Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников

Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников

Введение

Курс «Теория линейных электрических цепей» является базовым для подготовки специалистов в двух смежных областях знания ¾ электротехнике и радиоэлектронике. Эти два направления науки и техники имеют между собой много общего, построены на общей физической основе, но нацелены на решение различных технических задач.

К ним в первую очередь относятся задачи связи, радиолокации и радионавигации, телеуправления и телеизмерения, автоматизации различных производственных процессов и многие другие. Не боясь преувеличений, можно сказать, что электротехника и радиоэлектроника являются ведущими отраслями науки и техники, стоящими в авангарде научно-технического прогресса и имеющими исключительно важное значение для дальнейшего повышения производительности труда, улучшения качества продукции и роста материального благосостояния человечества.

Во всех электротехнических и радиоэлектронных устройствах независимо от их назначения и принципа действия имеют место одни и те же электромагнитные процессы, подчиняющиеся одним и тем же физическим законам. Знания, полученные из курса физики, дают общее представление об устройстве и принципе действия различных электронных устройств, однако они недостаточны для специалистов, готовящихся к расчёту, проектированию и производству таких устройств. Курс теории цепей, базирующийся на курсах физики и высшей математики, вооружает будущих специалистов инженерными методами исследования процессов в различных электротехнических и радиоэлектронных устройствах и является фундаментом для всех последующих специальных курсов.

Электромагнитные явления и устройства на их основе можно достаточно строго описать методами теории электромагнитного поля. В теории электромагнитного поля оперируют векторными величинами, такими как плотности токов, напряжённости электрического и магнитного полей. Эта теория позволяет описать процессы в каждой точке электромагнитного поля с помощью дифференциальных уравнений и частных производных (уравнений Максвелла). Методы теории поля дают возможность рассмотреть в общем виде самые разнообразные явления в любых электротехнических и радиотехнических устройствах. В то же время эти методы весьма сложны, трудоёмки и на практике позволяют решить ограниченное число задач.

Для исследования широкого круга устройств можно применять упрощённые методы, так называемые методы теории цепей, основанные на замене реального устройства некоторой упрощённой моделью, процессы в которой описываются скалярными величинами ¾ токами и напряжениями. Отдельные составные части устройства при этом заменяют моделями, приближённо отражающими основные (в рамках решаемой задачи) свойства соответствующих элементов.

Задачи, решаемые в процессе выполнения данного курсового проекта, включают в себя синтез четырёхполюсника и расчет его параметров; построение и расчёт схемы активного фильтра на основе синтезированного четырёхполюсника. Эти задачи напрямую увязаны с задачами, решаемыми в процессе построения различных устройств промышленного и бытового назначения.

РЕФЕРАТ

ДВУХПОЛЮСНИК

ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИК

ХОЛОСТОЙ ХОД

КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ

ОБРАТНЫЙ ХОЛОСТОЙ ХОД

ОБРАТНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ

ФИЛЬТР НИЗКИХ ЧАСТОТ

ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИТЕЛЬ

В данном курсовом проекте выполняется синтез схем реактивных ДП, входящих в состав исследуемого ЧП, расчет входных сопротивлений ЧП в режимах ХХ и КЗ, нахождение основной матрицы типа А и системной функции исследуемого ЧП, расчет характеристических, повторных и рабочих параметров ЧП, экспериментальная проверка на учебных стендах в лабораториях ТЛЭЦ зависимости bC() методом ХХ и КЗ, расчет элементов эквивалентного активного и пассивного ЧП.

Содержание

Введение

. Синтез реактивных схем двухполюсников

. Расчёт сопротивлений четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания

.1 Режим холостого хода в прямом направлении

.2 Режим короткого замыкания в прямом направлении

. Нахождение основной матрицы (А) и системной функции четырёхполюсника

.1 Нахождение матрицы А

.2 Нахождение системной функции

. Расчёт характеристических, повторных и рабочих параметров четырёхполюсника

.1 Характеристическое сопротивление

.2 Характеристическая постоянная передачи

.3 Повторные параметры четырёхполюсника

.4 Рабочие параметры

. Экспериментальная проверка результатов расчётов

. Расчет эквивалентного пассивного и активного четырёхполюсников

.1 Расчёт эквивалентного пассивного четырёхполюсника

.2 Эквивалентный активный четырёхполюсник

Заключение

Библиографический список

1. Синтез реактивных схем двухполюсников

Схема замещения исследуемого четырёхполюсника

двухполюсник четырехполюсник реактивный матрица

Рис. 1.1.

Для проверки возможности синтеза двухполюсников, проверим условия физической реализуемости. Формулы сопротивлений двухполюсников, составляющих исследуемый четырёхполюсник:

 , (1.1)

. (1.2)

Необходимые и достаточные условия физической реализуемости:

1)      Функция Z(p) реализуема, если она положительна и действительна, все коэффициенты при операторе р ¾ только вещественные и положительные числа.

2)      Высшая степень оператора р равна числу реактивных элементов в схеме.

3)      Высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя функции отличаются не более чем на 1.

)        Нули и полюсы функции Z(p) пассивных двухполюсников расположены в левой полуплоскости комплексного переменного. Нули и полюсы чередуются, кратных (одинаковых) корней не бывает.

)        У реактивных двухполюсников в числителе (знаменателе) функции Z(p) только нечётные степени, а в знаменателе (числителе) только чётные степени оператора р.

Функции (1.1) и (1.2) удовлетворяют вышеперечисленным требованиям.

Синтез пассивных двухполюсников осуществляется двумя методами разложения:

) на простые дроби, в результате которого получают канонические схемы Фостера первого или второго рода;

) в непрерывные (цепные) дроби, при этом получаются канонические схемы Кауэра первого или второго рода.

Элементная схема операторного сопротивления Z1(p)

Рис. 1.1.

Найдём нули и полюсы функции (1.1). Приравняем числитель к нулю и решим уравнение. Корни этого уравнения ¾ нули.

Найдём полюсы, для чего приравняем знаменатель к нулю.

Полюсно-нулевое изображение функции Z(p) приведено на рис. 1.1.

Рис. 1.2.

Определим класс двухполюсника, рассмотрев значения функции Z1(jw) на крайних частотах: . Класс двухполюсника (0-0).

Характеристическая строка сопротивления показана на рис. 1.2.

Рис. 1.3.

Схема двухполюсника состоит из двух элементов, так как высшая степень оператора р равна двум.

Найдём элементы схемы путём разложения на непрерывные дроби проводимости Y1(p) по нисходящим степеням оператора р.

Частота резонанса токов w = 14142 рад/с.

Таблица 1.1

Зависимость Z1(w)

Расчёт Z1(p) на контрольной частоте

.

Рис. 1.4.

График зависимости сопротивления от частоты

Элементная схема сопротивления Z2(p)

Рис. 1.5.

Нуль функции: р = 0. L = 0.02 Гн.

Полюсно - нулевое изображение приведено на рис. 1.6.

Рис. 1.6.

Класс двухполюсника (0-¥).

Характеристическая строка сопротивления

Рис. 1.7.

Расчёт Z2(p) на контрольной частоте

.

Таблица 1.2

Зависимость Z2(w)

Рис. 1.8.

График зависимости Z2(w) от частоты

2. Расчёт сопротивлений четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания

.1 Режим холостого хода в прямом направлении

Схема четырёхполюсника в режиме холостого хода в прямом направлении

Рис. 2.1

Элементы схемы: L1 = 0.05 Гн, С1 = 0.1×10-6 Ф, L2 = 0.02 Гн.

Рис. 2.2.

Схема замещения

. (2.1)

Подставив выражения для Z1 и Z2, получим

. (2.2)

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим нули и полюса функции.

Нули: w = 0, w2 = 26458 Рад/с.

Полюс: w1 = 14142 Рад/с.

Полюсно - нулевое изображение функции Zxx

Рис. 2.3.

Таблица 2.1

Зависимость Zхх(w)

Рис. 2.4.

График зависимости сопротивления холостого хода от частоты

Класс двухполюсника (0-∞).

Характеристическая строка сопротивления:

Рис. 2.5.

Расчёт на контрольной частоте произведём по (2.3).

. (2.3)

 Ом.

2.2 Режим короткого замыкания в прямом направлении

Схема замещения четырёхполюсника в режиме короткого замыкания

Рис. 2.6.

Сопротивление выражается формулой:

. (2.4)

Подставив в (2.4) выражения для сопротивлений и упростив, получим:

 (2.5)

Найдём нули и полюса, приравняв числитель и знаменатель к нулю.

Нуль: w = 0

Полюс: w1 = 26460 рад/с.

Расчёт на контрольной частоте:

, Ом.

Полюсно - нулевое изображение функции Zxx

Рис. 2.7.

Таблица 2.2

Зависимость Zкз(w)

Рис. 2.8.

График зависимости сопротивления короткого замыкания от угловой частоты

Класс двухполюсника (0-0).

Характеристическая строка сопротивления:

Рис. 2.9.

. Нахождение основной матрицы (А) и системной функции четырёхполюсника

.1 Нахождение матрицы А

Матрица А имеет вид:

 (3.1)

Где коэффициенты Аij для мостовой схемы имеют вид:

. (3.2)

. (3.3)

. (3.4)

. (3.5)

Подставляя вместо Z1 и Z2 их выражения, получим:

. (3.6)

. (3.7)

. (3.8)

. (3.9)

Произведём расчёт А параметров на контрольной частоте.

, Ом.

, См.

Для пассивных четырёхполюсников определитель, составленный из коэффициентов А, равен 1. Проверим правильность нахождения коэффициентов по формуле:

 (3.10)

.2 Нахождение системной функции

Запишем системную функцию через А параметры.

 (3.11)

Подставив (3.6), (3.7), (3.9), (3.10) в (3.11), получим

.

4. Расчёт характеристических, повторных и рабочих параметров четырёхполюсника

.1 Характеристическое сопротивление

При исследовании работы четырёхполюсника в качестве различных устройств автоматики телемеханики и связи удобно пользоваться характеристическими параметрами Zc1, Zc2, gc. Они зависят только от схемы замещения четырёхполюсника и значений его элементов, то есть являются собственными параметрами.

Характеристическое сопротивление ¾ это такое входное сопротивление четырёхполюсника, в котором в качестве нагрузки используется другое характеристическое сопротивление.

Так как четырёхполюсник симметричный, то сопротивление ZC1=ZC2=ZC. Рассчитаем характеристическое сопротивление Zc по (4.1).

. (4.1)

Подставив параметры А, получим

. (4.2)

Построим график зависимости ZC (w).

Таблица 4.1

Зависимость ZC(w)

Рис. 4.1.

График зависимости Zc(w)

Рассчитаем сопротивление Zc на контрольной частоте.

.2 Характеристическая постоянная передачи

Характеристическая постоянная передачи оценивает потери мощности в четырёхполюснике, не зависит от направления передачи энергии через четырёхполюсник.

Рассчитаем постоянную передачи по формуле:

, Нп. (4.3)

где  ¾ комплексная величина.

Вещественной частью gC является постоянная затухания аС, которая показывает степень потери мощности в четырёхполюснике или степень уменьшения амплитуды тока (напряжения) на выходе четырёхполюсника по сравнению с этими величинами его входе.

, Нп. (4.4)

Для нахождения аС в децибелах, обозначив

, дБ. (4.5)

получим , дБ. (4.6)

где .

Мнимой частью gC является фазовая постоянная bC, которая показывает смещение по фазе между токами и напряжениями на входе и выходе четырёхполюсника.

, рад. (4.7)

Подставим численные значения на контрольной частоте в(4.4), (4.5), (4.6).

Нп.

 дБ.

Для получения результата (bC) в градусах, необходимо (4.7) умножить на .

 Нп.

Графики зависимостей и показаны на рис. 4.2 и 4.3.

Таблица 4.2

Зависимость аС(w)

Рис. 4.2

Зависимость ас (w)

Таблица 4.3

Зависимость bC(w)

Рис. 4.3

Зависимость bc(w)

.3 Повторные параметры четырёхполюсника

При включении несимметричных четырёхполюсников, особенно для коррекции амплитудных искажений, бывает выгодно пользоваться повторными параметрами . Повторным сопротивлением называется такое, при подключении которого в качестве нагрузки входное сопротивление четырёхполюсника становится равным нагрузочному.

Для симметричных четырёхполюсников повторные параметры совпадают с характеристическими.

. (4.8)

. (4.9)

Ом.

Повторная постоянная передачи характеризует соотношения между входными и выходными токами, напряжениями и мощностями в режиме, при котором четырёхполюсник нагружен на соответствующее повторное сопротивление.

Повторная постоянная передачи равна характеристической, если четырёхполюсник симметричный.

.4 Рабочие параметры

На практике трудно согласовать сопротивление нагрузки с соответствующим характеристическим сопротивлением по всей полосе частот. Это вызывает дополнительные потери мощности, обусловленные отражениями сигнала на входе и выходе четырёхполюсника.

Таким образом, условия передачи мощности через четырёхполюсник не определяются только собственными параметрами, но зависят и от условий включения, характеристик передатчика и приёмника энергии, подключенных к четырёхполюснику.

Входное сопротивление при прямом направлении передачи рассчитаем по формуле:

. (4.10)

При обратном направлении передачи:

. (4.11)

Подставим данные

Сопротивление передачи ¾ это отношение входного напряжения к выходному току. При прямом направлении передачи определяется по формуле:

. (4.12)

При обратном направлении передачи

. (4.13)

На контрольной частоте сопротивления будут иметь значения:

Ом.

Ом.

В ряде случаев при определении условий передачи энергии от входа к выходу четырехполюсника требуется учитывать сопротивление генератора. Тогда используют приведённое сопротивление четырёхполюсника ¾ отношение ЭДС генератора к току в нагрузке:

. Ом. (4.14)

При обратном направлении передачи

. Ом. (4.15)

Подставим числовые значения

Ом.

Так как А11 = А22, Zприв2 будет равно Zприв1.

Для характеристики условий передачи мощности сигнала через четырёхполюсник используют логарифмическую меру рабочего коэффициента передачи по мощности ¾ рабочую постоянную передачи.

. (4.16)

Рабочее затухание рассчитаем по формуле:

. дБ (4.17)

. дБ.

Вносимая постоянная передачи характеризует соотношение между мощностью, отдаваемой генератором нагрузке, подключенной непосредственно к его зажимам, и мощностью, отдаваемой тем же генератором той же нагрузке, подключенной через четырёхполюсник.

Вносимая постоянная передачи рассчитывается по формуле:

, Нп. (4.18)

, Нп.

5. Экспериментальная проверка результатов расчётов

В задании на курсовой проект предлагается экспериментально в лаборатории ТЛЭЦ проверить зависимость bC(w) методом холостого хода и короткого замыкания.

Для выполнения поставленной задачи проведем измерения входных сопротивлений холостого хода и короткого замыкания с помощью моста переменного тока. При измерении необходимо уравновешивать мост с помощью подбора эквивалентного резистора магазином сопротивлений и эквивалентного конденсатора на магазине ёмкостей. Результаты представлены в табл. 5.1.

Рис. 5.1

Схема измерений

Таблица 5.1

Опытные данные

Рассчитаем сопротивления холостого хода и короткого замыкания по (5.1) и (5.2).

. (5.1)

. (5.2)

Далее рассчитаем фазовую постоянную по (5.3), (5.4), (5.5).

. (5.3)

. (5.4)

. (5.5)

Результаты расчётов сведём в таблицу.

Таблица 5.2

Зависимость фазовой постоянной от частоты

На основании полученных данных построим зависимость bC от частоты.

Рис. 5.2.

На графике кривая а ¾ опытная кривая, кривая b ¾ теоретическая.

На основании полученных данных можно заключить, что характер кривых совпадает, следовательно, расчёт выполнен верно.

6. Расчет эквивалентного пассивного и активного четырёхполюсников

.1 Расчёт эквивалентного пассивного четырёхполюсника

При расчёте электрических схем бывают случаи, когда схема может быть упрощена как в отношении входящих в неё элементов, так и в отношении технологии их изготовления, если воспользоваться соответствующими эквивалентными преобразованиями заданной схемы. При этом сохраняются все электрические свойства схемы, хотя структура и входящие в неё элементы полностью изменяются. Практическое применение имеет замена многоэлементных симметричных четырёхполюсников эквивалентными Т-, П-образными схемами, содержащими идеальный трансформатор.

По заданию необходимо заменить исходный мостовой четырёхполюсник мостовым дифференциальным. Схема такого четырёхполюсника приведена на рис. 6.1.

Рис. 6.1.

Схема эквивалентного мостового четырёхполюсника

Элементные схемы сопротивлений 2Z1 и 2Z2 представлены на рис. 6.2. и рис. 6.3.

Рис. 6.2.

Элементная схема сопротивления 2Z1

Элементная схема сопротивления 2Z2

Рис. 6.3.

Рассчитаем элементы схем.

Умножим Z1 на 2.

. (6.1)

Обозначим .

. (6.2)

Найдём коэффициент А.

Откуда

. (6.3)

Полная схема эквивалентного пассивного четырёхполюсника показана на рис. 6.4.

Рис. 6.4.

Эквивалентный пассивный четырёхполюсник

.2 Эквивалентный активный четырёхполюсник

Рассчитаем активный четырёхполюсник, для чего рассмотрим системную функцию четырёхполюсника.

. (6.4)

Найдём корни знаменателя.

р1 = -10479, р2 = - 8456 - 21243.5j, p3 = - 8456 + 21243.5j

Запишем системную функцию в виде:

. (6.5)

Проведём некоторые преобразования

. (6.6)

Реализуем системную функцию по частям. Первая дробь представляет собой RC − цепь, показанную на рис. 6.5.

Расчет элементов произведём по формуле:

. (6.7)

откуда .

Примем С = 10 мкФ. Тогда .

Первое звено

Рис. 6.5.

Вторая дробь представляет собой заграждающее биквадратное звено. Реализуем его по схеме Тоу, представленной на рис. 6.6.

Так как данное звено рассчитано в [2], возьмём готовые формулы для расчета элементов.

Рис. 6.6

Выберем С1 = С2 = 0.01 мкФ, k1 = k2 = 1.

R10 = 10 кОм.

Рассчитаем остальные элементы по формулам:

. (6.8)

. (6.9)

. (6.10)

. (6.11)

. (6.12)

Сопротивления R5 и R6 можно выбрать любые равные. Выберем 10 кОм.

. (6.13)

. (6.14)

. (6.15)

Подставим значения в (6.8) - (6.15).

Заключение

В ходе проведённой курсовой работы были получены характеристики и параметры ДП и ЧП, приведены математические выражения для расчёта их параметров, построены графические зависимости сопротивлений ДП и ЧП а также характеристическое ослабление и фазовая постоянная для ЧП.

В работе произведён расчёт элементов активного эквивалентного четырёхполюсника на ОУ.

Выполнение настоящей курсовой работы способствовало закреплению теоретических знаний по разделам курса теории линейных электрических цепей ”Двухполюсники” и “Четырёхполюсники” и появлению практических навыков, необходимых при эксплуатации, проектировании, разработке и усовершенствовании устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.

Библиографический список

1. Исследование и расчёт характеристик двухполюсников и четырёхполюсников: Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине “Теория линейных электрических цепей”/ Л.А. Карпова, В.Т. Полунин, С.А. Полякова, И.В. Раздобарова, В.С. Черноусова. -ОмИИТ,1991.42c.

. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчёт и реализация М.: Мир,1982.-592с.

. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. Для вузов. ¾ 3-е изд., испр. ¾ М.: Высшая школа, 2000 ¾ 575 с.: ил.