Расчет статически неопределимой стержневой системы на прочность

Расчет статически неопределимой стержневой системы на прочность

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЕ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОУ ВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра сопротивления материалов

Курсовая работа

по дисциплине «Прикладная механика»

на тему «РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ПРОЧНОСТЬ»

Донецк 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

. Расчет статически неопределимой системы на прочность

1.1 Определение необходимых геометрических параметров стержневой системы

.2 Составление уравнений равновесия

.3 Определение геометрических соотношений из условия совместности деформаций элементов конструкции

.4 Определение усилий в стержнях конструкции

.5 Подбор размеров поперечных сечений стержней из условия прочности

.6 Расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) стержней

2. Исследование напряженно-деформированного состояния стержневой системы при температурном воздействии

2.1 Составление уравнений равновесия

.2 Определение геометрических соотношений из условия совместности деформаций элементов конструкции

.3 Определение усилий в стержнях конструкции

.4 Расчет напряженно-деформированного состояния стержней от температурного воздействия

3. Расчет балки на прочность

3.1 Определение опорных реакций

.2 Построение эпюр внутренних силовых факторов

.3 Подбор размера двутаврового поперечного сечения балки

.4 Построение эпюр напряжений в расчетном сечении балки

.5 Полная проверка прочности балки

4. Определение запаса прочности конструкции из расчета по предельным состояниям

4.1 Определение величины предельного усилия в растянутом стержне

.2 Определение величины предельного усилия в сжатом стержне

.3 Определение коэффициентов запаса прочности

Заключение

Библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

Целью курсовой работы является освоение практических навыков расчета параметров напряженно-деформированного состояния несущих элементов конструкций, оценка их прочности, жесткости и устойчивости, а также исследование влияние температурных воздействий на их напряженно-деформированное состояние.

В работе рассматривается расчет элементов статически неопределимой стержневой системы (рис. 1), геометрические размеры конструкции и параметры ее загружения представлены в таблице 1. В процессе выполнения работы необходимо решить следующие задачи:

) выполнить расчет статически неопределимой системы на прочность;

) исследовать напряженно-деформированное состояние стержневой системы при температурном воздействии;

) выполнить проектный и проверочный расчет балки на прочность;

) определить коэффициенты запаса прочности конструкции из расчета по предельным состояниям.

Элементы конструкции принимаются из стали общего назначения (Ст 3), которая имеет следующие физико-механические характеристики [1,2]:

допускаемое напряжение [σ]=160 МПа;

предел пропорциональности σ_п=200 МПа;

модуль упругости E=2·10⁵ МПа;

температурный коэффициент линейного расширения α=1,25·10^-5 ˚С^-1.

Исходные данные для расчета:

Рис. 1.

Таблица 1. Геометрические размеры и параметры загружения конструкции

1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ НА ПРОЧНОСТЬ

.1 Определение необходимых геометрических параметров стержневой системы

Длины стержней:

 м;

 м.

Положение наклонных стержней определим углами по отношению к горизонтальной балке (рис. 2), тригонометрические функции углов находятся из соотношений:

; ;

; .

.2 Составление уравнений равновесия

Используя метод сечений, составляем расчетную схему (рис.2). При этом учитываем, что действующая нагрузка P стремится повернуть балку относительно шарнирно-неподвижной опоры по ходу часовой стрелки, тем самым вызывая растяжение в первом стержне и сжатие во втором. Направление реакции в опоре O заведомо неизвестно, поэтому направление горизонтальной и вертикальной составляющей (H_O,V_O) реакции выбираем произвольно. Уравнения равновесия в соответствии с расчетной схемой (рис. 2) получим в виде:

, ; (1.1)

, ; (1.2)

, . (1.3)

Число неизвестных (H_O,V_O,N₁,N₂) в уравнениях равновесия четыре, а количество независимых уравнений равновесия для плоских систем три. Разность количества неизвестных величин и числа независимых уравнений (4-3=1) определяет степень статической неопределимости системы. Для нахождения неизвестных надо составить одно дополнительное уравнение - уравнение совместности деформаций.

.3 Определение геометрических соотношений из условия совместности деформаций элементов конструкции

Рассмотрим заданную систему в деформированном состоянии под действием силы P, в силу податливости стержней балка повернется по отношению к первоначальному положению на некоторый угол рис. 3. Каждая точка абсолютно жесткого стержня перемещается по дуге соответствующего радиуса поворота. Из-за малости углов поворота перемещение по дуге можно заменить перемещением по перпендикуляру к радиусу поворота [3,4]. Так, точка B перемещается по перпендикуляру к радиусу поворота OB, т.е. перемещается вниз. Упругий стержень, мысленно отсоединенный от жесткой балки, удлиняется на  и поворачивается вокруг точки подвески, т.е. точка B΄ при повороте перемещается по перпендикуляру к стержню 1 до пересечения с линией BB₁, в точке B₁, представляющей положение узла B в деформированном состоянии.

Таким же путем находим новое положение точки С. Строим перпендикуляр к радиусу поворота OС, второй стержень укорачиваем на Δl₂ и поворачивается вокруг точки подвески по перпендикуляру к стержню 2 до пересечения с линией CC₁, в точке C₁.

Из подобия прямоугольных треугольников OCC₁ и OBB₁ (прямоугольные треугольники с общей вершиной O) получаем соотношения

. (1.4)

Выразим перемещения узлов через деформации соответствующих стержней

; .

Подставив найденные выражения в равенство (1.4), получим условие совместности деформаций

. (1.5)

1.4    Определение усилий в стержнях конструкции

Подставляя в уравнение (1.5) выражения деформаций в соответствии с законом Гука [3], определяем соотношения между усилиями в стержнях

,

откуда, с учетом, что A₂=2A₁, получим

. (1.6)

Подставляя найденное соотношение в уравнение (1.3), определяем усилие в первом стержне

, откуда

; (1.7)

 кН.

Усилие во втором стержне составляет

; (1.8)

 кН.

.5 Подбор размеров поперечных сечений стержней из условия прочности

Условие прочности в обоих стержнях будет выполнено, если оно будет выполнено для наиболее напряженного стержня. С учетом, что сечение первого стержня состоит из двух уголков, а второго из четырех, то обозначив через A площадь одного уголка, найдем напряжения в стержнях в общем виде:

; .

Очевидно, что наибольшие напряжения возникают во втором стержне, из условия его прочности определяем площадь одного уголка

, отсюда

 м², или  см²

Из таблиц сортамента прокатной стали (ГОСТ 8509-93) по ближайшему большему значению площади выбираем уголок 75х8, сечение которого имеет следующие характеристики (рис. 4):

геометрические размеры: b=75 мм; t=8 мм; R=9 мм; r=3 мм,

площадь поперечного сечения A=11,5 см²,

момент инерции J_x=59,84 см⁴,

момент сопротивления W_x=11,18 см³,

радиус инерции i_x=2,28 см,

момент инерции J_x0=94,89 см⁴,

радиус инерции i_x0=2,87 см,

момент инерции J_y0=24,8 см⁴,

момент сопротивления W_y0=8,16 см³,

радиус инерции i_y0=1,47 см,

центробежный момент инерции J_xy=35 см⁴,

расстояние от наружной грани до центра тяжести x₀=2,15 см.

1.6 Расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) стержней

Усилия в стержнях определяются с учетом напряженного состояния стержня (положительное в случае растяжения, отрицательное в случае сжатия):

 кН;  кН.

Площади поперечных сечений стержней:

 см²;  см².

Напряжения в стержнях:

 Па, или  МПа;

Деформации стержней:

 м, или  мм;

 м, или  мм.

Результаты расчетов сводим в таблицу.

Таблица 2. Результаты расчетов НДС стержней.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

стержень деформация конструкция балка

2.1 Составление уравнений равновесия

Первый стержень под действием температуры нагревается и, если бы не было препятствия со стороны стержневой системы, его деформация была бы [4]

. (2.1)

Ограничение свободного увеличения его длины вызовет сжатие стержня.

Возникшее, таким образом, усилие стремиться повернуть балку относительно шарнирно-неподвижной опоры O по ходу часовой стрелки, что вызовет сжатие во втором стержне (рис. 5.). Направление опорных реакций (H_tO, V_tO) примем аналогично предыдущему случаю. Уравнения равновесия в соответствии с расчетной схемой (рис. 5) получим в виде:

, ;

, ;

, . (2.2)

Из уравнения (2.2) находим соотношение между усилиями в стержнях

. (2.3)

.2 Определение геометрических соотношений из условия совместности деформаций элементов конструкции

Построение схемы конструкции в деформированном состоянии выполняется аналогично, как в предыдущем разделе, однако следует учесть, что деформация первого стержня будет определяться, как разность температурной деформации Δl₁(t) и упругой деформации от сжатия стержня Δl₁(N) (рис. 6).

Из рисунка 6 видим, что соотношение между перемещениями узлов конструкции, как и в предыдущем разделе, определяются зависимостью (1.4). А перемещения узлов через деформации соответствующих стержней выражаются следующим образом:

; .

Подставив найденные выражения в равенство (1.4), получим условие совместности деформаций

. (2.4)

.3 Определение усилий в стержнях конструкции

Подставляя в уравнение (2.4) выражения для упругих деформаций в соответствии с законом Гука и температурной деформации первого стержня (2.1), получаем зависимость

,

или с учетом соотношения (2.3)

. (2.5)

Из уравнения (2.5) находим

, подставив значения

, или

, откуда получаем

 Н, или  кН.

Усилие во втором стержне составит

 кН.

.4 Расчет напряженно-деформированного состояния стержней от температурного воздействия

Усилия в стержнях:

 кН;  кН.

Напряжения в стержнях:

 Па, или  МПа;

 Па, или  МПа,

Деформации стержней:

или  мм, зависимость для определения деформации первого стержня составлена на основе расчетной схемы (рис. 6), где учтено сжатие стержня, поэтому в выражение подставляется абсолютная величина усилия N_t1;

 м, или  мм.

Таблица 3. Результаты расчетов НДС стержней от температурного воздействия.

3. РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ

.1 Определение опорных реакций

Схема загружения балки, представленная на рис. 7, а), получена из расчетной схемы (рис. 2), при этом усилия в стержнях конструкции рассматриваем, как внешние нагрузки и раскладываем их на вертикальные и горизонтальные составляющие. Неизвестные реакции в опоре О находим из уравнений равновесия (1.1-1.2), при этом, так как на расчетной схеме учтено реальное напряженно-деформированное состояние стержней, то в уравнения следует подставлять абсолютную величину усилий:

 кН;

 кН.

.2 Построение эпюр внутренних силовых факторов

Для построения эпюр продольных усилий, поперечных сил и изгибающих моментов составляем уравнения внутренних силовых факторов для двух участков в соответствии с правилом знаков принятым в машиностроительных расчетах [3,4].

Первый участок (, или  м):

 кН;

 кН;

, при , , при  м,  кНм.

Второй участок (, или  м):

 кН;

 кН;

,

при  м,  кНм, при  м,  кНм (по определению, значение изгибающего момента в сечении  м должно равняться нулю, однако за счет округления расчетное значение незначительно отлично от нуля).

По найденным значениям строим эпюры: продольных усилий (рис. 7, б), поперечных сил (рис. 7, в) и изгибающих моментов (рис. 7, г).

.3 Подбор размера двутаврового поперечного сечения балки

Подбор размеров поперечных сечений балки выполняется на основании условия прочности по нормальным напряжениям [4]

Из эпюры изгибающих моментов (рис. 7, г) =560 кНм, тогда

 м³, или  см³.

Так как, расчетное значение момента сопротивления превышает максимально возможное из таблицы сортамента ГОСТ 8239-89, то балку принимаем из двух двутавровых профилей с моментом сопротивления каждого  см³. Из таблицы сортамента ГОСТ 8239-89 принимаем двутавр № 55 сечение, которого имеет следующие характеристики (рис. 7, д):

геометрические размеры: h=550 мм; b=180 мм; d=11 мм; t=16,5 мм; R=18 мм; r=7 мм,

площадь поперечного сечения A΄=118 см²,

момент инерции J΄_z=55962 см⁴,

момент сопротивления W΄_z=2035 см³,

радиус инерции i΄_z=21,8 см,

статический момент площади S΄_z=1181 см³,

момент инерции J΄_y=1356 см⁴,

момент сопротивления W΄_y=151 см³,

радиус инерции i΄_y=3,39 см,

.4 Построение эпюр напряжений в расчетном сечении балки

В сечении с наибольшим изгибающим моментом (сечение С) действуют продольные усилия максимальная величина, которых составляет  кН (положительное значение указывает на растяжение), нормальные напряжения при растяжении равномерно распределяются по сечению и находятся по формуле [3]

 Па, или  МПа.

Эпюра нормальных напряжений от растяжения представлена на рис. 7, е.

Максимальная величина поперечной силы в сечении С составляет  кН. Касательные напряжения от поперечной силы в сечении балки определяются по зависимости [3]

.

Для построения эпюры касательных напряжений найдем напряжения для трех характерных точек (рис. 7, д):

точка 1, ; ; ;

;

точка 2 (здесь следует учитывать резкое изменение ширины сечения, поэтому для этой точки необходимо найти два значения напряжений),

; ; ; ;

 Па,

или  МПа;

 Па,

или  МПа;

точка 3, ; ;; ;

 Па, или  МПа.

Эпюра касательных напряжений будет симметрична относительно оси z (рис. 7, ж).

.

Для построения эпюры напряжений и проверки прочности находим напряжения в трех характерных точках:

точка 1, ;

 Па, или  МПа;

точка 2, ;

 Па,

или  МПа;

точка 3, ;

.

Эпюра нормальных напряжений от изгиба кососимметрична относительно оси z (рис. 7, з), при построении эпюры учитываем, что сжатые волокна будут ниже оси z, а растянутые выше.

3.5 Полная проверка прочности балки

Определяем расчетные напряжения в характерных точках двутаврового сечения:

в точке 1 действуют нормальные напряжения от продольного усилия (σ_N=11,4 МПа) и от изгиба (σ_и=138 МПа), касательные напряжения равны нулю, таким образом, в данной точке возникает линейное напряженное состояние. Расчетные напряжения составят

 МПа < [σ]=160 МПа,

условие прочности выполняется;

в точке 2 действуют нормальные напряжения от продольного усилия (σ_N=11,4 МПа) и изгиба (σ_и=129 МПа) и касательные напряжения ( МПа), таким образом, в данной точке возникает плоское напряженное состояние. Расчетные напряжения по четвертой теории прочности [3] составят

 МПа < [σ]=160 МПа,

условие прочности выполняется;

в точке 3 действуют нормальные напряжения от продольного усилия (σ_N=11,4 МПа) и касательные напряжения ( МПа), таким образом, в данной точке возникает плоское напряженное состояние. Расчетные напряжения по четвертой теории прочности составят

 МПа < [σ]=160 МПа,

условие прочности выполняется;

в точке 4 действуют нормальные напряжения от продольного усилия (σ_N=11,4 МПа) и изгиба (σ_и=-129 МПа) и касательные напряжения ( МПа), таким образом, в данной точке возникает плоское напряженное состояние. Расчетные напряжения по четвертой теории прочности составят

 МПа < [σ]=160 МПа,

условие прочности выполняется;

в точке 5 действуют нормальные напряжения от продольного усилия (σ_N=11,4 МПа) и от изгиба (σ_и=-138 МПа), касательные напряжения равны нулю, таким образом, в данной точке возникает линейное напряженное состояние. Расчетные напряжения составят

 МПа < [σ]=160 МПа,

условие прочности выполняется.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИИ ИЗ РАСЧЕТА ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ

.1 Определение величины предельного усилия в растянутом стержне

Растянутый стержень из пластичного материала достигнет предельного состояния, когда деформации в стержне будут увеличиваться без изменения нагрузки, т.е. напряжения в стержне достигнут предела текучести, таким образом, предельная величина усилия будет определяться из зависимости

, откуда  Н, или  кН.

.2 Определение величины предельного усилия в сжатом стержне

Предельное состояние сжатого стержня зависит от величины его максимальной гибкости. Гибкость определяется зависимостью [5,6]

, (4.1)

где μ - коэффициент приведения длины; l - длина стержня; i - осевой радиус инерции.

Для определения радиусов инерции составного сечения второго стержня (рис. 8) необходимо найти положение центра тяжести сечения и моменты инерции относительно центральных осей.

Положение центра тяжести поперечного сечения определяется через статический момент площади [3], или методом симметрии. В нашем случае, очевидно, что ось y₂ является осью симметрии. Также не сложно заметить, что если провести горизонтальную ось x₂ вдоль полок уголков, то она будет равноудалена от центра тяжести каждого уголка на величину x₀, соответственно статический момент инерции относительно ее равен нулю. Таким образом, оси x₂ и y₂ являются центральными, а точка их пересечения C₂ является центром тяжести сечения.

Моменты инерции определяем по формулам параллельного переноса осей координат [3,6]

 см⁴;

 см⁴.

Радиусы инерции:

 см;  см.

Коэффициент приведения длины зависит от схемы закрепления стержня [6]. В соответствии с рекомендациями литературы [7], в плоскости фермы коэффициент приведения длины установлен , а в плоскости перпендикулярной плоскости фермы, расчетная длина принимается равной расстоянию между узлами, т.е. .

Сечение стержня располагаем, таким образом, чтобы его жесткость в конструкции была максимальной. Тогда гибкость стержня в плоскости фермы xy и в плоскости перпендикулярной ей xz будут находиться из зависимостей (4.1):

; .

Исходя из максимальной гибкости , стержень достигнет предельного состояния при потере устойчивости [5] с напряжениями выше предела пропорциональности. Предельные напряжения определяются как критические и находятся по формуле Ясинского [5]

МПа, откуда  Н, или  кН.

.3 Определение коэффициентов запаса прочности

Рассмотрим процесс загружения конструкции силой P. При изменении силы P от нуля до некоторой величины P΄, при которой второй стержень достигнет предельного состояния, усилия в стержнях будут пропорционально зависеть от силы P и определяться зависимостями (1.7-1.8). Величину силы P΄ определим из уравнения (1.8)

, откуда

 кН.

Коэффициент запаса прочности по первому предельному состоянию составит

.

Усилие в первом стержне найдем из соотношения (1.6)

, откуда

 кН.

При дальнейшем увеличении силы P до некоторой величины P_пр, второй стержень будет деформироваться без изменения усилия, но будет расти усилие в первом стержне до предельной величины. Значение P_пр находиться из уравнения равновесия (1.3)

, откуда

 кН.

Коэффициент запаса прочности по второму предельному состоянию составит

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе выполнен прочностной расчет и исследование напряженно-деформированного состояния элементов стержневой статически неопределимой системы. В рамках решения поставленных задач получены следующие результаты:

в первом разделе выполнен прочностной расчет элементов конструкции, работающих на растяжение-сжатие. Из условия прочности подобраны размеры поперечных сечений стержней, состоящих из равнополочных уголков. Определены напряжения и деформации стержней от действия заданной нагрузки;

во втором разделе исследуется напряженно-деформированное состояние элементов конструкции от температурного воздействия. Определены напряжения и деформации стержней, возникающие вследствие нагрева 1-го стержня на 60˚С;

в четвертом разделе проведена оценка несущей способности конструкции. Найдена несущая способность растянутого стержня из условия, что материал стержня достигнет предела текучести. Определены геометрические характеристики поперечного сечения сжатого стержня. Установлено, что предельного состояния второй стержень достигнет при потере устойчивости, при напряжениях в стержне выше предела пропорциональности. Найдены коэффициенты запаса прочности из условий достижения предельных состояний в стержнях конструкции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя: В 3 т. Т. 1. - 8-е изд. - М.: Машиностроение, 2001. - 920 с.

. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов: справочное руководство. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 1959. - 356 с.

. Шевченко Ф.Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 1. Напряженно-деформированное состояние стержней: Учебное пособие. - Донецк: ДонНТУ, 2006. - 293 с.

. Дядык Л.Н. Контрольные задания и методические указания к выполнению расчетно-проектировочных работ по сопротивлению материалов / Л.Н. Дядык, А.Ф. Толкачев, А.Н. Сурженко. - Донецк: ДонНТУ, 2003. - 79 с.

. Шевченко Ф.Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 2. Сложное напряженное состояние: Учебное пособие. - Донецк: ДонНТУ, 2007. - 306 с.

. Шевченко Ф.Л. Задачі з опору матеріалів: Навчальний посібник / Ф.Л. Шевченко, С.Н. Царенко. - Донецьк: ДонНТУ, 2011. - 356 с.

. Металлические конструкции. Общий курс: Учебник для вузов / Е.И. Беленя, В.А. Балдин, Г.С. Ведеников и др. - 6-е изд. - М.: Стройиздат, 1986. - 560 с.