Плоские волны в однородной изотропной среде
Реферат
Плоские
волны в однородной изотропной среде
Содержание
Плоские волны
Плоские
электромагнитные волны в однородной изотропной среде
Поток энергии
в плоской волне
Поляризация
электромагнитной волны
Отражение и
преломление плоских волн на плоской границе раздела
Литература
Волна - это распространение колебания в пространстве, происходящее с конечной
скоростью. Волновой процесс включает зависимость не только от времени, но и от
пространственных переменных, поэтому он описывается уравнениями в частных
производных. Основную роль в теории волн играет линейное дифференциальное
уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа -
волновое уравнение
, (1)
где D - оператор
Лапласа, с - скорость волны. При наличии в системе внешних сил или
источников и диссипации уравнение (1) принимает вид:
. (2)
Плоские волны
Простейшим решением волнового уравнения (1) является плоская волна
u = u(x, t), x = rm
= xmx
+ ymy + zmz. (3)
Для таких волн уравнение (1) становится одномерным
- (4)
первая каноническая форма или
- (5)
вторая каноническая форма,
t = t
- x/c, h = t + x/c. (6)
Общее решение уравнения (5) с учетом замены переменных (6) имеет вид
u = u1(t) + u2(h) = u1(t
- x/c) + u2(t
+ x/c), (7)
где u1 и u2 -
произвольные функции, их конкретный вид определяется граничными условиями, t и h - фазы. В любой фиксированный момент времени t функции u1 и u2 имеют
постоянное значение во всех точках плоскости, определяемой соотношением
x = rm
= const. (8)
Рассмотрим функцию u1(t) и найдем условия, при которых t = const. Из соотношений (3) и (6) следует,
что в этом случае mdr/dt = c. С учетом условия (8) это означает, что поверхность t = const является плоскостью, которая
перемещается со скоростью с в направлении вектора m. Аналогично плоскость, на которой h = const, перемещается со скоростью с
в направлении вектора -m.
Таким образом, функция u1(t - rm/c)
описывает плоскую волну, бегущую в направлении вектора m со скоростью с, а это значит,
что поверхность постоянной фазы t = const является плоской.
Плоскую волну (7) можно представить интегралом Фурье вида
, (9)
где
, l = 1, 2. Подставляя соотношение (9) в волновое
уравнение (4), получим уравнение Гельмгольца
, (10)
общее решение которого можно записать в виде
, (11)
где k = w/c - волновое число.
Подставляя соотношение (11) в интеграл Фурье (9), получим
, (12)
при этом подынтегральное выражение Aexp(±ikx - iwt) является плоской гармонической волной
в смысле определения (7), то есть произвольную плоскую волну можно представить
как суперпозицию гармонических плоских волн.
Если ввести волновой вектор k = km, то фазу плоской гармонической волны
можно представить в виде t = kr - wt, уравнение kr = const определяет плоскость постоянной фазы. Подставляя соотношение (11) в
уравнение (10), получим связь между волновым вектором и частотой (дисперсионное
соотношение) для среды без поглощения
|k|2
= w2/c2. (13)
В общем случае волновой вектор может быть комплекснозначным k = k' + ik",
тогда из дисперсионного соотношения (13) следует связь между его
действительными и мнимыми частями
|k'|2
- |k"|2 = w2/c2, k'k"
= 0. (14)
Соответственно, общий вид гармонической плоской волны
u(r,
t) = Aexp[-rk" - i(wt
- k'r)] (15)
описывает неоднородную плоскую волну. Поверхности равных фаз k'r = const
и равных амплитуд k"r = const - плоские и перпендикулярные друг другу в силу
соотношения (14).
Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде
Запишем для поляризующейся и проводящей среды уравнения Максвелла
, (16)
, (17)
, (18)
. (19)
Для замыкания системы уравнений необходимо дополнить ее материальными
уравнениями D(E), B(H),
j(E). В простейшем случае линейной изотропной и
однородной среды они имеют вид D = eE, B = mH,
j = sE, где e, m и s - константы. Тогда из уравнений (16) и (17) получаем
, (20)
. (21)
Будем считать, что свободных зарядов в среде нет (при s ¹ 0 они должны рассасываться), то есть div E = 0. Возьмем ротор от правой и левой
частей уравнения (21) и, учитывая, что rot rot E = grad div E - DE = -DE,
получим с учетом уравнения (20)
. (22)
При s = 0
(диэлектрик) уравнение (22) для каждой из компонент вектора E имеет вид волнового уравнения (1)
для среды без потерь. Легко показать, что такому же уравнению удовлетворяет и
вектор Н. В плоской волне вида (3) векторы E и Н зависят только от одной пространственной
координаты x = rm и волновое уравнение (22) принимает
вид
, (23)
описывающий распространение в направлениях ±m двух плоских векторных волн
E = E(t ± x/v), H = H(t ± x/v). (24)
Для плоских волн вида (24), распространяющихся в направлении +m,
,
и
уравнения Максвелла (16) - (19) принимают вид
. (25)
Умножая первые два уравнения системы (25) на m, получим ¶Еx/¶t
= 0,
¶Hx/¶t
= 0, ¶Еx/¶x = 0, ¶Hx/¶x = 0, то есть продольные компоненты векторов Е
и Н не зависят ни от времени, ни от координат. Таким образом, переменная
составляющая продольных компонент электрического и магнитного полей в волне
равна нулю, то есть электромагнитная волна является поперечной.
В проводящей среде второе уравнение системы (25) принимает вид
.
После
скалярного умножения на m получим
, Еx(t) = Еx(0)exp(-4pst/e),
то
есть в проводящей среде продольная компонента электрического поля быстро
затухает, и волна остается поперечной.
Для
плоской волны u1(t),t = t
- x/v, частные производные принимают вид
. (26)
Константа интегрирования здесь положена равной нулю, так как мы
рассматриваем как волну только переменные составляющие полей. Из уравнения (26)
следует, что векторы Е, Н и m образуют правую ортогональную тройку, причем
- (27)
импеданс среды.
Для проводящей среды рассмотрим распространение гармонической волны E = E0(x)exp(-iwt), подставляя это выражение в
уравнение (22), получим уравнение Гельмгольца в виде
. (28)
В отличие от уравнения (10) в соотношение (28) входит комплексная
величина
.
Общее
решение уравнения (28) имеет вид
, , то есть
(29)
две плоские волны, амплитуда которых экспоненциально убывает по мере
распространения. Здесь c - показатель
поглощения, характеризует скорость убывания амплитуды волны, n = c/v
- показатель преломления, определяет фазовую скорость
волны. Обозначим
- (30)
тангенс
угла потерь, тогда , то есть n2 - c2 = me, 2nc = metg(d), откуда получаем
. (31)
Из формул (30) и (31) следует, что в проводящей среде фазовая скорость
(показатель преломления) и показатель затухания зависят от частоты, то есть
среда является диспергирующей. При распространении плоской волны произвольной
формы происходит искажение ее профиля, так как затухание и фазовые скорости ее
гармонических компонент вида (9) разные.
Для
малых потерь (слабозатухающая волна) tg(d) << 1,
тогда из формулы (31) получаем . В случае
сильных потерь, когда tg(d) >> 1, получаем . При этом амплитуда волны убывает в е раз на
расстоянии d = c/(wc) = l/(2pc) << l. Нетрудно показать,
что в проводящей среде
. (32)
Поток энергии в плоской волне
Запишем для однородной линейной непроводящей среды закон сохранения
электромагнитной энергии в форме
¶W/¶t + div S = 0, (33)
где W - плотность электромагнитной
энергии, S - ее поток. Умножим уравнение (16)
скалярно на Е, а уравнение (17) - на Н и вычтем их, полагая s = 0:
,
.
Сравнивая
это уравнение с уравнением (33), получим
. (34)
Вектор S в такой
форме называется вектором Умова - Пойтинга.
Для гармонической электромагнитной волны в рамках метода комплексной
амплитуды, полагая E(r, t) = Re[E0(r)exp(iwt)], H(r,
t) = Re[H0(r)exp(iwt)], можно найти средний за период поток энергии
. (35)
С учетом соотношений (26) и (34) для плоской волны получаем
, (36)
здесь
- скорость волны и учтено, что в силу соотношения
(26) в волне eЕ2 = mН2, а .
Поляризация электромагнитной волны
плоский волна электромагнитный
Для полного описания поперечной волны необходимо кроме ее амплитуды, фазы
и частоты указать поляризацию, то есть направление векторов Е и Н.
Пусть волновой вектор k
направлен вдоль оси z,
тогда векторы Е и Н лежат в плоскости ху
(37)
Исключим из уравнений (37) переменную t = t
- z/v и получим уравнение эллипса в осях Ех,
Еу:
.
Если
D = j1 - j2 = ±p/2, то оси эллипса совпадают с
осями координат х, у, а при а1 = а2
эллипс вырождается в окружность. Если D = j1 - j2 = pn, то эллипс
вырождается в прямую Ех/а1 - (-1)nЕу/а2
= 0 с углом наклона tg(c) = ±а2/а
Можно
ввести множитель поляризации
. (38)
При комплексном значении Р волна имеет эллиптическую поляризацию,
при
Р
= ±i поляризация круговая. При
действительном значении Р волна имеет линейную поляризацию. Знак мнимой
части Р определяет направление вращения вектора Е в плоскости
фронта, если Im(P) > 0, поляризация правая, а если Im(P) < 0 - левая. Правая поляризация соответствует
вращению вектора Е по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего в
направлении прихода волны. При Im(P) = 0 получаем Р = ctg(c).
Если отношение а1/а2 и D в волне не меняются, то есть
компоненты Ех и Еу когерентны, то волна
называется поляризованной. Если же a1(t), a2(t)
и D(t) - случайные функции, то все положения вектора Е
в плоскости фронта равноправны и волна является неполяризованной. Пример -
естественный свет, излучение ламп накаливания и т. д. В более общем случае
волна может быть смесью поляризованной и неполяризованной волн и описываться (в
заданной точке пространства) как колебание с медленно меняющейся амплитудой
E(t) = a(t)exp(-iwt - ij(t)).
Состояние таких волн можно охарактеризовать матрицей когерентности
. (39)
Пусть
I = |E|2 - интенсивность волны. Тогда для
неполяризованной волны , |Eх|2
= |Eу|2
= I/2, поэтому |J| = I2/4. Для поляризованной
волны |J| = 0, а sp(J) = I.
Для частично поляризованной волны 0 £ |J|
£ I2/4.
Подставляя уравнение (37) в формулу (39), получим
, (40)
где
.
Кроме
того, в оптике широко используются параметры Стокса
. (41)
В этих переменных матрица когерентности (39) принимает вид
. (42)
Для
неполяризованной волны x1 = x2 = x3 = 0, для
полностью поляризованной . Соответственно, сумма квадратов параметров Стокса
(41) характеризует степень р поляризации волны . Интенсивность поляризованной составляющей при этом
равна pI, а неполяризованной (1 - p)I.
В
курсе оптики показывается, что величина x1I равна разности
интенсивностей линейно поляризованных компонент с c = 0 и c = p/2, а x2I - соответственно с c = p/4 и c = 3p/4. Величина x3I
равна разности интенсивностей волн с правой и левой поляризациями. Таким
образом, коэффициенты Стокса можно легко измерить и, тем самым, построить
матрицу поляризации (39).
Отражение и преломление плоских волн на плоской границе
раздела
Из
опыта известно, что при падении волны на границу раздела двух сред с разными свойствами,
например коэффициентом преломления, возникает преломление и отражение волн.
Пусть на плоскую границу раздела z = 0 между двумя
полубесконечными средами с однородными параметрами e1, m1, s1 для z
> 0 и e2, m2, s2 для z
< 0 падает из первой среды плоская монохроматическая волна с частотой w под углом q0 к оси z
(рис. 1). Обозначим k0 = k1m0 -
волновой вектор падающей волны. Здесь учтено, что волновое число одинаково и для падающей, и для отраженной волны,
поскольку обе они распространяются в среде 1, а частота волны в линейном
приближении сохраняется.
Рис.
1. Плоскость падения
Пусть
плоскость xz (плоскость падения) проходит через вектор k0, k1 - волновой вектор
отраженной волны, а k2 -
волновой вектор преломленной волны. Запишем электрические и магнитные поля в
падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно в виде (29) с учетом
соотношения (32):
Здесь
- импеданс первой и второй сред соответственно.
В
плоскости z = 0 должны выполняться условия непрерывности
тангенциальных компонент Е и Н суммарного волнового поля
(43)
Поскольку
граничные условия (43) должны выполняться во всех точках плоскости z
= 0, то фазовые множители всех компонент должны быть одинаковы, , то есть k1sin(q0) = k1sin(q1) = k2sin(q2),
откуда, в свою очередь, получаем
q0 = q1, (44)
sin(q1)/sin(q2) = k2/k1 - (45)
закон Снелиуса. Если s1 = s2 = 0, то q2
- угол между нормалью к фронту преломленной волны и осью z.
Рассмотрим теперь две различные поляризации - горизонтально поляризованную
волну с Ex = Ez = 0, Ey ¹ 0 и вертикально поляризованную волну
с Eу = 0, Ez ¹ 0, Ex ¹ 0. Произвольную эллиптическую
поляризацию можно получить как линейную комбинацию этих двух волн. Для
горизонтальной поляризации из соотношения (43) получаем
E0
+ E1 = E2, E0cos(q0) - E1cos(q1) = E2cos(q2)Z1/Z2,
откуда следуют выражения для коэффициентов Френеля
Для вертикально поляризованной волны расчет удобнее проводить через
вектор Н, который в этом случае перпендикулярен плоскости падения xz:
(47)
При нормальном падении q0 = 0 и
. (48)
При
отражении от границы двух диэлектриков с s1 = s2 =0, m1 = m2 = 1 с учетом соотношений (45), (46) и (47) получим
при
(49)
Поскольку коэффициенты Френеля (49) действительные, фазовый сдвиг между
падающей и отраженной волнами равен 0 или p. При e2 > e1 из соотношения (45) получаем, что q2 < q0, то есть j|| = p. При e2 = e1 соответственно q2
= q0 и R|| = 0, а
при q2 + q0 = p получаем R^ = 0. Таким образом, при выполнении
условия
(50)
отраженная волна будет полностью вертикально поляризована. Угол падения,
удовлетворяющий условию (50), называется углом Брюстера или углом
полной поляризации.
При
отражении от менее плотного диэлектрика с e2 < e1 q2 > q1, если при этом , то из
условия (45) следует, что sin(q2) > 1, а . Угол называется углом полного внутреннего отражения. Если
угол падения q0 больше
угла полного внутреннего отражения qп, получаем , то есть
преломленная волна представляет собой плоскую неоднородную волну,
экспоненциально затухающую вглубь второй среды. Найдем плотность потока энергии
во вторую среду в этом случае. С учетом соотношений (35) и (27) получим , то есть средняя плотность потока энергии во вторую
среду при полном отражении равна нулю.
Легко
видеть, что при полном отражении |R^| = |R||| = 1, для фаз же
коэффициентов Френеля (49) получаем
. (51)
Из формулы (51) следует, что полное отражение сопровождается изменением
фазы волны, различным для горизонтально и вертикально поляризованных волн.
Поэтому, если полное отражение испытывает волна, плоскость поляризации которой
наклонена к плоскости падения под некоторым углом, отраженная волна оказывается
эллиптически поляризованной.
Рассмотрим
теперь отражение и преломление падающей волны на границе диэлектрик -
проводник. Пусть m1 = m2 = 1, e1 = 1, s1 = 0.
Тогда из соотношения (45) следует, что k1x = k1sin(q1) = k2x = k2sin(q2) = k1sin(q0), а поскольку , то
.
Обозначая
(52)
где
, и учитывая, что k1 = w/c,
получим:
k2z = (q + ip)w/c,
ET = E2exp(-k1p|z|)exp[i(k1xsin(q0) + qk1z)]. (53)
Таким образом, преломленная волна (53) плоская и неоднородная, плоскости
равной амплитуды pz = const параллельны границе раздела. Для
плоскости равной фазы xsin(q0) + qz
= const нормаль направлена под углом y к оси z, где
. (54)
Соответственно,
относительный показатель преломления второй среды относительно первой зависит не только от свойств среды, но, в отличие от
соотношения (45), и от угла падения.
Если
проводимость среды достаточно велика, так что , то в
формуле (52) можно положить , . Если при этом e2 не слишком велика, так что tg(d) >> 1, то j » p/2, , а из соотношения (54) следует cos(y) ® 1, sin (y) ® 0, то есть y ® 0.
Тот
факт, что для сильно проводящей среды преломленная волна независимо от угла
падения распространяется почти перпендикулярно границе раздела, позволяет
сформулировать приближенные граничные условия Леонтовича.
Заметим, что в этом случае соотношение (26) принимает вид
. (55)
Так как при нормальном падении тангенциальные компоненты полей на границе
равны и в первой, и во второй среде полным значениям самих полей, то из условия
непрерывности Е1 = Е2, Н1
= Н2 и уравнение (55) можно переписать в виде
E1 = Z2[z0 ´ H1]. (56)
Распространяя соотношение (56) на случай падения под произвольными
углами, получим приближенные граничные условия Леонтовича
[z0 ´ E1] = Z2[z0 ´ [z0 ´ H1]]. (57)
Литература
Основная
1.
Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 2009. -
384 с.
. Рабинович
М.И., Трубецков Д.М. Введение в теорию колебаний и волн. Учебное пособие для
вузов. М.: Наука, 2004. - 320 с.
Дополнительная
3. Ланда П.С.
Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 2007. - 496 с.
. Никольский
В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука,
2009. - 544 с.
. Вайштейн
Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 2008. - 440 с.