Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

"Теория вероятностей и математическая статистика"

Исполнитель:

Целищев Сергей Сергеевич

Екатеринбург

Задача 1

Студент знает 15 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Составить закон распределения случайной величины Х - числа известных студенту вопросов в билете. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение

Введем дискретную случайную величину  = (Количество известных студенту вопросов в билете). Она может принимать значения 0, 1, 2 или 3. Найдем соответствующие вероятности.

, если все три вопроса студенту неизвестны. Вероятность этого события по классическому определению вероятности равна:

.

, если один вопрос известен и два вопроса студенту неизвестны. Вероятность этого события по классическому определению вероятности равна:

.

, если один вопрос неизвестен и два вопроса студенту известны. Вероятность этого события по классическому определению вероятности равна:

.

, если все три вопроса студенту известны. Вероятность этого события по классическому определению вероятности равна:

.

Закон распределения случайной величины  имеет вид:

Сумма вероятностей равна 1, поэтому расчеты проведены верно.

Найдем математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Математическое ожидание

.

Дисперсия

.

Среднеквадратическое отклонение

Задача 2

Решение

Найдем плотность распределения

Это плотность распределения равномерного на отрезке  распределения.

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (α,β) = (0,5; 3). Получим:

Построим схематично графики  и .

Рисунок 1

Рисунок 2