Кривые второго порядка

Международный университет природы, общества и человека "Дубна"

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

по линейной алгебре и аналитической геометрии на тему:

"Кривые второго порядка"

Выполнил студент 1 курса группы 1082

Иванов Иван Иванович

Руководители:

доцент Арбузова Е.В.

ассистент Павлов А.С.

Дубна, 2005

Оглавление

1. Цель курсовой работы

2. Задача

3. Исходные данные

4. Анализ кривой второго порядка

1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра  с помощью инвариантов

2. Переход уравнения кривой при  = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей

3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()

4. Построение кривой в канонической и общей системе координат

5. Вывод для данной кривой

6. Анализ поверхности второго порядка

1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений

3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат

7. Вывод

Список литературы

1. Цель курсовой работы

Целью курсовой работы является закрепление и углубление студентом полученных теоретических знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых второго порядка.

2. Задача

Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

. Определить зависимость типа кривой от параметра  с помощью инвариантов.

. Привести уравнение кривой при параметре  равном нулю к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситеты и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка при параметре  равном нулю.

. Построить кривую в канонической и общей системах координат.

3. Исходные данные

Кривая:

 (1.1)

4. Анализ кривой второго порядка

1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра  с помощью инвариантов

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат  уравнением:

Если хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Найдем коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка (1.1):

Вычислим инварианты кривой (1.1) по формулам:

,

,

Далее, в зависимости от значений инвариантов, определим тип кривой (1.1) и рассмотрим по отдельности кривые различных типов, определяемые этим уравнением кривой второго порядка с параметром , пользуясь классификацией кривых второго порядка.

В зависимости от значения инварианта  принята следующая классификация кривых второго порядка.

Если  - кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.

Если  - кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.

Если  - кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

Кривая второго порядка Г называется центральной, если .

Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.

Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:

)        эллипс;

)        мнимый эллипс;

)        вырожденный эллипс;

)        две мнимые пересекающиеся прямые (точка) ;

)        гипербола;

)        две пересекающиеся прямые;

)        парабола.

В соответствии с классификацией кривых второго порядка имеем:

1. Если , то есть, то уравнение (1.1) определяет кривую параболического типа. При этом I₃ = ¹0, следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет параболу.

кривая второй порядок поверхность

Если , то кривая второго порядка - центральная. Следовательно, при  данная кривая (1.1) - центральная.

. Если , то есть при  данная кривая (1.1) определяет кривую эллиптического типа. При этом если ещё и  , то есть если , то уравнение (1.1) определяет эллипс.

. Для вырожденного эллипса Þ

. Если  и , то уравнение (1.1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

 => =>

Следовательно, двух пересекающихся прямых не существует для данного уравнения.

. Если  и , то уравнение (1.1) определяет две мнимые пересекающиеся прямые. Получим:

 =>

Следовательно, если , то уравнение определяет две мнимые пересекающихся прямые (точку).

Если I₂ < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет кривую гиперболического типа.

7. Если  и , то данная кривая - гипербола. Но при всех . Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:

2. Переход уравнения кривой при  = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей

При  = 0 уравнение (1.1) имеет вид:

 (1.2)

а) Определим тип кривой (1.2) с помощью инвариантов:

Так как , то исходное уравнение представляет собой уравнение эллиптического типа, а именно эллипс, так как .

б) Приведём данное уравнение (1.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Пусть декартовая прямоугольная система координат  получена поворотом системы на угол . Старые и новые координаты точки связаны соотношениями:

 (1.3)

Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим уравнение (1.2) в системе . Это уравнение имеет вид:

 (1.4)

Упрощая полученное уравнение и приводя подобные слагаемые, получаем:

 (1.5)

Выберем такой угол , что в уравнении (1.5) коэффициент при = 0:

Примем , тогда найдем значения  и , которые выражаются через  по формулам: , . Отсюда , а . Возьмём значения , а .

Тогда уравнение (1.5) имеет вид:

Дополним до полных квадратов:

Примем за новое начало точку . Применим формулы преобразования координат:

Получим:

или

То есть получили уравнение эллипса в каноническом виде.

3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()

Для данного уравнения кривой второго порядка найдём фокусы, директрисы, эксцентриситет.

 (1.6)

Общее уравнение эллипса имеет вид:

Из канонического уравнения (1.6) находим и - большую и малую полуоси эллипса соответственно:

Для любой точки Мгиперболе, абсолютная величи7а разности фокальных радиусов () есть величина постоянная и равная 2.

Выберем начало координат в середине отрезка  равного , тогда в выбранной системе координат точки и имеют координаты  исоответственно. Обозначим через  постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, что , то есть .

Находим значение  по формуле :

Отсюда фокусы и имеют следующие координаты:

,

Эксцентриситетом гиперболы называется величина , то есть имеем:

Директрисой  гиперболы, называются две прямые перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные ассиметрично относительно центра гиперболы на расстоянии  от него.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид:

. Отсюда ;

Асимптотами называются диагонали прямоугольника, к которым стремятся ветви гиперболы. Уравнения асимптот находятся по следующим формулам:

,

то есть  и

4. Построение кривой в канонической и общей системе координат

Рис.1. Эллипс в общей системе координат:

5. Вывод для данной кривой

второго порядка после определения зависимости типа кривой от параметра  с помощью инвариантов мы определили, что при  данное уравнение - гипербола. После преобразования уравнения кривой при  с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей, было получено каноническое уравнение эллипса. С помощью этого уравнения мы нашли фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты данной гиперболы.

6. Анализ поверхности второго порядка

1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

 (2.2)

где по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля. Уравнение (1.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка , а систему координат  называют общей системой координат. Нам дано общее уравнение поверхности второго порядка

 (2.1)

Приведём данное уравнение (2.1) к каноническому виду.

 (2.2)

То есть получили уравнение эллиптического цилиндра в каноническом виде.

2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений

Данное каноническое уравнение поверхности (2.2) задает эллиптический цилиндр.

1. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий  на плоскость  имеет вид:

 (2.3)

Уравнение (2.3) - уравнение эллипса с центром в точке (0,0,0), мнимыми осями в точках  и  (см. рис 1).

2. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий  на плоскость  имеет вид:

:  (2.4)

Запишем уравнение (2.4) в виде:

:  (2.5)

Уравнение (2.5) - это уравнение прямых в плоскостях  ( - любое действительное число). При различных значениях  получим семейство соответствующих прямых (см. рис.2):

 (сечений нет)

 (прямая)

 (две параллельные прямые)

Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий  на плоскость  имеют вид:

:  (2.6)

Запишем уравнение (2.6) в виде:

:  (2.7)

Уравнение (2.7) - это уравнение прямых в плоскостях  ( - любое действительное число),

При различных значениях  получим семейство соответствующих прямых (см. рис.3):

 (сечений нет)

,

.

Построение сечений:

Рис.1. Эллипс (Z=const).

Рис.2. Семейство прямых (X=h (h=const)).

Рис.3. Семейство прямых (Y=h (h=const)).

3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат

Рис.4. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат.

7. Вывод

Итак, мы привели общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду, то есть максимально его упростили. Далее, для того, чтобы иметь представление о форме данной поверхности, мы исследовали её методом сечений плоскостями , , , параллельными координатным плоскостям. В ходе исследования мы получили эллиптический цилиндр.

Список литературы

1. Копылова Т.В. "Аналитическая геометрия". - Дубна, 1996.

. Ефимов А.В., Демидович Б.П. "Сборник по математике" (для ВТУЗов) (в четырех частях). - М.: Наука, 1993.

. Мазный Г.Л., Мурадян А.В. "Офисные информационные технологии" - Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 1999.