Методы оценок неизвестных параметров распределения
Федеральное агентство по образованию
РФ
Дагестанский Государственный
Университет
Математический факультет
Кафедра информатики и вычислительной
техники
Курсовая работа
На тему:
"Методы оценок неизвестных
параметров распределения"
Выполнила: студентка 3 курса 5 группы
Тажудинова П.Г.
Руководитель: Магомедов И.И.
Махачкала 2008 г.
Содержание
Введение
1. Нормальное распределение на прямой
2. Нормальная кривая
3. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной
кривой
4. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной
величины
5. Вычисление вероятности заданного отклонения
6. Правило трех сигм
7. Равномерное распределение
8. Задачи
Литература
Введение
Исходным объектом статистических исследований является выборка
,
Из распределения , которое полностью или частично неизвестно.
В математической статистике традиционно выделяют в качестве
основных два следующих класса задач:
1. Оценка неизвестных параметров.
2. Проверка статистических гипотез.
Задачи первого класса возникают, когда по выборке нужно оценить какую-нибудь неизвестную
числовую характеристику распределения Р (оно ведь неизвестно).
То есть, для заданного функционала
От распределения Р мы должны указать функцию от выборки (или, что
то же, статистику)
Предназначенную для использования вместо параметра в качестве его приближения.
Статистику называют оценкой параметра . Разумеется, оценок для параметра может быть очень много. Для оценки функционала вида
естественно использовать статистику
.
Но можно, конечно, рассматривать и другие оценки, скажем,
,
где - элементы вариационного ряда и т.д. в
качестве можно брать и значения, не зависящие от
выборки.
Часто в постановке задач об оценивании содержится указания на то,
каким является множество возможных значений параметра . Например, если оценивается доля какого-нибудь минерала в руде, то ясно,
что.
Качественной разницы между задачами первого класса (теории оценок)
и второго класса (проверка статистических гипотез) не существует.
Основные законы распределения:
1. Биномиальный закон распределения.
Определение. Дискретная случайная величина Х имеет
биномиальный закон
Распределения с параметрами n и p, если она принимает
значения 0,1,2,…,m,…,n с вероятностями
,
где 0<p<1, .
. Закон распределения Пуассона
Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон
распределения
Пуассона с параметром , если она принимает значения
,1,2,…,m,… (бесконечное но счетное множество
значений) с
вероятностями
.
. Геометрическое распределение
Определение. Дискретная случайная величина Х=m имеет геометрическое
распределение с параметром , если она принимает значения
,2,…,m… (бесконечное, но счетное множество
значений) с
вероятностями
,
где 0<p<1, .
. Гипергеометрическое распределение
Определение. Дискретная случайная величина Х имеет
гипергеометрическое
распределение с параметрами n, M, N, если она принимает
значения 0,1,2,…,m,…, min (n,M) с вероятностями
,
где , ; n,M,N - натуральные числа.
. Равномерный закон распределения
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный
закон
постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный
(экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:
. Нормальный закон распределения
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный
закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:
.
. - распределение.
Определение. Распределением (хи-квадрат) с степенями свободы называется распределение суммы квадратов независимых случайных величин,
распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.
,
где (=1,2,… ) имеет нормальное распределение N (0;1).
. Распределение Стьюдента.
Определение. Распределение Стьюдента (или t-распределением) называется распределение случайной величины
,
где Z - случайная величина, распределенная по
стандартному нормальному закону, т.е. N (0; 1);
- независимая от Z случайная
величина, имеющая - распределение с степенями свободы.
. Распределение Фишера-Снедекора.
Определение. Распределение Фишера-Снедекора (или F-распределением) называемся распределение случайной
величины
,
где и - случайные величины, имеющие -распределение соответственно с и степенями свободы.
параметр распределение нормальная кривая
1.
Нормальное распределение на прямой
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной
случайной величины, которое описывается плотностью
.
Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное
распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение
нормального распределения.
а) По определению математического ожидания непрерывной случайной
величины,
Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны
старым, получим
Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная
функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат).
Второе из слагаемых равно (интеграл Пуассона ).
Итак, , т.е. математическое ожидание нормального
распределения равно параметру .
б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая,
что , имеем
.
Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны
старым, получим
.
Интегрирую по частям, положив , , найдем
.
Следовательно,
.
Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения
равно параметру .
Общим называют нормальное распределение с произвольными
параметрами и (>0).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и .
Плотность нормированного распределения
.
Функция общего нормального распределения
,
А функция нормированного распределения
.
Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0,x) можно
найти, пользуясь функцией Лапласа
.
Действительно
Учитывая, что и, следовательно, в силу симметрии относительно нуля , а значить, и ,
Легко получить, что .
Действительно,
.
2. Нормальная
кривая
График плотности нормального распределения называют
нормальной кривой (кривая Гаусса).
Исследуем функцию
Методами дифференциального исчисления.
1. Очевидно, функция определена на всей оси .
2. При всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая
расположена над осью .
. Предел функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) равен нулю: , т.е. ось служит горизонтальной асимптотой графика.
. Исследуем функции на экстремум. Найдем первую
производную:
.
Легко видеть, что при , при , при .
Следовательно, при функция имеет максимум равный .
. Равность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е.
график функции симметричен относительно прямой .
. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:
Легко видеть, что при и вторая производная равна нулю, а при
переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции
равно ). Таким образом, точки графика и является точками перегиба.
На рис. изображена нормальная кривая при и .
3. Влияние
параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
График функции и имеют одинаковую форму; сдвинув график в положительном направлении оси на единиц масштаба при или в отрицательном направлении при , получим график . Отсюда следует, что изменение величины
параметра (математического ожидания) не изменяет
формы нормальной кривой, а приводить лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если возрастает, и влево, если убывает.
По иному обстоит дело, если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение).
Максимум дифференциальной функции нормального распределения равен
.
Отсюда следует, что с возрастанием максимальная орбита нормальной кривой убывает, а сама кривая
становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более "островершинной" и
растягивается в положительном направлении оси .
При любых значениях параметра и о площадь, ограниченная нормальной кривой и осью , остается равной единице.
На рис. изображены нормальные кривые при различных значениях и . Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра сказывается на форме нормальной кривой.
При и нормальную кривую
называют нормированной.
4.
Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины
Если случайная величина X задана
плотностью распределения , то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , такова:
Пусть случайная величина X
распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , равна
Можно преобразовать эту формулу так, чтобы можно было пользоваться
готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда , . Найдем новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .
Таким образом, имеем
Пользуясь функцией Лапласа
,
окончательно получим
.
5. Вычисление
вероятности заданного отклонения
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение
нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность
осуществления неравенства .
Заметим это неравенство равносильным ему двойным неравенством
, или .
Пользуясь формулой
,
получим
Приняв во внимание равенство (функция Лапласа - нечетная), окончательно имеем
.
В частности, при
.
На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины
нормально распределены и , то вероятность принять значение,
принадлежащее интервалу , больше у той величины, которая имеет
меньшее значение . Этот факт полностью соответствует
вероятностному смыслу параметра ( есть среднее квадратическое отклонение;
оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического
ожидания).
События состоящие в осуществлении неравенства и , - противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления
неравенства равна , то вероятность неравенства равна .
6. Правило
трех сигм
Преобразуем формулу
,
положив . В итоге получим
.
Если и, следовательно, , то
,
т.е. вероятность то, что отклонение по абсолютной величине будет
меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина
отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а
именно равна 0,0027. это означает, что лишь в 0,27% случаев так может
произойти. Такие события исходя из принципов невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность
правила тих сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная
величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного
среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяются так: если распределение
изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное приведенном
правиле, выполняются, то есть основание предполагать, что изучаемая величина
распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.
7.
Равномерное распределение
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный
закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по
равномерному закону, есть
(*)
ее математическое ожидание
а дисперсия
При функция распределения
При получим
При очевидно, что
т.е. формула (*) доказана.
Математическое ожидание случайной величины Х с учетом его
механической интерпретации как центра массы равно абсциссе середины отрезка,
т.е.
Тот же результат получается если вычислить интеграл:
А для дисперсии имеем:
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок
округления при проведении числовых расчетов (например, ошибка округления числа
до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; +0,5]), в ряде задач
массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений,
подчиненных заданному распределению. Так, случайная величина Х, распределена по
равномерному закону на отрезке [0,1], называемая "случайным числом от 0 до
1", служит исходным материалом для получения случайных величин с любым
законом распределения.
8. Задачи
1. Производится измерение диаметра вала без систематических
(одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим
отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение
будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм.
Решение.
Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому
применима формула
По таблице находим Искомая вероятность
. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным,
если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по
абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим
отклонением мм, найти, сколько в среднем будет годных
шариков среди ста изготовленных.
Решение.
Так как X - отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то
.
Воспользовавшись формулой
, подставив , , получим
Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7мм, равна 0,92.
Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.
. Диаметр круга измерен приближенно, причем , и . Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную
равномерно в интервале , найти математическое ожидание и
дисперсию площади круга.
Решение.
1. Математическое ожидание площади круга - случайной величины находим по формуле
.
Подставив , , получим
. Дисперсию площади круга находим по формуле
Подставив , , получим
. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы
есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами и , найти случайную величину Х.
Решение.
Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы
заключен в границах от до . Найдем эти границы:
,
(см),
т.е. (см).
Литература
1.
"Теория вероятностей и математическая статистика".В.Е. Гмурман
Москва: "Высшая школа" 1998 г.
.
"Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике" В.Е. Гмурман Москва: "Высшая школа" 2002 г.
.
"Теория вероятностей и математическая статистика".Н.Ш. Кремер Москва:
"Юнити-Дана", 2004 г.
.
"Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез".
А.А. Боровков Москва: изд. "Наука" 1996 г.