Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка
Реферат
Основные
типы дифференциальных уравнений первого порядка
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим уравнение
X(x)dx+Y(y)dy=0,
(1)
в котором коэффициент при dx
зависит только от x, а
коэффициент при dy
- только от y. Такое уравнение
называется уравнением с разделенными переменными.
Будем предполагать, что функции X(x)
и Y(y)
непрерывны при всех рассматриваемых значениях x
и y. Тогда уравнение
(1) можно переписать так
. (2)
Поэтому
. (3)
Это есть общий интеграл уравнения
(1). Особых решений нет.
К уравнению с разделенными
переменными легко приводится уравнение вида
p1(x)p2(y)dx
+ q1(x)q2(y)dy = 0
в котором коэффициенты при dx и dy
представляют собой произведения функции от x на функцию
от y.
Определение 1.: Уравнение вида
P (x, y)dx + Q (x, y)dy = 0 (4)
называется уравнением с
разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить
в следующем виде P(x,y) = p1(x)p2(y), Q(x,y) = q1(x)q2(y).
В точках, где p2(y) ¹ 0 и q1(x) ¹ 0,
переменные x и y можно
отделить друг от друга, разделив обе части уравнения
p1(x)p2(y)dx
+ q1(x)q2(y)dy = 0
на произведение p2(y)q1(x):
.
Интегрируя, получим общий интеграл
уравнения (4):
,
где С - произвольная постоянная.
Замечание. Если уравнение p2(y)q1(x) = 0
допускает решения x = a или y = b, то они,
очевидно, являются решениями дифференциального уравнения (4), кроме точек
пересечения прямых x = a и y = b, так как в
этих точках уравнение (4) не определено. Если эти решения входят в общий
интеграл, то каждое из них есть частное решение дифференциального уравнения
(4), а если нет, то это особые решения.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
.
Разделяя переменные, имеем:
.
Интегрируя почленно, получаем:
- общий интеграл решения.
Уравнение имеет
решения , которые
являются особыми, так как не получаются из общего интеграла ни при каких
значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность
решения задачи Коши.
. Однородные дифференциальные
уравнения
Определение: Функция двух переменных
f(x,y) называется
однородной функцией степени однородности m, где m целое, если
при любом k выполняется
следующее равенство:
f (kx,ky) =
kmf (x,y).
Покажем, что всякую однородную
функцию нулевой степени можно представить в виде функции отношения . Пусть f (x,y) -
однородная функция нулевой степени. Возьмем множитель ; по
определению однородности имеем: и в правой части действительно
стоит функция только отношения . Пусть теперь f (x,y) -
однородная функция степени m. Очевидно, что функция будет
однородной функцией нулевой степени и по указанному выше можно написать: , откуда
. (5)
Это общий вид однородной функции
степени m.
Определение: Однородным уравнением
первого порядка называется уравнение вида
P (x,y)dx +
Q (x,y)dy = 0 (6)
где P (x,y) и Q (x,y) -
однородные функции одной и той же степени однородности.
Решение такого уравнения проводится
путем введения новой переменной , с помощью которой уравнение
превращается в уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, пользуясь
формулой (5), можно переписать однородное уравнение в следующем виде:
(7).
Предположим, что функции P(x,y) и Q(x,y) не
содержат общего множителя xk, ибо если
бы такой множитель был, то уравнение распалось бы на два: х=0, . В этом
случае второе уравнение уже не содержит множителя xk.
Таким образом xm ¹ 0 и можем
разделить обе части уравнения (7) на xm:
Полагаем , откуда . Подставляя
эти значения в последнее уравнение, имеем:
или
.
Получилось уравнение с
разделяющимися переменными, которое решаем, как было указано выше:
,
отсюда
и, потенцируя, получаем: x=C×w(t), где через
w(t) обозначено
все выражение, содержащее t в правой части. Заменяя t отношением , получаем
окончательный вид общего интеграла:
x = C×w().
Необходимо учитывать, что при
делении на могут быть
потеряны решения.
Интегральные кривые однородного
уравнения обладают интересным геометрическим свойством: они все подобны друг другу
и центр подобия находится в начале координат.
Пример 2. Решить уравнение .
В приведенных выше обозначениях обе функции
являются однородными функциями второй степени, следовательно, данное уравнение
однородное. Вводим новую переменную, полагая y=tx. Тогда dy=tdx+xdt, и
уравнение после подстановки имеет вид:
Разделяем переменные:
(так как делим только на x и на сумму
квадратов , то потери
возможных корней нет); затем, интегрируя, получаем
;
потенцируем
и заменяем t через :
.
Делаем преобразование
,
Рис. 1
После чего становится ясно, что
имеем семейство окружностей с центрами в точках на оси Ox и с
радиусами, равными . Все эти
окружности касаются оси
Oy в начале
координат и подобны друг другу (рис.1).
Рассмотрим уравнение вида
. (8)
Если с1=с=0, то это
уравнение однородное, ибо оно приводится к виду (6). Пусть хоть одно из чисел с1,
с отлично от нуля и предположим еще, что
Сделаем линейную замену обеих
переменных:
Тогда наше уравнение примет вид:
Выбрав α и β так, чтобы
получим однородное уравнение
Интегрируя его и возвращаясь к
переменным x и y, найдем
общий интеграл уравнения (8).
Если же
то мы имеем , откуда a1=ka, b1=kb. Поэтому
уравнение (8) можно переписать в этом случае так:
.
Введя здесь вместо y новую
неизвестную функцию z по формуле
z=ax+by,
мы придем к уравнению, не содержащему
независимой переменной:
.
Пример 3. Решить уравнение .
Заменяя y’ на получаем:
.
Введем вместо x и y переменные ξ и η, связанные с x и y линейной
зависимостью
x=ξ+α, y=η+β,
вследствие чего dx=dξ, dy=dη. Постоянные
α
и
β
надо
подобрать так, чтобы множители в уравнении при dξ, dη были
однородными функциями первой степени. Для этого надо, чтобы в этих множителях
отсутствовали свободные члены, то
есть чтобы было
Из этой системы уравнений находим: и
подставляем их в формулы для x и y: . Заменяя x и y в данном
уравнении, используя эти формулы, получаем однородное уравнение в переменных ξ и η:
.
дифференциальный
уравнение интеграл бернулли
Решаем это уравнение по правилам
решения однородных уравнений, вводя переменную , и получаем общий интеграл: .
Возвращаясь от переменных ξ и η к старым
переменным x и y, получаем
окончательный вид общего решения данного уравнения: .
Пример 4. Решить уравнение .
В этом уравнении коэффициенты при x и y в числителе
и знаменателе пропорциональны. Введем новую переменную по формуле x+y=z. Перепишем
данное уравнение в виде
(x+y+1)dx+(2x+2y-1)dy=0
и заменим переменные
(z+1)dx+(2z-1)(dz-dx)=0, (dx+dy=dz, dy=dz-dx).
Разделим переменные
(z+1-2z+1)dx+(2z-1)dz=0,
.
Решаем это уравнение и получаем
общий интеграл:
.
Возвращаясь к переменным x и y, находим
окончательный вид общего интеграла данного уравнения:
.
. Уравнения в полных дифференциалах
Определение: Уравнение вида
P(x,y)dx +
Q(x,y)dy = 0, (9)
где левая часть представляет собой
полный дифференциал некоторой функции двух переменных, называется уравнением в
полных дифференциалах.
Обозначим эту функцию двух
переменных через F(x,y). Тогда
уравнение (9) можно переписать в виде dF(x,y) = 0, а это
уравнение имеет общее решение F(x,y) = C.
Пусть дано уравнение вида (9). Для
того чтобы узнать, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно
проверить, является ли выражение
P(x,y)dx +
Q(x,y)dy (10)
полным дифференциалом некоторой
функции двух переменных. Для этого необходимо проверить выполнение равенства
. (11)
Допустим, что для данного выражения
(10) равенство (11) выполняется в некоторой односвязной области (S) и,
следовательно, выражение (10) является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) в (S).
Рассмотрим следующий способ
нахождения этой первообразной. Необходимо найти такую функцию F(x,y), чтобы
и .
Положим
, (12)
где функция j(у) будет определена ниже. Из
формулы (12) тогда следует, что
(13)
во всех точках области (S). Теперь
подберем функцию j(у)
так, чтобы имело место равенство
. (14)
Для этого перепишем нужное нам равенство
(14), подставив вместо F(x,y) ее
выражение по формуле (12):
. (15)
Произведем дифференцирование по у
под знаком интеграла (это можно делать так как P(x,y) и -
непрерывные функции двух переменных):
Так как по (11) , то,
заменяя на под знаком
интеграла в (16), имеем:
.(17)
Проинтегрировав по у, найдем саму
функцию j(у), которая
построена так, что выполняется равенство (14). Используя равенства (13) и (14),
видим, что
в области (S).
(18)
Пример 5. Проверить, является ли
данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить
его .
Это дифференциальное уравнение в
полных дифференциалах. В самом деле, обозначая , убеждаемся в том, что
, (19)
а это есть необходимое и достаточное
условие того, что выражение
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
является полным дифференциалом
некоторой функции U(x,y). При этом -
непрерывные в R функции.
Следовательно, чтобы
проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию,
для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным
дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда
.
Интегрируя левую и правую части по x, получим:
. (*)
Чтобы найти φ(y),
используем тот факт, что
, т.е.
,
откуда
,
.
Подставляя найденное значение φ(y) в (*),
окончательно получим функцию U(x,y):
,
Общий интеграл исходного уравнения
имеет вид
. (20)
Основные типы дифференциальных
уравнений первого порядка (продолжение).
. Линейные дифференциальные
уравнения
Определение: Линейным уравнением
первого порядка называется уравнение вида
y’ + P(x)y = f(x), (21)
где P(x) и f(x) -
непрерывные функции.
Название уравнения объясняется тем,
что производная y’ - линейная функция от у, то есть
если переписать уравнение (21) в виде y’ = - P(x) +f(x), то правая
часть содержит у только в первой степени.
Если f(x) = 0, то уравнение
y΄+ P(x)∙y
= 0 (22)
называется линейным однородным
уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с
разделяющимися переменными:
y’ +P(x)y = 0; ,
. (22*)
Если f(x) ≠ 0, то уравнение
y΄+ P(x) y = f(x)
(23)
называется линейным неоднородным
уравнением.
В общем случае переменные в
уравнении (21) разделить нельзя.
Уравнение (21) решается следующим
образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):
y = U×V. (24)
Найдем производную:
y’ = U’V + UV’ (25)
и подставим эти выражения в
уравнение (1):
U’V + UV’ +
P(x)UV = f(x).
Сгруппируем слагаемые в левой части:
U’V + U[V’ +
P(x)V] = f(x). (26)
Наложим условие на один из
множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова,
что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в
(26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения
V’ + P(x)V = 0. (27)
Это уравнение с разделяющимися
переменными, находим из него V(x):
; ; ;
. (28)
Теперь найдем функцию U(x) такую,
чтобы при уже найденной функции V(x)
произведение U∙V было
решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была
решением уравнения
. (29)
Это уравнение с разделяющимися
переменными, поэтому
;
. (30)
Подставляя найденные функции (28) и
(30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):
. (31)
Таким образом, рассмотренный метод
(способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух
уравнений с разделяющимися переменными.
Пример 6. Найти общий интеграл
уравнения .
Это уравнение не является линейным
относительно y и y’, но оно
оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а
аргументом y.
Действительно, переходя к , получаем
, или .
Для решения полученного уравнения
воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в
виде x(y)=U(y)V(y), тогда . Получаем
уравнение:
, или
. (*)
Выберем функцию V(y) так, чтобы
. Тогда
или .
Подставляя найденное значение V в (*),
найдем:
.
Другим методом интегрирования
линейных уравнений является метод вариации произвольной постоянной (метод
Лагранжа).
Будем искать решение уравнения (23)
в том же виде, что и общее решение (22*) соответствующего однородного уравнения
(22), но будем считать С не постоянной, а некоторой непрерывно дифференцируемой
функцией от x, т.е.
положим
(32)
и выберем функцию C(x) так, чтобы
(32) удовлетворяло уравнению (21). Подставляем (32) в (21):
,
откуда:
.
Следовательно,
,
где С - произвольная постоянная.
Подставляя эти значения C(x) в формулу
(32), получим:
.
Это и есть общее решение уравнения
(21).
Пример 7. Найти общее решение
уравнения .
Применяем метод вариации
произвольной постоянной. Решаем сначала уравнение
откуда
.
Ищем общее решение данного
неоднородного уравнения в виде (*). Находим производную .
Подставляем y и y’ в исходное
уравнение:
, или
.
Подставляя это значение C(x) в формулу
(*), получим
- общее решение дифференциального
уравнения.
Линейное уравнение (21) не имеет
особых решений. Действительно, из самого вывода формулы (32) видно, что в ней
содержатся все решения уравнения.
. Дифференциальные уравнения
Бернулли
Определение: Уравнение вида y’ + P(x)y = Q(x)ym, где m ¹ 0, m ¹ 1,
называется дифференциальным уравнением Бернулли.
Уравнения данного вида подстановкой z = y1-m можно свести
к линейному уравнению, однако проще для интегрирования уравнения Бернулли сразу
воспользоваться подстановкой y = UV.
Литература
1. С.Я. Казанцева Математика для
юридических специальностей. - М. Академия, 2011
2. Атурин В.В. Высшая математика.
- М.: Академия, 2010
. Баврин И.И. Высшая
математика. - М.: Академия, 2010
. Бермант А.Ф. Краткий курс
математического анализа. - СПб.: Лань, 2010
. Бирман М.Ш. Избранные
труды. - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010
. Бурмистрова Е.Б.
Математический анализ и дифференциальные уравнения. - М.: Академия, 2010
. Козлов Н.Н. Математический
анализ генетического кода. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010
. Олейник О.А. Уравнения с
неотрицательной характеристической формой. - М.: Московский университет, 2010
. Ахтямов А.М. Теория
идентификации краевых условий и ее приложений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
. Бычков Ю.А. Хаос в
динамических системах. - СПб.: Технолит, 2009
. Ильин А.М. Асимптотические
методы в анализе. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
. Капцов О.В. Методы
интегрирования уравнений с частными производными. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
. Красс М.С. Математика для
экономистов. - СПб.: Питер, 2009
. Петровский И.Г. Лекции по
теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009