Кинематика и динамика манипулятора с двумя степенями свободы

Кинематика и динамика манипулятора с двумя степенями свободы

Министерство образования и науки Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра оборудования и автоматизации машиностроения наименование кафедры

уравнение скорость движение звено манипулятор

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

Механика автоматических устройств

.015.00.00 ПЗ

наименование темы

Кинематика и динамика манипулятора с двумя степенями свободы

Выполнил студент группы

РИМ-10-1/2(1) Семёнов Е.Н.

Руководитель

Б.Б. Пономарёв

Иркутск 2012 г.

1. Кинематика плоского механизма с двумя степенями свободы по заданному движению одной из точек

Требуется:

1. Составить дифференциальные уравнения движения механизма.

. Решить с помощью ЭВМ полученную систему уравнений на интервале времени t.

. Построить графики , , .

. Для момента времени  определить графоаналитическим методом угловые скорости звеньев и сравнить с результатами счета на ЭВМ.

Рассматривается плоский механизм с двумя степенями свободы. Движение точки М задано: , .

Дано:  рад; DA=2AB=2R₁=0,86 м; CP=0,5R₁=0,215 м; AC=R₃=0,79 м; BD=R₁=0,43=0,75 м; MB=R₂=0,98 м; =0,31 рад; =2,91 рад; =0,41 рад; V₁=9 м/с; =0,23 с; =0,0096 с; р=27,3 с^-1.

Составляем уравнения для четырех неизвестных угловых скоростей звеньев , , , . При заданном движении точки М они определяются из уравнений внешних связей, налагаемых на механизм. На данный механизм наложены связи:

V_Dy=0, V_Dx=0, V_Cy=0, V_Px=0, V_Py=0

Составляем все возможные варианты векторных уравнений:

Проецируя обе части уравнений на оси координат X и Y с учетом наложенных связей получим систему алгебраических уравнений для определения w_iz(i=1,2,3,4):

Из составленных уравнений связей выбираем 4, позволяющих наиболее простым путём произвести преобразования и выразить одни неизвестные через другие. В данном случае это уравнения (1), (2), (6), (7), которые с учетом формул приведения запишутся в следующем виде:

Полученная система уравнений может быть разрешена относительно w_i:

Решаем систему на интервале времени  с шагом Δt. Сведём полученные данные в таблицу:

По результатам решения строим графики , , , :

Проводим проверку. Извлекаем из таблицы значения углов поворота звеньев из строки под номером 3.

Механизм строим в масштабе 1:10, определяем положение мгновенных центров скоростей.

Строим векторы скоростей точек A, B, C, M и указываем дугами направления вращения звеньев.

По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяем значения угловых скоростей звеньев.

Результаты, полученные с помощью графических построений, близки к результатам решения задачи на ЭВМ и не отличаются более чем на 5%.

2. Кинематика управляемого движения манипулятора

Требуется:

1. Составить уравнения управляемого движения точки М, уравнения углового движения звеньев манипулятора и уравнения для скорости точки С.

. Выбрать параметры управления, обеспечивающего сближение точек М и К с заданной точностью.

. Проинтегрировать с помощью ЭВМ уравнения движения на интервале времени [0; ]

. Построить траектории сближения точек М и К и графики , , .

. Для момента времени  провести графоаналитическое решение задачи и сравнить с результатами счета.

Управление манипулятором должно обеспечить за время  сближение захвата М с движущейся деталью К. Деталь движется прямолинейно с постоянной скоростью V_k в указанном на рисунке направлении. Начальное положение манипулятора задано углами поворота звеньев , , . К моменту времени  требуется относительная точность  совмещения точек М и К. Управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласований и их производных.

Дано: V_k=0,452 м/с; DA=2AB=2R₁=0,842 м; CP=0,5R₁=0,2105 м; BD=R₁=0,421=0,729 м; MB=R₂=0,971 м; AC=R₃=0,781 м; =0,301 рад; =2,901 рад; =0,401 рад; X_k(0)=0,45 м; Y_k(0)=1,12 м; =0,025; =1,224 с; =0,051 c. Уравнения движения детали К имеют вид:

Предполагая, что координаты захвата М известны в процессе движения, можно вычислить рассогласования координат точек К и М.

(11)

Учитывая, что управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласовании и их производных

(12)

При управлении с большими коэффициентами усиления k с погрешностью порядка 1/k выполняются соотношения:

(13)

Подставляя (13) в выражения (10), (11), (12) и приводя полученные уравнения к форме Коши получаем:

Угловое движение звеньев манипулятора и скорость точки С однозначно определяется движением точки М и внешними связями, налагаемыми в точках D и С. Составляются выражения для проекций скоростей точек С и М.

В соответствии с графом  запишем:

Определение параметра управления. Из (12) и (13) получим уравнение в рассогласованиях:

Решение этих уравнений имеет вид:

По условию, при t=t₂ должно выполняться соотношение

Система уравнений (14), (17) интегрируется с помощью ЭВМ на интервале [0; 1,224] с использованием конечноразностной схемы Эйлера. Шаг интегрирования Dt=0,051c.

Начальные условия по переменным j_1, j₂, j₃ приведены в исходных данных, а по переменным X_M, Y_M вычисляются по формулам:

Подставив в (18) числовые значения r_i, j_i(0), получают X_M(0), Y_M(0). Последующие шаги интегрирования осуществляются с использованием зависимостей (9), с учетом, что

использованием зависимостей (18).

Решаем системы на интервале времени  с шагом Δt. Сведём полученные данные в таблицу:

По результатам решения строим графики , , :

Проводим проверку. Извлекаем из таблицы значения углов поворота звеньев из строки под номером 3. Механизм строим в масштабе 1:10, определяем положение мгновенных центров скоростей. Строим векторы скоростей точек A, B, C, M и указываем дугами направления вращения звеньев. По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяем значения угловых скоростей звеньев и скорость точки С.

Результаты, полученные с помощью графических построений, близки к результатам решения задачи на ЭВМ и не отличаются более чем на 5%.

3. Динамика механизма с двумя степенями свободы

Требуется:

1. Составить уравнения кинетостатики для определения управляющих моментов, реализующих заданное программное движение груза.

. Составить кинематические уравнения, определяющие изменение во времени угловых скоростей, углов поворота звеньев и скорости точки С.

. Решить полученные уравнения на ЭВМ на интервале времени [0, ].

. Построить графики М_B, M_D, , , , , .

. Для момента времени  определить с помощью графоаналитического метода угловые скорости звеньев, скорость точки С и сравнить с результатами счета на ЭВМ.

. По данным счета найти мощность каждого двигателя при t=0,02.

Манипулятор перемещает точечный груз массы m за время  из точки d в точку е с заданной скоростью V_Мx=0, V_My=Vsin(kt). Управляющие двигатели расположены в шарнирах B и D.

Дано: DA=2AB=2R₁=0,86 м; CP=0,5R₁=0,215 м; AC=R₃=0,79 м; BD=R₁=0,43=0,75 м; MB=R₂=0,98 м; =0,31 рад; =2,91 рад; =0,41 рад; τ₃=0,24 с; V₃=3,14 м/с; k=13,1 рад/с; m=11 кг; Δt=0,01 с.

Массой элементов конструкции и приводов можно пренебречь.

Составляем уравнения кинетостатики для управляющих моментов:

а)

б)

в)

г)

Для составления уравнений кинетостатики система освобождается от связей. На рисунках изображаются реакции связей, активные силы (сила G) точки М и внутренние моменты управления М_Bz, M_Dz. По принципу Даламбера условно прикладываются к точке М силы инерции: сила инерции . Для заданного движения эта сила в проекциях определяется так:

Так как , то .

Так как , то .

Так как , то .

Так как  и , то .

То есть:

Из (23) находим, что

Из уравнений (20) и (22)

Составляем кинематические уравнения. Кинематические уравнения заимствуются из ранее решенных задач и с учетом того, что V_Mx=0 и V_My=Vsin(kt), запишутся:

Решаем систему на интервале времени  с шагом Δt. Сведём полученные данные в таблицу:

По результатам решения строим графики , , , , , , :

Проводим проверку. Извлекаем из таблицы значения углов поворота звеньев из строки под номером 3. Механизм строим в масштабе 1:10, определяем положение мгновенных центров скоростей. Строим векторы скоростей точек A, B, C, M и указываем дугами направления вращения звеньев. По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяем значения угловых скоростей звеньев и скорость точки С.

Результаты, полученные с помощью графических построений, близки к результатам решения задачи на ЭВМ и не отличаются более чем на 5%.

Вычисление мощности двигателей управления для t=0,02 c.

Вывод: кинематический анализ схемы манипулятора с двумя степенями свободы позволил найти уравнения движения звеньев и величины линейных и угловых скоростей при заданном движении одной из точек или при управляемом движении манипулятора, а графоаналитический анализ позволил подтвердить правильность аналитических расчётов. Силомоментный анализ позволил определить реакции связей звеньев и моменты управления, а также мощности двигателей управления для выполнения поставленной задачи, а графоаналитический анализ позволил подтвердить правильность расчётов.