Статически неопределимая система

Статически неопределимая система

Оглавление

Задание на курсовой проект

. Определение усилий от внешних сил Р₁ и Р₂

. Определение реакции шарнира R_А

. Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления

. Расчет температурных напряжений

. Подбор сечений элементов системы

. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

6.1      Построение эпюры поперечной силы Q

.2        Построение эпюры изгибающего момента М_И

7. Определение линейного напряженного состояния в точке тела (стержня) по двум взаимоперпендикулярным площадкам

Задание на курсовой проект

напряжение стержневый эпюра сила

Рассчитать статически неопределимую систему в условиях работы составляющих ее элементов в режиме растяжения - сжатия.

Рассчитываемая система представляет собой стержневую конструкцию с одной шарнирной опорой и двумя деформируемыми тягами.

Рис.1

Заданы материалы стержней: стержень I - алюминий, стержень 2 - медь; упругие модули на растяжение (сжатие):  МПа;  МПа; внешние силы  Н и  Н; коэффициенты линейного расширения материалов стержней  ⁰С^-1,  ⁰С^-1.

Неточность изготовления элементов системы: стержень I изготовлен длинyее на величину .

Изменение температуры  ⁰С.

Допустимые напряжения для материалов каждого из стержней:  МПа,  МПа.

Конструктивное соотношение площадей стержня .

Геометрические размеры: а=1 м, b=2 м, с=1,5 м, h=2м, α₁=60⁰, α₂=60⁰.

Определить величины F₁, F₂, учитывая, что балка AD предполагается абсолютно жесткой и невесомой.

1. Определение усилий от внешних сил Р₁ и Р₂ ()

Начертим расчетную схему балки с указанием всех размеров. Для расчета усилий используем метод сечений. Сечения проведем через оба стержня. Рассмотрим равновесие нижней части системы, заменяя действие отбрасываемой верхней части стержней внутренними усилиями R₁ и R₂ (рис.2).

Рис. 2

Составим уравнение статики относительно точки А. Сумма моментов относительно данной точки должна равняться нулю. Т.к. , то эту внутреннюю силу в уравнении не учитываем.

 (1)

Для составления уравнения совместности деформаций необходимо рассмотреть схему перемещения системы (рис. 3). Под действием внешней силы Р первый стержень удлиниться на величину Δl₁, второй - на величину Δl₂, при этом жесткая балка повернется АD в положение АD₁. Ввиду малости упругих деформаций горизонтальными смещениями точек В и С, лежащих на оси балки, пренебрежем и будем считать, что точки В и С в ходе деформирования системы переместятся строго вертикально и займут положение В₁ и С₁. Положение этих точек определяется пересечением линий АD₁ и перпендикуляров, проведенных к первоначальному направлению осевой линии балки АD в точках В и С.

Удлинения Δl₁ и Δl₂ находим также графически, для чего из точек В и С опускаем перпендикуляры на линии О₁В₁ и О₂С₁, соответствующие новым положениям стержней 1 и 2 после приложения нагрузки Р. Отрезки В₁В₂ и С₁С₁ определяют соответственно Δl₁ и Δl₂.

Рис.3

Уравнения совместимости деформаций в данном случае проще всего составить, воспользовавшись подобием треугольников АВВ₁ и АСС₁:

 (2)

Из ВВ₁В₂ и СС₁С₂ определим:

 (3)

Подставив равенства (3) в формулу (2), получим уравнение совместности деформаций заданной стержневой системы:

 (4)

Отсюда следует:

Используя закон Гука для каждого из стержней:

из уравнения (4) получаем:

 (5)

Так как

то из уравнения (5)

Теперь можно составить систему уравнений:

Проверка правильности найденных численных значений производится путем подстановки полученных R₁ и R₂ в уравнение (1).

2. Определение реакции шарнира R_А

Реакция шарнира R_А определяется по формуле:

 (6)

Чтобы найти R_y, составим условие равновесия для точки D.

 (7)

Подставив численные значения, получим:

Проверка: сумма всех сил относительно оси Y должна равняться нулю.

 (8)

Чтобы найти R_x, составим условие равновесия относительно оси X:

 (9)

Таким образом:

3. Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления ()

Пусть первый стержень изготовлен с неточностью по длине , а второй - с неточностью , т.е. с фактической длиной несколько большей номинальной. Тогда при сборке в них появятся внутренние напряжения. Расчетная схема при этом будет выглядеть так, как показано на рис.4. Знаки внутренних усилий будут разными, так как при сборке необходимо второй стержень растянуть на величину Δl₂ и в нем появятся растягивающие усилия R₂. Первый стержень будет сопротивляться этому, что приведет к необходимости его сжатия на величину Δl₁, и в нем возникнут сжимающие усилия R₂.

Рис.4

Уравнение равновесия для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

 (10)

Для перемещений (рис. 4 ) получим

;  (11)

Соотношение между и находим аналогично п.I (см. уравнение (4)):

 (12)

Подставив выражения (11) в (12), получим уравнение совмести деформаций:

 (13)

Выразив согласно закону Гука удлинения  и  через усилия R₁, R₂, преобразуем уравнение (13):

 (14)

Перейдем в уравнении (14) к новым переменным, в качестве которых выберем напряжения:

 ;

Тогда, выразив l₁ и l₂ через h, уравнению (14) можно придать следующий вид:

 (15)

Перепишем уравнение (10) в напряжениях:

Или

 (16)

Решим систему уравнений (15) и (16) относительно неизвестных напряжений и :

Подставим известные числовые значения:

4. Расчет температурных напряжений ()

Предположим, что оба стержня системы нагреты до температуры , где  - комнатная температура. Тогда их длины получат соответствующие приращения

 (17)

Эти приращения можно формально рассматривать как неточности изготовления стержней и воспользоваться для определения возникающих при этом температурных напряжений результатами решения п.3, заменив  на , на . Тогда для температурных напряжений  и  будет справедлива система уравнений:

 (18)

При и заданных геометрических и физических параметрах системы получим

5. Подбор сечений элементов системы

При расчете сечений учитывается одновременное действие всех нагружающих факторов: внешней нагрузки, напряжений, вызванных неточностью изготовления, и температурных напряжений. Полученные в пп.1, 3, 4, данные представим в виде табл.1:

Таблица.1