
период обращения Т ИСЗ по формуле:
2. Вычисляем
разность в долях
периода, где :
3. Находим
все разности:
Данные выражения - суть вековые
возмущения за промежутки времени, найденные в п.2 в долях оборота.
4. Произведем
следующие вычисления:
. Окончательное значение находим,
как среднее из трех значений: