Неопределённые уравнения первой степени
Неопределённые
уравнения первой степени
Введение
в неопределённые уравнения
Когда
мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то,
какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или
отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в
решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.
Пусть
у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и
,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько
монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.
Кажется,
что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых
монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать
одно единственное уравнение:
Эти
и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число
уравнений, называют неопределёнными.
Из
условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными
числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:
должно
быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без
остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x
= 3. Отсюда, y = 3.
Перебор
вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше
воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали
древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.
Метод спуска (материал взят из энциклопедии Аванта+
"Математика")
Продолжим
рассмотрение неопределённого уравнения вида:
где
a, b, c - известные целые коэффициенты.
Разберём
это всё на знакомом примере:
Выберем
неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое
неизвестное:
Теперь
выделим целую часть:
Всё
число будет целым, если целым окажется значение (4 — 3у)/5. Это возможно лишь
тогда когда число (4 — 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную
целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде
Мы
пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами.
Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.
Продолжаем
действовать всё по тому же принципу:
Для
того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось
на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая
только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:
Продолжим...
Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где
v — произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.
Осталось
теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z,
потом у и, наконец, х:
Формулы
х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых
числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех
целых решений нужно выбрать такие, для которых
и,
стало быть,
Совместно
эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3.
То есть у Миши было 3 5-рублёвые монеты и 3 8-рублёвые монеты.
Вообще,
целые решения у уравнения вида
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://lpms.narod.ru