Синтез регуляторов в системе автоматического регулирования методом расширенных частотных характеристик
МИНОБРНАУКИ
РОССИИ
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
“Тверской
государственный технический университет”
Лабораторная
работа №3
по
дисциплине: “Автоматизация технологических процессов и производств”
на
тему: “ Синтез регуляторов в САР методом расширенных частотных характеристик”
Выполнил: Мякатин И.Д.
Принял: Марголис Б.И.
Тверь
2016
Цель работы: Ознакомиться с методом расширенных
частотных характеристик (РЧХ) и реализовать программу в среде MatLab, которая
по заданной передаточной функции объекта управления и параметрах качества
переходного процесса замкнутой САР рассчитает параметры настройки регулятора,
исходя из типа регулирующего устройства.
Метод расширенных частотных характеристик
Метод расширенных частотных характеристик
разработан Е.Г.Дудниковым для расчета настроек регуляторов САР с типовыми
линейными законами регулирования.
Требования к показателям качества противоречивы.
Например, уменьшение динамической ошибки достигается за счет увеличения
колебательности и длительности переходных процессов. Наоборот, процессы с малым
временем регулирования удается получить за счет увеличения динамической ошибки.
Поэтому относительно желаемых значений показателей качества в замкнутой САР приходится
принимать компромиссное решение. Если ставится задача выбора настроек
регулятора, минимизирующих какой-либо показатель качества, то соответствующий
переходный процесс, а также значения настроек регулятора называются
оптимальными в смысле указанного критерия.
Расширенными частотными
характеристиками называются выражения для передаточной функции, в которых
переменная 
заменяется
уравнением границы заданной колебательности. Для получения РЧХ следует заменить
переменную в
передаточной функции уравнением границы заданной колебательности:
.
Обычные частотные характеристики
используются для исследования устойчивости САР с помощью критерия Найквиста.
Этот критерий можно сформулировать для РЧХ, что позволяет исследовать САР на
заданную колебательность переходного процесса. Для достижения заданной степени
колебательности замкнутой системы 
необходимо, чтобы расширенная АФХ
разомкнутой системы при изменении частоты от 
до 
проходила через точку с
координатами 
. С помощью
критерия Найквиста для РЧХ может быть построена линия равного затухания (ЛРЗ)
системы, по которой определяются оптимальные настройки регулятора.
Линией равного затухания называется
геометрическое место точек в плоскости настроечных параметров регулятора, для
которых величина степени колебательности 
постоянна.
Для получения уравнения ЛРЗ
необходимо записать условие нахождения системы на границе заданной
колебательности. Согласно критерию Найквиста, для РЧХ условием заданной
колебательности в замкнутой САР является прохождение расширенной АФХ
разомкнутой системы через точку , то есть
.
Если обозначить расширенные
характеристики объекта и регулятора через 
и 
, то условие принимает вид
,
поэтому
.
Находя значения расширенной
частотной передаточной функции объекта 
и подставляя их в формулу, получим
значения расширенной частотной характеристики регулятора 
. Пусть
действительная часть РЧХ регулятора 
, а мнимая часть 
, тогда
.
Подставляя в выражения для РЧХ
объекта регулирования и регулятора и разрешая систему относительно настроечных
параметров регулятора, можно получить уравнение ЛРЗ в параметрическом виде, где
параметром является частота 
.
Запишем РЧХ ПИД-регулятора как
.
Избавимся от комплексности в
знаменателе, умножив числитель и знаменатель слагаемого с коэффициентом 
на 
:
.
В соответствии с формулой приравняем
действительные части выражения к 
, а мнимые, соответственно, к 
:
Выражая из второго уравнения
величину:
и подставляя её в первое уравнение,
получим
.
В итоге из получаем уравнения ЛРЗ
для системы с ПИД-регулятором в виде
Листинг программы
clcallw real=input('Выберите регулятор (1-ПИ,
2-ПД, 3-ПИД): ')=0.5;=10;=20;=0.5;=1-wt;=tf(2,[1 3 2]);
[num,den]=tfdata(W,'V');=poly2sym(num,(1i-m)*w);=poly2sym(den,(1i-m)*w);=-(znam/chisl);=(0:0.1:10);=subs(real(Wreg),w,x);=subs(imag(Wreg),w,x);regtype
case 1
k1=Re-Im*m;
k0=-Im.*x*(m*m+1);
y=0;
for i=1:length(k1)
if k1(i)>0 && k0(i)>0
y=y+1;
k_1(y)=k1(i);
k_0(y)=k0(i);
Wpi(y)=tf([k1(i) k0(i)],[1 0]);
Wzam(y)=feedback(W*Wpi(y),1,-1);
[u,t]=step(Wzam(y));
sigma(y)=((max(u)-u(end))/max(u))*100;
tpp(y)=t(end);
I(y)=wt*abs(tpp(y)-tzad)/tzad+wsig*abs(sigma(y)-sig)/sig;
plot(t,u)
hold on;
grid on;
end
end
I
[Iopt,nopt]=min(I);
disp('ПФ оптимального регулятора')
optreg=Wpi(nopt)
disp('ПФ оптимальной замкнутой')
Wzam(nopt)
[y1,t1]=step(Wzam(nopt));
plot(t1,y1,'r')
hold on
figure
plot(k_1,k_0,'.')
title('Линия равного затухания')
label('k1');ylabel('k0');
hold on;
grid on;
plot(k_1(nopt),k_0(nopt),'r*')2
k1=Re+(Im*m);
k2=Im./x;
y=0;
for i=1:length(k1)
if k1(i)>0 && k2(i)>0
y=y+1;
k_2(y)=k2(i);
k_1(y)=k1(i);
Wpd(y)=tf([k2(i) k1(i)],1);
Wzam(y)=feedback(W*Wpd(y),1,-1);
[u,t]=step(Wzam(y));
sigma(y)=((max(u)-u(end))/max(u))*100;
tpp(y)=t(end);
I(y)=wt*abs(tpp(y)-tzad)/tzad+wsig*abs(sigma(y)-sig)/sig;
plot(t,u)
hold on;
grid on;
end
end
I
[Iopt,nopt]=min(I);
disp('ПФ оптимального регулятора')
optreg=Wpd(nopt)
disp('ПФ оптимальной замкнутой')
Wzam(nopt)
[y1,t1]=step(Wzam(nopt));
plot(t1,y1,'r')
xlabel('t'); ylabel('y(t)');
hold on
plot(k_2,k_1,'.')
title('Линия равного затухания')
xlabel('k2'); ylabel('k1');
hold on;
grid on;
plot(k_2(nopt),k_1(nopt),'r*')3
k2=[0.2 0.5 1 1.2 1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
n=length(k2);
for j=1:n
k1=Re-m*Im+2*x.*k2(j)*m;
k0=(m^2+1)*x.*(k2(j)*x-Im);
y=0;
for i=1:length(k1)
if k1(i)>0 && k0(i)>0 &&
(k2(j)*k0(i)/k1(i)^2<0.25)
y=y+1;
k_1(y)=k1(i);
k_0(y)=k0(i);
Wpid(y)=tf([k2(j) k1(i) k0(i)],[1 0]);
Wzam(y)=feedback(W*Wpid(y),1,-1);
[u,t]=step(Wzam(y));
sigma(y)=((max(u)-u(end))/max(u))*100;
tpp(y)=t(end);
figure(j)
plot(t,u)
hold on;
grid on;
I(y)=wt*abs(tpp(y)-tzad)/tzad+wsig*abs(sigma(y)-sig)/sig;
end(isempty(I)==true)
break;
else
I
[Iopt,nopt]=min(I);
optreg(j)=Wpid(nopt);
figure(j)
[y1,t1]=step(Wzam(nopt));
plot(t1,y1,'r')
xlabel('t'); ylabel('y(t)');
hold on
figure(n+1)
plot(k_1,k_0,'.')
title('Линия равного затухания')
xlabel('k1'); ylabel('k0');
hold on;
grid on;
plot(k_1(nopt),k_0(nopt),'r*')
figure(n+2)
[y1,t1]=step(Wzam(nopt));
plot(t1,y1)
grid on
hold on
end;
I=[];
end
Iop
[Iopt1,nopt1]=min(Iop)
disp('ПФ оптимального регулятора')
optreg(nopt1)
disp('ПФ оптимальной замкнутой')
Wzam_opt=feedback(W*optreg(nopt1),1,-1)
[y1,t1]=step(Wzam_opt);
plot(t1,y1,'r')
xlabel('t'); ylabel('y(t)');
disp('Перерегулирование(%): ')
perereg=((max(y1)-y1(end))/max(y1))*100
disp('Время переходного процесса(с): ')
tpp=t1(end)
Полученные результаты:
) ПИ-регулятор= 1= Columns 1 through 4
0.4235 0.1900 0.1162 0.1223
Columns 5 through 8
0.1552 0.1817 0.2029 0.2225
Columns 9 through 12
0.2418 0.2619 0.2822 0.3042
Columns 13 through 16
0.3284 0.3554 0.3364 0.3303
Columns 17 through 20
0.3703 0.4112 0.7729 0.3948
Columns 21 through 23
0.3207 0.7515 1.7458
ПФ оптимального регулятора
Transfer function:
.4513 s + 1.063
ПФ оптимальной замкнутой
Transfer function:
0.9025 s + 2.126+ 3 s^2 + 2.902 s +
2.126
Перерегулирование(%):
= 16.0754
Время переходного процесса(с): = 10.3612
2) ПД-регулятор= 2= Columns 1 through 4
0.4387 0.4439 0.4471 0.4493
Columns 5 through 8
0.4514 0.4534 0.4553 0.4571
Columns 9 through 12
0.4589 0.4606 0.4622 0.4637
Columns 13 through 16
0.4639 0.4638 0.4638 0.4637
Columns 17 through 20
0.4637 0.4637 0.4637 0.4638
Columns 21 through 24
0.4638 0.4638 0.4639 0.4639
Columns 25 through 28
0.4640 0.4641 0.4641 0.4642
0.4643 0.4062 0.4069 0.4068
Columns 33 through 36
0.4067 0.4067 0.4066 0.4066
Columns 37 through 40
0.4065 0.4065 0.4064 0.4064
Columns 41 through 44
0.4064 0.4064 0.4063 0.4063
Columns 45 through 48
0.4072 0.4096 0.4120 0.4144
Columns 49 through 52
0.4167 0.4189 0.4210 0.4231
Columns 53 through 56
0.4252 0.4272 0.4292 0.4311
Columns 57 through 60
0.4329 0.4348 0.4365 0.4383
Columns 61 through 64
0.4400 0.4417 0.4433 0.4449
Columns 65 through 68
0.4464 0.4480 0.4494 0.4509
Columns 69 through 70
0.4523 0.4537
ПФ оптимального регулятора
Transfer function:
.5 s + 21.5
ПФ оптимальной замкнутой
Transfer function:
3 s + 43+ 6 s + 45
Перерегулирование(%): = 19.0903
Время переходного процесса(с): = 2.3313
частотный синтез регулятор
автоматический
3) ПИД-регулятор= 3= Columns 1 through 4
0.2296 0.2436 0.2557 0.2669
Columns 5 through 8
0.2779 0.2894 0.3018 0.3156
Columns 9 through 12
0.3312 0.3488 0.3593 0.3902
Columns 13 through 16
0.4153 0.4390 0.4630 0.4184
Columns 17 through 20
0.3228 0.3459 0.2919 0.6107
Column 21
1.5231= Columns 1 through 3
0.3043 0.3083 0.3125
Columns 4 through 6
0.3174 0.3231 0.3299
Columns 7 through 9
0.3379 0.3473 0.3582
Columns 10 through 12
0.3618 0.3408 0.4012
Columns 13 through 15
0.4165 0.4330 0.4504
Columns 16 through 18
0.4675 0.4834 0.3270
Columns 19 through 21
0.3904 0.5271 0.6531
Column 22
2.1692= Columns 1 through 3
0.2417 0.2562 0.2688
Columns 4 through 6
0.2795 0.2885 0.2956
Columns 7 through 9
0.3010 0.2885 0.3480
Columns 10 through 12
0.2924 0.2972 0.3101
Columns 13 through 15
0.3390 0.4291 0.4397
Columns 16 through 18
0.4533 0.4633 0.4723
0.4798 0.2616 0.3370
Columns 22 through 23
0.1391 0.6175= Columns 1 through 3
0.2788 0.2895 0.2992
Columns 4 through 6
0.3086 0.3166 0.3232
Columns 7 through 9
0.3283 0.3531 0.3740
Columns 10 through 12
0.3181 0.3159 0.3149
Columns 13 through 15
0.3355 0.3469 0.3589
Columns 16 through 18
0.4414 0.4534 0.4630
Columns 19 through 21
0.4705 0.4768 0.2126
Columns 22 through 24
0.3131 0.2334 0.8491
Column 25
0.4639= Columns 1 through 3
0.3205 0.3298 0.3379
Columns 4 through 6
0.3448 0.3505 0.3550
Columns 7 through 9
0.3585 0.3625 0.3656
Columns 10 through 12
0.3579 0.3517 0.3521
Columns 13 through 15
0.3515 0.3664 0.3637
Columns 16 through 18
0.3603 0.3641 0.3742
Columns 19 through 21
0.4464 0.4557 0.4628
Columns 22 through 24
0.4688 0.0939 0.2680
Columns 25 through 26
0.9487 0.3182= Columns 1 through 3
0.3801 0.3867 0.3925
Columns 4 through 6
0.3974 0.4016 0.4009
Columns 7 through 9
0.4240 0.4095 0.4107
Columns 10 through 12
0.4112 0.4110 0.4101
Columns 13 through 15
0.4093 0.4085 0.4072
Columns 16 through 18
0.4052 0.4026 0.3996
Columns 19 through 21
0.3961 0.3924 0.3885
Columns 22 through 24
0.4468 0.4530 0.4576
Columns 25 through 27
0.4612 0.1465 0.1987
Column 28
1.0612= Columns 1 through 3
0.4785 0.4544 0.4568
Columns 4 through 6
0.4588 0.4831 0.4743
Columns 7 through 9
0.4956 0.4636 0.4880
Columns 10 through 12
0.4870 0.4705 0.4708
Columns 13 through 15
0.4706 0.4700 0.4691
Columns 16 through 18
0.4677 0.4660 0.4640
Columns 19 through 21
0.4617 0.4590 0.4560
Columns 22 through 24
Columns 25 through 27
0.4430 0.4404 0.4378
Columns 28 through 30
0.4355 0.4336 0.4227
Columns 31 through 33
0.4222 0.4230 0.4253= Columns 1 through 3
0.5167 0.5188 0.5206
Columns 4 through 6
0.5192 0.5122 0.5270
Columns 7 through 9
0.5286 0.4988 0.5253
Columns 10 through 12
0.5216 0.5221 0.5224
Columns 13 through 15
0.5224 0.5222 0.5059
Columns 16 through 18
0.5058 0.5054 0.5048
Columns 19 through 21
0.5039 0.5028 0.5014
Columns 22 through 24
0.4998 0.4980 0.4960
Columns 25 through 27
0.4938 0.4914 0.4889
Columns 28 through 30
0.4862 0.4835 0.4807= Columns 1 through 3
0.5435 0.5435 0.5384
Columns 4 through 6 0.5383 0.5506 0.5497
Columns 7 through 9
0.5272 0.5504 0.5465
Columns 10 through 12
0.5442 0.5449 0.5454
Columns 13 through 15
0.5457 0.5458 0.5457= Columns 1 through 3
0.2296 0.3043 0.1391
Columns 4 through 6
0.2126 0.0939 0.1465
Columns 7 through 9
0.4222 0.4807 0.5272= 0.0939= 5
ПФ оптимального регулятора
Transfer function:
.5 s2 + 19.72 s + 7.84
ПФ оптимальной замкнутой
Transfer function:
3 s2 + 39.44 s + 15.68+ 6 s2 + 41.44 s + 15.68
Перерегулирование(%): = 17.4782
Время переходного процесса(с): = 9.3831
Графики П.П. для значений k2=[0.2 0.5 1 1.2 1.5
2 3 4 5]:
=0.2
K2=0.5
=1
K2=1.2
=1.5
K2=2
=3
K2=4
=5
Графики оптимальных П.П. при соответствующих
значениях K2:
Список литературы
1. Конспекты
лекций по курсу “АТПП”