Методы нахождения неопределенных интегралов
Контрольная
работа по высшей математике
Ситуационная (практическая) задача №
1
Написать три первых
члена степенного ряда по заданному общему члену , найти интервал
сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.
Решение.
Подставив
последовательно ,
запишем данный ряд в виде:
Так как среди
коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости
ряда по формуле
, где ,
Следовательно, ряд
сходится при
Исследуем сходимость
ряда на концах полученного интервала.
При данный
ряд принимает вид .
Сравним ряд с
гармоническим рядом .
Применим второй признак сравнения.
Так как полученный
предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд расходится,
то ряд также
расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.
При данный
ряд принимает вид .
Последний ряд является
знакочередующим рядом. По признаку Лейбница знакопеременный ряд сходится, если
выполняются два условия:
. 2.
, т.е.
Выполняются два условия
сходимости знакочередующего ряда, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится.
Но знакопеременный ряд сходится
условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .
Ситуационная (практическая) задача №
2
Найти общее решение
дифференциального уравнения и частное решение,
удовлетворяющее начальному условию
Решение.
Дано дифференциальное уравнение 1
порядка. Решаем его по методу Бернулли.
Заменим функцию произведением
двух неизвестных функций и
,
положим .
Тогда .
Подстановка и
в
уравнение дает .
Преобразуем это
уравнение:
Положим ,
и тогда при
любом значении .
Из уравнения находим:
При найденном значении линейное
уравнение принимает вид: .
Подставляем значение в
уравнение ,
получим
Зная, что и
,
находим
Проверка.
,
Подставим значения и
в
заданное уравнение
Получили тождество,
следовательно, найденное решение уравнения правильно.
- частное решение при
Ответ: -
общее решение уравнения.
- частное решение при
Тестовые задания
1. Применяя таблицу
интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл
А. ,
Б. ,
В. ,
Г. .
Ответ. А.
. Применяя метод
интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл
А.,
Б. ,
В. Г.
Ответ. А.
. Применяя метод
интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый
интеграл
А. ,
Б.
В. Г.
неопределенный интеграл
дифференциальный
Ответ. Г.
. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной графиками функций
, .
А. 3/2; Б. 125/6; В.
9/2; Г. 9
. Вычислить
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. В.
6. Выберите сходящийся ряд
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. А. ,
7. Выберите абсолютно сходящийся
ряд.
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. Г.
. В точке ряд
А. расходится, Б.
сходится абсолютно, В. сходится условно, Г. может, как сходиться, так и
расходиться.
Ответ. А. расходится
. При каком значении
параметра функция
является
решением уравнения
А. ,
Б.,
В. ,
Г.
Ответ. А.
. Найти общее решение
уравнения
А. ,
Б. ,
В.,
Г. .
Ответ. А.