Финансовая математика

СОДЕРЖАНИЕ

1. ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ

. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ

. ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТОВ

. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ

. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ

. КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ

. АННУИТЕТЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ

ЗАДАЧА. Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб. выдан на 120 дней с погашением в сумме 12 тыс. руб. За временную базу принять 360 дней. Определить: а) учетную ставку; б) процентную ставку.

Дано: t = 120 дней; k = 360 дней; Р = 10 тыс. руб.; S = 12 тыс. руб.;

Найти: i - ?; d - ?;

Решение:

а) формула наращения по простой учетной ставки:

, где

 - первоначальная сумма;

 - сумма погашения;

 - срок выдачи сертификата;

 - временная база;

 - учетная ставка.

Из формулы выразим учетную ставку

б) формула наращения по простой процентной ставки:

, где

 - процентная ставка;

Из формулы выразим процентную ставку

Ответ: простая учетная ставка составит 50 %, простая процентная ставка - 60 %.

ЗАДАЧА. Вклад размещен в банке на период с 20 июня по 15 сентября. Определить количество дней для начисления процентов при: а) германской; б) французской; в) английской практиках.

 - дата размещения вклада;

 - дата получения вклада;

 - количество дней для начисления процентов;

Дано: tП = 20 июня; tВ = 15 сентября.

Найти: t - ?

Решение:

         а) «германская практика» - обыкновенные проценты с приближенным числом дней. В этом случае год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом и временная база K = 360 дням.

20.06. - 15.09.

.06 - 30.06 - 11 дней

.07. - 30.07. - 30 день

.08. - 30.08. - 30 день

.09. - 15.09. - 15 дней

дней

Дата размещения и дата получения вклада считаются за один день.

t = 85 дней.

б) «французская практика» - обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней. Продолжительность года k (временная база) равна 360 дням. Точное число дней t определяется путем подсчета числа дней между датой размещения и датой получения.

.06. - 15.09.

.06 - 30.06 - 11 дней

.07. - 31.07. - 31 день

.08. - 31.08. - 31 день

.09. - 15.09. - 15 дней

дней

Дата размещения и дата получения вклада считаются за один день.

t = 87 дней.

в) «английская практика» - точные проценты с точным числом дней. Величина t рассчитывается как в предыдущем случае, а временная база принимается равной k=365 (366) дням.

t = 87 дней.

Ответ. Количество дней для начисления процентов исходя из английской практики определения процентов составит 87 дней; исходя из французской практики - 87 дней; из германской - 85 дней.

2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

ЗАДАЧА. Годовая ставка сложных процентов равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Решение:

Формула наращения сложных процентов имеет вид:

, где

 - первоначальная сумма;

 - наращенная сумма;

 - сложная процентная ставка;

 - период начисления (в годах);

Выразим из формулы период начисления n:

По условию сказано, что начальная сумма удвоится, т.е. S = 2P. Тогда

Ответ. Через 9 лет начальная сумма удвоиться при ставке сложных процентов равной 8%.

ЗАДАЧА. Вексель стоимостью 100 тыс. руб. учтен банком за 2 года до погашения по сложной ставке 30 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель при использовании в расчетах сложной учетной ставки?

Дано: S = 100 тыс. руб.; dсл = 0,30; n = 2 года.

Найти: Р - ?

Банковский учет по сложной учетной ставки производится по формуле:

, где

 - сумма, выплаченная по векселю;

 - сумма векселя;

 - сложная годовая учетная ставка;

- срок от момента учета векселя до даты погашения.

Ответ. Векселедержатель получит 49 тыс. руб.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ

ЗАДАЧА. Определить, какую сумму необходимо поместить на депозит, чтобы через 3 года владелец депозита получил 4 млн. руб. Применяемые процентные ставки: а) 8 % годовых; б) 12 % годовых.

Дано: n = 3 года; S = 4 млн. руб.; iсл(а) = 0,08; iсл(б) = 0,12;

Найти: Р - ?

Решение:

Формула математического дисконтирования по сложной процентной ставки имеет вид:

, где

 - первоначальная сумма вклада;

 - наращенная сумма;

 - сложная годовая процентная ставка;

 - срок действия депозита в годах;

А)

Б)

Ответ. При 8% процентной ставки поместить на депозит необходимо 3,175 млн. руб., при 12% - 2,847 млн. руб.

ЗАДАЧА. Вексель в сумме 4 тыс. руб. должен быть погашен через 80 дней с процентами 9 % годовых. Владелец учел его в банке за 10 дней до наступления срока по учетной ставке 12 %. Найти полученную после учета векселя сумму и величину дисконта.

Дано: Р2 = 4 тыс. руб.; i = 0,09; t1 = 80 дней.; t2 = 10 дней.; d = 0,12;

Найти: Р1 - ? D - ?

Решение:

Определим сумму полученную векселедержателем по формуле:

, где

 - сумма, получаемая при учете векселя;

 - первоначальная сумма ссуды;

 - простая годовая учетная ставка;

 - простая годовая процентная ставка;

 - общий срок платежного обязательства в днях;

- срок от момента учета векселя до даты погашения долга в днях;

 - временная база.

Сумма, полученную векселедержателем:

Сумма дисконта D определяется по формуле:

, где

S - наращенная сумма.

Ответ. Сумма, полученная после учета векселя составит 4,058 тыс. руб., а величина дисконта 0,014 тыс. руб.

4. ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТОВ

ЗАДАЧА. Облигация достоинством 5 тыс. руб. выпушена на 2 года при номинальной ставке 5 %. Рассчитать эффективную процентную ставку и определить наращенную стоимость по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в квартал.

Дано: Р = 5 тыс. руб.; n = 2 года; j = 0,05; m = 4 раза.

Найти: iэф - ?; S - ?

Решение:

Номинальная ставка - годовая ставка процента, которая является базой для расчета ставки, начисляемой за каждый период года.

Формула наращения по номинальной ставке:

, где

S - наращенная сумма;

P - первоначальная сумма;

j - номинальная годовая ставка сложных процентов;

m - число периодов начислений в год;

n - срок ссуды в годах.

Эффективная ставка - годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и начисление по номинальной ставке m раз в год.

Наращенные суммы и капиталы равны, тогда равны и коэффициенты наращения:

Ответ. Эффективная процентная ставка будет равна 5,1 %, а наращенная сумму составит - 5,522 тыс. руб.

ЗАДАЧА. В банк положена сумма 40 тыс. руб. сроком на 1 год по годовой ставке 15 % годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную ставку для ежеквартального начисления процентов.

Дано: Р = 40 тыс. руб.; n = 1 год; f = 0,15; m = 4 раза;

Найти: S - ?; I - ?; iэф - ?;

Решение:

Наращение по годовой номинальной ставки сложных процентов осуществляется по формуле:

, где

 - первоначальная сумма;

 - наращенная сумма;

-годовая номинальная ставка сложных процентов;

 - число начисления процентов;

Определим величину полученного процента I:

Формула наращения по годовой эффективной ставки сложных процентов имеет вид:

Наращенные суммы S и капиталы P равны, тогда равны будут и коэффициенты наращения

, отсюда

Ответ: наращенная сумма по годовой номинальной ставке сложных процентов составит 46,346 тыс. руб., величина полученного процента - 6,346 тыс. руб., а размер эффективной ставки будет равен 15,9 %.

5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ

ЗАДАЧА. Простая ставка - 50 %. Найти эквивалентную сложную ставку для двухлетнего периода.

Дано: i = 50%, n = 2 года.

Найти: iсл - ?

Решение:

Формулы наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке:

;

Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S1 = S2 и P1 = P2. Тогда равны будут и коэффициенты наращения:

Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной суммы равен 41,5 %.

ЗАДАЧА. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы?

Дано: i1 = 0,2; i2 = 0,22; i3 = 0,25; t1 = 2 мес.; t2 = 3 мес.; t3 = 5 мес.;

Найти: iср - ?

Решение:

Размер средней ставки простых процентов находится по формуле арифметической средней взвешенной:

Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной суммы равен 23,1 %.

6. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ

ЗАДАЧА. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12 % реальная ставка оказалась 6 %.

Дано: α = 0,12; i = 0,06; Найти: iα - ?

Решение:

 - безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции;

 - процентная ставка, учитывающая инфляцию

Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за год составит

S = P(1+ ia) или S = P(1+i)(1+a),

(1+ ia) = (1+i)(1+a)a = i+a+ia - формула Фишера.

Ответ: банк должен назначить ставку в размере 18,7%.

ЗАДАЧА. Капитал вкладывается на два года при уровне инфляции 30 % в год под номинальную ставку 15 %, начисление процентов ежегодное. Какова реальная доходность этой операции.

Дано:=0,15; α = 0,3; m = 1 раз; n = 2 года.

Найти: j - ?

Решение:Определим индекс инфляции Iи за рассматриваемый период n:

Нам нужно найти безинфляционную номинальную ставку сложных процентов, чтобы оценить реальную доходность операции. Из уравнения

Ответ: реальная доходность операции -0,115. Финансовая операция убыточна.

7. КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ

ЗАДАЧА. Предстоящие платежи и сроки уплаты, исчисленные от одной даты, равны: S1=1,2 млн. руб., n1=35 дн., S2=1,5 млн. руб., n2=55 дн, и S3=2,3 млн. руб., n3=75 дн, Достигнуто соглашение об объединении трех платежей в один, равный 5,5 млн. руб., используя для этого учетную ставку 7 %. Определить срок уплаты консолидированного платежа.

 - сумма платежа j;

 - сумма консолидированного платежа;

 - срок уплаты платежа j в днях;

 - срок уплаты консолидированного платежа;

 - сложная годовая учетная ставка;

Дано: S1 = 1,2 млн. руб.; S2 = 1,5 млн. руб.; S3 = 2,3 млн. руб. n1 = 35 дней; n2 = 55 дней; n3 = 55 дней; So = 5,5 млн. руб; d = 0,07;

Найти: no - ?

Решение:

Запишем уравнение эквивалентности консолидированного платежа:

Решая уравнение относительно n0, получаем:

n0 = 535 дней.

Ответ: Срок уплаты консолидированного платежа будет равен 535 дней

ЗАДАЧА. По условиям договора г-н Смоленский должен выплатить г-ну Гусинскому 5 тыс. руб. сегодня и 3 тыс. руб. через 2 года. Г-н Смоленский предлагает изменить условия платежа следующим образом: вернуть 30 % совокупной выплаты через один год, а оставшуюся сумму - через следующие два года. Какими должны быть новые платежи, чтобы финансовые взаимоотношения сторон не изменились при использовании в расчетах сложной ставки 30 % годовых?

Решение: По условию даны изменения сроков платежей в сторону увеличения. Для решения данной задачи необходимо использовать уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенной к той же дате. За базовую дату принимаем сегодня.

S0 - совокупная выплата.

Тогда сумма первого платежа будет 0,3×18,33 = 5,50 тыс. руб., сумма второго платежа составит 0,7×18,33 = 12,83 тыс. руб.

Ответ: величина первой выплаты составит 5,5 тыс. руб., второй выплаты 12,83 тыс. руб.

8. АННУИТЕТЫ

ЗАДАЧА. Заем был взят под 16 % годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6 % годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть размер выплаты?

 - наращенная сумма;

 - размер отдельного платежа;

 - число выплат в течение года;

 - сложная годовая ставка процентов;

 - срок ренты;

Решение:

Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются один раз в год имеет вид:

Рассчитаем наращенную сумму по ставке 16% в год:

По формуле математического дисконтирования определим текущую сумму долга:

Т.е. все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 3397,14 руб.

Из формулы определения современной величины ренты выразим размер отдельного платежа и рассчитаем его при начислении 6% годовых:

Ответ: размер выплаты составит 453,16 д.е.

ЗАДАЧА. В ходе судебного заседания выяснилось, что г.N недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму заплатит г.N?

 - наращенная сумма;

 - размер отдельного платежа;

 - число выплат в течение года;

 - сложная номинальная годовая ставка процентов;

 - срок ренты;

 - число начислений процентов в год.

Дано: R/p = 100 руб.; n = 2 года; j = 0,03; р = 12; m = 12 раз.

Найти: S - ?

Решение:

Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются m раз в году имеет вид:

Ответ: сумма выплаты составит 2470,28 руб.

ставка процент аннуитет

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

.     Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 2007

2.      Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. - М.: ИНФРА-М, 2004. -335с.

.        Петрик Н.И., Жидкова Н.Ю. Финансовая математика. Методические указания к выполнению контрольной работы. - Архангельск: Изд-во РИО АГТУ, 2004. - 63 с.