Методика изучения занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в 7-8 классах

Методика изучения занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в 7-8 классах

методика изучения занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в 7-8 классах

Содержание

Введение

Глава I. Методологические основы изучения занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в основной школе

§1. Актуальные проблемы повышения качества математического образования

§2. Психолого-педагогические аспекты изучения теории графов в основной школе

§3. Роль кружковой работы как одной из форм внеурочной деятельности учащихся

§4. Методика использования занимательных задач в ходе внеурочной деятельности учащихся

Глава II: Методическое обеспечение кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов

§1. Занимательные задачи по теории графов в учебной и научно-популярной литературе

§2. Методические характеристики кружка «Занимательные задачи по теории графов»

§3. Математическое содержание кружка «Занимательные задачи по теории графов»

§4.Результаты опытно-экспериментальной проверки

Заключение

Список литературы

Введение

“В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления” Е. И. Игнатьева Теория графов - это один из разделов дискретной математики, который занимается исследованием свойств конечных множеств с заданными отношениями между их элементами.

Теория графов является прикладной наукой и позволяет описывать многие системы: экономические, биологические, технические и многие другие. Объяснятся это тем, что многие объекты и ситуации можно представить в виде графов.

Теория графов интенсивно развивается в наше время.

Теория графов находит свое применение в разных областях современной математики и ее многочисленных приложениях, а так же в экономике и управлении. Решение многих задач упрощается, если удается использовать графы. С помощью графов представлению данных можно придать наглядность и простоту. При использовании теории графов так же можно упростить некоторые математические доказательства.

Графы встречаются не только в науке, они существуют везде. Каждый из нас невольно сталкивается с ними в повседневной жизни. Такими примерами могут служить карты дорог, схемы метро и даже карты звездного неба.

Графы лежат в основе многих компьютерных программ, которые делают возможными современную коммуникацию и технологические процессы.

Графы способствуют развитию абстрактного и логического мышления. Применение графов, не вызывая особых затруднений у школьников, может способствовать наглядности обучения, при которой реальные объекты заменяются их знаковым изображением. С помощью графов можно познакомить школьников с методами построения моделей.

Кроме того, теория графов позволяет ученикам понять красоту математики, а это, в свою очередь, несет воспитательный и мотивационный характер.

В школьной программе по математике понятия графа нет. Однако графы используются повсеместно. Ученики встречаются с ними на таких предметах, как химия, биология, информатика и др. Именно поэтому так важно познакомить учеников с теорией графов, научить оперировать терминами теории графов, использовать и применять ее при решении задач.

Поскольку теория графов отличается наглядностью, обладает многочисленными практическими приложениями, нестандартной формулировкой проблем, методически целесообразным кажется изучение элементов этой теории в школе при решении занимательных задач.

К сожалению, в основной школе занимательным задачам уделяется мало времени и внимания. Это может являться одной из причин незаинтересованности учеников в предмете. В начальной школе рассматривается больше увлекательных и занимательных задач, ориентированных на повышения интереса детей к предмету. С переходом в основную школу, занимательных задач становится меньше или они практически пропадают. Однако это проблема - не просто вопрос нежелания преподавателей заинтересовать учеников математикой. Зачастую образовательная программа очень насыщена и в отведенных на предмет часах просто не остается времени на увлекательную математику.

Целесообразно вводить занимательные задачи на кружковых занятиях.

На них могут быть задействованы наиболее интересные формы обучения, например, игровые. Игры, экскурсии, конкурсы, различные соревнования и - все это способно заинтересовать детей гораздо больше, чем стандартный формат урока. При этом, основной задачей кружка ставится не передача и получение знаний, а максимальная направленность на формирование и развитие познавательного интереса, и, как следствие, способности и желания к самообучению и саморазвитию.

Все вышесказанное определяет актуальность исследования.

Проблема исследования состоит в поиске теоретических основ изучения теории графов на занятиях математического кружка для учащихся основной школы, в выявлении психолого-педагогических и методических особенностей преподавания математического кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов, в обосновании возможностей разработки и практического применения соответствующих учебно-методических материалов.

Целью исследования является разработка методики преподавания математического кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов.

Гипотеза исследования заключается в том, что разработанная методика будет способствовать повышению уровня математической подготовки, математической и общей культуры учащихся, развитию их познавательного интереса, математического и логического мышления, раскрытию и эффективному использованию индивидуальных способностей школьников, формированию их личности.

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся основной школы на занятиях математического кружка.

Предметом исследования является процесс обучения решению занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в 7-8 классах.

Задачи исследования состоят в следующем.

1.        Проанализировать научную, учебную, методическую, педагогическую и психологическую литературу по теме работы.

2.        Определить психолого-педагогические и методические особенности преподавания элементов теории графов в основной школе.

3.       Определить роль и место кружковых занятий в процессе обучения математике в основной школе.

4.        Определить роль и занимательных задач процессе обучения математике в основной школе.

5.        Разработать содержание и методику проведения кружка

«Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов.

6.        Провести опытно-экспериментальную проверку эффективности предложенной методики и проанализировать ее результаты.

Для решения поставленных задач, использовались следующие

методы исследования:

·         Изучение и анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы;

·        Изучение и анализ школьных учебников и учебных пособий по вопросам, относящимся к объекту и предмету исследования;

·        Изучение и анализ литературы по теории графов;

·        Беседы с учащимися;

·        Анкетирование;

·        Наблюдение;

·        Составление и подбор задач, решаемых с использованием теории графов;

·        Проведение опытной проверки.

Структура работы.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы и приложения.

Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики, описана общая суть исследования.

В главе I рассмотрены научно-методические основы преподавания занимательных задач по теории графов на кружковых занятиях в основной школе, проанализирована роль кружковых занятий в школе, изучена методика использования занимательных задач по математике во внеурочное время.

В главе II проведен анализ школьных учебников с точки зрения исследуемой проблемы, анализ научно-популярной литературы, посвященной теории графов, сборников занимательных задач. Представлена разработанная методика проведения кружка «Занимательные задачи по теории графов для 7-

классов»: методические характеристики (в том числе, тематическое планирование) и математическое содержание кружка, примеры занятий, результаты опытной проверки предложенной методики.

В заключении приведены основные выводы и результаты проведенного исследования.

Список литературы содержит 59 источников.

Глава I. Методологические основы изучения занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в основной школе

§1. Актуальные проблемы повышения качества математического образования

Образование - область деятельности, которая часто находится в состоянии кризиса. Это объясняется стремительной сменой подходов к образованию, которые оставляют мало времени на то, чтобы приспособить к ним учебные планы и программы. Такая смена неминуема, т.к. требуются все более грамотно и хорошо подготовленные люди. В связи с развитием остальных областей, « хорошо подготовленные люди» понятие неустойчивое, и оно должно меняться в ногу со временем.

На сегодняшний день много говорится о необходимости модернизации образования. При любой модернизации необходимо учитывать несколько задач. Первая - не потерять все положительное, что имеется в данной системе. Вторая - восстановить все полезное, что было утрачено за прошлые годы. Третья - привести системы в соответствие с запросами современного общества. За последние 10 лет в жизни страны многое поменялось. Развиваются технологии, совершенствуется экономика и рыночные отношения, в результате чего появляются новые профессии, а к тем профессиям, которые были раньше, предъявляются всё новые требования. Такие изменения и объясняют необходимость модернизации образования. [17]

Модернизация - это обновление и совершенствование действующей системы образования.

Осуществление этой модернизации затрагивает практически каждую семью. Суть вносимых изменений в образование, а так же цели, методы и направления должны разъясняться населению. Необходимо отметить, что принимаемые решения о будущем образования затрагивают интересы всего общества и влияют на судьбу всей страны. Поэтому каждое новое предложение должно проходить тщательную проверку и публично обсуждаться научно-педагогическим сообществом.

Так же, очевидно что при проведении модернизации обязательно должно анализироваться и учитываться общественное мнение. [17]

Требования к системе образования в России

Развивающемуся обществу необходимы образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения. Люди, которые способны прогнозировать последствия того или иного выбора, отличающиеся мобильностью, конструктивностью и динамизмом. [43]

Основные требования к образованию в России мы можем прочитать в ФГОС. Требования ФГОС делятся на личностные, предметные и метапредметные. Сегодняшняя задача школы и учителей в частности не просто передавать знания, умения и навыки учащимся, но и думать о развитии личности детей, способствовать их правильному развитию.

В первом пункте требований к личностным результатам сказано: формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, осознанному выбору и построению дальнейшей индивидуальной траектории образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений, с учётом устойчивых познавательных интересов, а также на основе формирования уважительного отношения к труду, развития опыта участия в социально значимом труде .[50]

Учителям необходимо прививать ученикам ответственность, способность осознанно делать выбор, а самое главное, способность к самообразованию и саморазвитию. На сегодняшний день люди не испытывают дефицита информации, однако возникает другая проблема: научить детей выбирать нужную им информацию из огромного потока и перерабатывать ее эффективно и в короткие сроки.

Педагог - одна из ключевых фигур реформирования образования. «В деле обучения и воспитания, во всем школьном деле ничего нельзя улучшить, минуя голову учителя» (К.Д. Ушинский).

На современном этапе развития России образование становится все более мощной движущей силой экономики, повышения эффективности народного хозяйства. Это делает его одним из важнейших факторов благосостояния страны. Потенциал образования должен быть в полной мере использован для сохранения единого социокультурного пространства страны.

Обновленное образование должно сыграть ключевую роль в сохранении нации, ее генофонда, обеспечении устойчивого, динамичного развития российского общества - общества с высоким уровнем жизни, гражданско- правовой, профессиональной и бытовой культурой. [17]

Образование должно стать как можно более общедоступным. Доступ к качественному образованию не должен зависеть от материального достатка, национальной принадлежности, здоровья или места проживания. Так же важной задачей остается поддержка талантливых и одаренных детей.

В условиях приоритетной поддержки образования со стороны государства система образования должна обеспечить эффективное использование своих ресурсов - человеческих, информационных, материальных, финансовых.[16]

Необходимые условия для повышения качества образования

Общеобразовательная школа является базовым звеном образования. Её модернизация должна быть направлена не только на улучшение знаний, но и на развитие личности, на формирование познавательных и творческих способностей.

Современная школа должна быть нацелена на формирование целостной системы знаний, умений и навыков, а так же на самостоятельную работу учеников.

Опираясь на очень богатый опыт российской и советской школы, следует сохранить  лучшие  традиции  отечественного   математического,  гуманитарного и художественного образования.[17]

Воспитание должно стать приоритетом современного образования и одной из составляющих педагогической деятельности. Важнейшие задачи воспитания - формирование у школьников гражданской ответственности и правового самосознания, духовности и культуры, инициативности, самостоятельности, толерантности, способности к успешной социализации в обществе и активной адаптации на рынке труда. [43]

Известно, что учреждения дополнительного образования детей были и остаются одной из эффективных форм развития интересов и способностей, социального и профессионального самоопределения учеников, а значит, в решении выше описанных задач очень важно наладить взаимодействие школы с такими учреждениями.

§2. Психолого-педагогические аспекты изучения теории графов в основной школе

.1 Психолого-педагогические особенности детей подросткового возраста

Подростковый возраст, согласно многим периодизациям, определяется отрезком жизни человека от 11-12 до 14-15 лет - период между детством и юностью. Он является одним из наиболее кризисных возрастных периодов, т.к. связан с бурным развитием всех ведущих компонентов личности и физиологическими перестройками, а так же половым созреванием.

Ученики средних классов и являются контингентом подросткового возраста. Обучение и развитие школьников в средней школе сильно отличается от обучения и развития в младшей школе. Такая специфичность обусловлена «кризисностью» самого возраста, а так же появлением новых предметов, учителей и т.д.

Подростковый период как правило делится на две фазы: негативную (собственно критическую) - это период младшего подросткового возраста (11-13 лет), и позитивную - это период старшего подросткового возраста (13-15 лет).[6]

Социальный статус подростка не меняется в этом возрасте. Все подростки, как и прежде, продолжают учиться в школе, остаются по прежнему зависимы от государства и родителей. Однако отличия находят место во внутреннем содержании. Меняется мировоззрение, акценты расставляются иначе. Школа, семья и социум приобретают новый смысл для подростка.

Подростки, как правило, начинают себя сравнивать со взрослыми. И, приходя r выводу о том, что различия между ними и взрослыми не так уж велики, начинают претендовать на равноправие в отношениях со старшими. Отстаивая свою «взрослую» позицию подростки часто выходят на конфликты со старшими. «Взрослая» позиция подростка чаще всего проявляется в манерах и внешнем облике. Объективно до действительной взрослости подросткам, конечно, далеко. Не только физически, но так же психологически, социально и во многих других аспектах. Такая субъективная взрослость и считается новообразованием младшего подросткового периода.

Важным показателем чувства взрослости у подростков является наличие определенных взглядов, собственной линии поведения, оценок и их отстаивание, несмотря на несогласие взрослых.

К старшему подростковому возрасту происходят некоторые изменения. Взрослый начинает играть роль наставника. В школьных учителях подростки начинают видеть не только личностные качества, но и профессионализм.

Часто в подростковом возрасте мы сталкиваемся с тем, что взрослые, а чаще всего родители, не готовы принять такое стремление к взрослости.

В связи с этим частое явление в подростковом возрасте - это отчуждение от взрослых. Более авторитетными для подростка становятся сверстники. В своей среде, взаимодействуя друг с другом, подростки учатся рефлексии на себя, а так же развиваются навыки взаимопонимания, взаимодействия и взаимовлияния.

В этот период очень важна обстановка в семье. Авторитарное воспитание приводит к тому, что подросток порой демонстрирует свою свободу неуважительными методами и способами по отношению к окружающим, т.к. чувствует свою безнаказанность. Ребенок, воспитанный в попустительской среде более всего подвержен влиянию из вне. Попав в плохую компанию есть большой риск того, что ребенок будет подвержен ее влиянию. [45]

Демократический тип воспитания лучше всего будет влиять на формирования личности подростка и его отношения со сверстниками. Он способствует воспитанию самостоятельности и ответственности.

Итак, к 13-15 годам подросток становится более взрослым, ответственным. Происходит дифференциация дружеских компаний. Для человека перестают быть «друзьями» вся, кто его окружают. Дружеские связи начинают формироваться на основе интеллектуальной и эмоциональной близости людей.

Далее для подростка школа и обучение отходят на второй план. В возрасте отрочества для человека, куда большую значимость имеют взаимоотношения со сверстниками.

В то время, как подросток придает больше значение общению, он не игнорирует учебную деятельность. Скорее наоборот, интерес к обучению переходит на другой уровень. Для подростков становятся более привлекательными самостоятельные формы занятий. Так они чувствуют себя более взрослыми, и это мотивирует их к учению.

Стимулом для младших подростков является признание сверстников, а так же, положение в классе. Оценки в этом возрасте по прежнему имеют для них большое значение.

В старшем отрочестве подростки нуждаются в профессиональном самоопределении, это связано с тенденцией этого возраста - найти свое место в жизни. Исходя из этого, стимулом к учению может выступать и истинный интерес к предмету, и необходимость знания определенных предметов для поступления в ВУЗы или колледжи.

В подростковом возрасте подросток приобретает способность к гипотетико-дедуктивным рассуждениям. Именно этим характеризуется развитие интеллекта. Учителя и родители должны понимать на сколько этот феномен значим для дальнейшего развития личности. Это связано с тем, «что он совпадает с периодом развития самосознания. В это время подростки и юноши начинают активно интересоваться проблемами общения, самосовершенствования, поиска смысла жизни, социальной справедливости и т. д. Нередко они выходят на уровень анализа вечных философских истин, не находя решения вопросов, стоящих перед ними»

Подростки становятся склонны к самонаблюдению, так происходит развитие рефлексии. Именно на основе рефлексии развивается самосознание.

Характерно для такого возраста и чувство одиночества. Это связано с формированием «Я концепции» и « образа Я». Мысли о своей индивидуальности и уникальности порой приводят к обостренному чувству одиночества. Тем не менее, это важнейший этап самопознания.[36]

Интересы в подростковом возрасте еще неустойчивы и разноплановы, но происходит их развитие. Проявляется сенсорная жажда. Это потребность в получении новых ощущений. С одной стороны такая жажда способствует развитию любознательности, с другой - быстрому переключению с одного дела на другое при поверхностном его изучении.

Как правило, интересы, появившиеся в этом возрасте у учащихся, не превращаются в долгие увлечения, однако, и тут есть исключения. Очень важно в этот период поддерживать начинания и интересы подростка.

Раздражительность и повышенная возбудимость - неотъемлемая часть подросткового периода. Особенно характерно такое поведение для младших подростков, которые находятся в пубертатном периоде. Подростки особое внимание обращают на свою внешность. Важной задачей является не развить в ребенке комплексы в этом возрасте и не нарушить часть психосексуального развития.

Подытоживая сказанное ранее можно сказать, что подростковый возраст

–        очень непростой период жизни ребенка, период формирования мировоззрения человека, формирование взглядов на самого себя и других людей. В этот период совершенствуется самопознание и самооценка. По мнению многих психологов, самооценка является нообразованием, а ведущая деятельность этого возраста - общение. Важным становится положение в коллективе, из-за недопонимания в семье часто возникают конфликты, а сверстники становятся более авторитетными. Подросток пытается понять, каков он среди других, чем поход и чем отличается.

Психологические задачи подростков этого возраста могут быть определены как задачи самоопределения в трех сферах: сексуальной, психологической (интеллектуальной, личностной, эмоциональной) и социальной. [35]

Проблемы такого возраста могут быть связаны с поиском путей удовлетворения таких потребностей, как:

·         физиологической потребности;

·        потребности в безопасности;

·        потребности в независимости и эмансипации от семьи;

·        потребности в привязанности;

·        потребности в успехе, в проверке своих возможностей;

·        потребности в самореализации и развитии собственного Я.

        Психолого-педагогические аспекты изучения теории графов в основной школе

Теория графов - одна из молодых областей дискретной математики и носит прикладную направленность, что позволяет на простых примерах показать учащимся, как можно применять теорию графов в решении прикладных задач. Применение теории графов часто упрощает расчеты и повышает производительность. Поэтому применяется она в разных областях. В биологии, химии, психологии, экономике и многих других отраслях.

Понятие «граф» довольно тесно связано с многими основными понятиями, на которых строятся в том числе и школьные знания математики. [26]

Графы используются для наглядности решения и изображения порядка вычисления, а так же для того, чтобы сформировать у учеников представление о действии, обратном данному.

Графы используются не только в математике, но и для описания схем организаций, логических возможностей, классификаций, а так же в биологии, химии, географии и других предметах.

Использование графов имеет естественную тенденцию к развитию. Применение графов помогает развитию абстрактного и творческого мышления, способствует умению наглядно мыслить.

Одним из основных в современной науке является понятие модели. Многие объекты и ситуации могут быть представлены в виде графовых моделей: схемы электрических и электронных приборов, коммуникационные сети, химические молекулы, отношение между людьми и др.

Язык графов отличается простотой и понятностью, он очень естественный. Мы часто используем графы, но не догадываемся или не задумываемся над этим. Графы могут выступать отличным средством для знакомства школьников с построением моделей. Еще до того, как ученики познакомятся с понятием модели, их можно учить строить простейшие модели с помощью графов.

Таким образом, с помощью теории графов учащихся можно познакомить с таким важным способом познания, как моделирование.

Построение и изучение графовых моделей может помочь структурировать полученные знания и избежать формализма.

Использование графических изображений помогает прочному усвоению знаний. Например, некоторые теоремы, определения и свойства некоторых объектов можно изобразить вершинами графа, а взаимосвязи между ними - его ребрами. Это способствует лучшему запоминанию.

Графовые задачи помогают улучшить логическое мышление. Представляя объекты в наглядной форме, графы помогают лучше запоминать и усваивать новые знания, а так же устанавливать связь между ними.

Схемы и графы помогают ученикам не только выявлять связь между объектами, но и искать более рациональные пути решения задач, помогают научиться не только усваивать знания, но и применять их, что способствует развивающему характеру обучения.

Графы, используемые при решении задач, помогают ученикам осознать смысл проблемной ситуации, а затем найти возможный путь решения. математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление, закрепление и развитие математических способностей учащихся.

Графы могут изображать элементы и отношения между ними. Их можно рассматривать как средство наглядности, применяющееся при решении задач. Такое представление способствует развитию абстрактного мышления.

Таким образом, наглядность рассматривалась в качестве временной опоры для развития абстрактного мышления.

В дальнейшем наглядность нужна уже для другой цели - для развития более сложных форм конкретного мышления.

«Учитель должен так организовать учебный процесс, чтобы заинтересовать ученика, привить ему интерес к предмету».

Преимуществами графовых задач является то, что они допускают изложение в игровой, а так же занимательной форме. [26]

Точность и аккуратность при выполнении рисунков и схем имеет не только учебное значение, а так же воспитательное. Это важно, учитывая, что обучение самым тесным образом связано с воспитанием. Аккуратное выполнение схем и рисунков способствует эстетическому воспитанию детей, стимулирует поиск рациональных решений, повышает внимание. Ко всему прочему графические упражнения несут для детей меньше утомляемости, нежели устные и письменные вычисления.

На уроках не всегда есть возможность строить графы. Как правило из за отсутствия достаточного количества времени. Однако эта деятельность остается полезной и может быть реализована как дома, так и на внеклассных занятиях.

Применение графов в решении задач способствует повышению внимания, т.к. мыслительная деятельность сопровождается соответствующей моторной деятельностью, а объекты, которыми мы оперируем, воспринимаются зрительно.[26]

Подводя итог, можно сказать, что элементы теории графов помогают решить сразу несколько важных задач школьного образования.

С помощью графов есть возможность облегчить ученикам в дальнейшем изучение математики, информатики и других предметов. Изучение теории графов способствует повышению логического мышления, а так же умственному развитию, приучает их к самостоятельной работе и самоконтролю, развивает их воображение.

§3. Роль кружковой работы как одной из форм внеурочной деятельности учащихся

Для того, чтобы к 14-15 годам у ученика сформировался устойчивый интерес к математике, нужно, чтобы ученик в 7-8 классе начал всерьез заниматься математикой и почувствовал радость от решения нестандартных задач.

Организация внеклассной работы - это неотъемлемая часть учебно- воспитательной работы в школе. Одной из таких форм работы является кружковая деятельность. Кружковая деятельность имеет большое воспитательное значение. Такая деятельность оказывает влияние на развитие творческих способностей, развивает логическое мышление, углубляет знания, полученные на уроке, расширяет общий кругозор ребенка. [59]

Содержание и формы работы предметных кружков зависят от специфики учебного предмета, уровня знаний и возраста учащихся (обычно в предметные кружки входят учащиеся одной параллели, иногда разных, но примерно с одинаковой подготовкой). Программа работы предметных кружков включает в качестве основных вопросы, дополняющие и углубляющие, но не дублирующие школьный курс.

В кружок объединяются дети одного возраста и с одинаковыми интересами. Как правило, в один кружок определяются дети с примерно одинаковым уровнем подготовки.

Формы и методы организации отличают кружковую работу от учебной. В кружковой деятельности могут присутствовать элементы соревнования или игры.

Тематика и содержание кружковых работ обычно отражают новейшие достижения науки, техники, искусства.

Кружковые занятия могут проходить в самых разнообразных формах, в форме бесед, рефератов, докладов, экскурсии и походов, лабораторных и практических работ, изготовления моделей и приборов, опытов и наблюдении, соревновании, участия в конкурсах и массовых выступлениях.

Кружковая работа будет более эффективной, если будет носить общественно полезный характер. Высшей формой кружковой работы являются разнообразные детские и юношеские клубы.

В работе кружка огромное значение имеет занимательность материала и систематичность его изложения. Занимательность как ни что другое повышает интерес к предмету и способствует осмыслению. Систематичность изложения материала может быть направлена на общее умственное развитие учащихся.

Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В кружок дети записываются добровольно.

Как правило, кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако иногда и отстающие ученики проявляют большой интерес к тому или иному кружку, учителю не следует этому препятствовать, а скорее наоборот, более внимательно относиться к таким ученикам и укреплять проявившийся интерес. Кружок должен быть доступен всем желающим.[59]

При организации кружка важно заинтересовать учащихся, акцентировать внимание на том, что работа в кружке - это не очередное занятие в классе, а увлекательная работа, которая приближена больше к досугу, нежели к процессу обучения.

На первом занятии необходимо рассказать ученикам о содержании предстоящей деятельности, выбрать старосту, назначить ответственных, определить правила членов кружка. Это делается для того, чтобы показать отличия от классных занятий и для создания дружеской, но ответственной атмосферы.

Важной особенностью кружка является атмосфера обмена мнениями и активная дискуссия. Для этого хорошо подходят задания в виде подготовки сообщений, докладов и рефератов. Выполнение таких заданий способствует развитию самостоятельности, самоорганизации. Однако индивидуальное задание должно иметь ценность для всех учащихся, быть интересным и познавательным.

Кружковые занятия разумно проводить 1 раз в неделю по 1 часу. [59]

В кружковых занятиях не обязательно много времени уделять формализации знаний и огромным доказательствам. В таких лекциях большое место занимает история, примеры из современной жизни и производства. Достаточно, чтобы дети усвоили основные факты и понятия. Вся дальнейшая работа будет направлена на применение знаний и методов решения задач, а не на зазубривание правил и теорем.

При проведении лекции возможны беседы с учениками, обсуждение возникающих по ходу рассказа вопросов, постановка задач и др. Желательно учащимся давать больше инициативы, больше возможностей высказывать свои суждения. Надо учесть, что иногда ошибочные рассуждения и их опровержения, тренировка в «разговоре» на математические темы дает учащимся больше пользы, чем изложение учителем готовых решений.[59]

Важно не навязывать ученикам свое решение, а напротив поощрять их за нестандартные подходы к рассуждению и решению. Это нужно учитывать в проведении не только внеурочных занятий.

Основной отличительной особенностью кружковой работы является принцип добровольности вовлечения в работу.

На кружковых занятиях школьников обязательно надо учить ориентироваться в незнакомых ситуациях и областях, решать задачи на незнакомые темы.

Т.к. основная задача кружковой работы - развитие творческого подхода, то нецелесообразно на занятиях кружка проводить систематическое повторение ранее пройденных вопросов.

К занятию учителю необходимо тщательно готовиться. Следует обдумывать план каждого занятия кружка, учитывая разнообразие методов работы с учащимися.

Творческому учителю самому составить систему занятий в математическом кружке не так уж сложно, важно правильно отобрать и распределить материал, а так же прививать интерес к математике, развивать творческие математические способности школьников.

Математический кружок - одна из наиболее эффективных и действенных форм внеклассных занятий.

Индивидуализация обучения математике не означает отказ от коллективной деятельности учащихся в процессе обучения. Основными целями индивидуализации обучения любому учебному предмету, и в частности математике, следует считать:

1.        Развитие и использование индивидуальных качеств личности школьника в обучении.

2.        Развитие и использование познавательных интересов каждого школьника в обучении.

3.        Развитие и использование интеллектуальных способностей и талантов каждого школьника в обучении.

4.        Оптимальное развитие способностей к обучаемости у каждого школьника.

5.       Подготовка к сознательному выбору профессии.

6.       Развитие у каждого школьника навыков самостоятельной учебной деятельности.

Для того, чтобы успешно это осуществить, полезно применять определенную систему тестовых упражнений, имеющих целью проверить:

·         уровень обучаемости;

·        умение самостоятельно работать;

·        умение читать с пониманием и нужной скоростью учебный текст;

·        способность к сообразительности;

·        уровень развития того или иного компонента математического мышления;

·        познавательные интересы и т. п.

На кружке можно уделить этому достаточное время, в то время как на уроке для этого значительно меньше возможностей из-за необходимости следовать четкому плану. На кружковых занятиях можно в большей степени индивидуализировать обучение путем беседы, разными творческими заданиями каждому конкретному ученику в зависимости от его увлечений, способностей и возможностей и др. Кроме того, в рамках проблемного обучения является эффективной и групповая работа учащихся. В рамках кружка её целесообразно организовать. [20],[59]

Кружковые занятия направлены мотивировать учащихся на изучение математики, особенно это актуально при проведении занятий в 7-8 классах.

§4. Методика использования занимательных задач в ходе внеурочной деятельности учащихся

Классификация занимательного математического материала

Место и роль занимательного материала рассматривается с разных позиций относительно истории развития методики формирования математических представлений.

В начале нынешнего столетия занимательный материал включался в общие сборники по занимательной математике. Указывалось на возможность использования его с целью подготовки детей к обучению в школе, развития смекалки. Но это то, что касается подготовки к школе. Занимательность задач в таком возрасте очень сильно привлекает детей и уже тогда дает задатки интереса к предмету. Не стоит забывать, что прививать интерес к предмету и в целом к обучению следует продолжать на протяжении всего обучения, а не только в дошкольный период.[19]

Любая задача на смекалку несет в себе определенную умственную нагрузку, на какой бы возраст она не была рассчитана. Как правило, такие задачи имеют яркий сюжет.

Развитие находчивости, смекалки, инициативы происходит в активной умственной деятельности, основанной на интересе.

Игровые элементы, которые содержатся в задаче, придают занимательность этому материалу.

Например, в вопросе: "Как с помощью двух палочек сложить на столе квадрат?" - необычность его постановки заставляет ребенка задуматься в поисках ответа.

Многообразие занимательного материала - задач, игр, головоломок, дает основание для их классификации.

Классифицировать занимательный материал можно по разным признакам:

·         по содержанию и значению;

·        по характеру мыслительных операций;

·        по признаку общности;

·        по направленности на развитие тех или иных умений.

Занимательные задачи интересны для детей. В ходе заданий и упражнений с занимательным математическим материалом ученики овладевают умением вести поиск решения самостоятельно. А процесс решения, поиска ответа, невозможен без активной работы мысли.

Решение нестандартных задач способствует формированию и совершенствованию общих умственных способностей, таких как: логика мысли, рассуждений и действий, гибкость мыслительного процесса, смекалка и сообразительность, пространственное представление. Эти навыки важны в не зависимости от возраста учащихся.

В обучении школьников нестандартная задача может выступать в роли проблемной.

В сборниках занимательной математики представлены математические развлечения: числовые курьезы, головоломки игры на пространственное преобразование, лабиринты, и др. Они отличаются необычностью решения, парадоксальностью результата.

Математическими считаются игры, в которых могут быть смоделированы математические построения, а так же отношения и закономерности.

Для нахождения решения необходим предварительный анализ условий задачи или игры. А вот уже в ходе решения требуется применение математических методов и умозаключений.

Повышению интереса к учебе и знаниям и формированию дружного коллектива способствует использование такого вида учебного процесса, как внеклассные мероприятия. Видов внеклассных мероприятий существует большое множество. Самые популярные - это как правило широко известные игры: КВН, Звездный час, Своя игра, Брейн-ринг, Поле чудес, Слабое звено и т.д.

Игра «Звездный час» проводится в рамках предметных недель в школе. Данная игра позволяет использoвать выступления ребят, при этoм учащиеся обязаны получить знания, навыки и умения по организации и поиску информации, которая потрeбуется для представления данной темы.

Новые информационные технологии могут дать возможность применять в обучении всё новые и новые формы работы. К примеру, самостоятельная подготовка доклада в форме презентаций повышает уровень заинтересованности учащихся. Если использовать элементы игры, то можно повысить мотивацию познавательной деятельности, внимательность учащихся к прослушиванию докладов и выступлений. Так удается проверить и закрепить полученные знания.

Такая игра как КВН будет интересна для всех возрастов учащихся. Как правило, КВН проводится во внеурочное время. Во время подготовки проведения КВНа следует ответственно отнестись к организации и продумать следующие моменты:

·         количественный состав команд, оформление команд;

·        оформление помещения;

·        счетная комиссия, ее состав, обязанности;

·        состав жюри и порядок его работы;

·        система оценок каждого конкурса;

·        оформление итогов конкурса.

Игра «Счастливый случай» направлена на повышение уровня математического мышления, а так же на стимуляцию и углубление теоретических знаний. Она способна пробудить интерес к математике, расширить кругозор, воспитать стремление к совершенствованию своих знаний, а также является одним из способов организации свободного досуга учащихся. Данная игра во многом способствует формированию у учащихся навыков коллективного поиска ответов на вопросы, помогает сплочению дружного коллектива, формированию дружеских, товарищеских отношений, и что немаловажно, во время игры выявляются творческие и организаторские способности детей.

Игра «Слабое звено» вызывает у учащихся стремление к победе, способствует развитию логического мышления, а так же способствует дружественной атмосфере и формированию сплоченного коллектива.

Интеллектуальная игра «Брейн-ринг» развивает не только познавательные, но и творческие способности у учащихся, логическое мышление, интуицию и внимание.

«Своя игра» рассчитана на более узкий круг участников, и будет интересна, прежде всего, ученикам, посещающим факультативные и кружковые занятия, и ученикам, проявляющим интерес к данной науке.

Эту игру может проводить учитель, устраивая соревнования между командами. Так же ученики могут сами организовать подобную игру, с помощью учителя. У них появляется возможность проявлять творческую активность при составлении задач для викторин Во внеклассных мероприятиях, где задействованы многие учащиеся, царит атмосфера соревнования, борьбы за лучшее составление задач.

Практически все формы занимательной математики являются средствами воспитательного воздействия на учеников. Каждой из них свойственно свое построение и содержание. Очень важно, что практически все формы занимательной математики несут в себе определенную степень игры. А, как известно, привить интерес, а может даже и любовь к сложному предмету, можно лишь через игру.[19]

Глава II: Методическое обеспечение кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов

§1. Занимательные задачи по теории графов в учебной и научно- популярной литературе

В большинстве школьных учебников редко можно встретить занимательные задачи. Они начали появляться в школьных учебниках относительно недавно. Однако, такие учебники есть. В учебнике Занкова Л.В. для начальной школы присутствует значительное количество нестандартных задач и занимательных задач по арифметике.[13]

Можно сказать, что продолжением учебников Занкова Л.В являются учебники Дорофеева и др. К учебникам Дорофеева Г.В. выпускаются «дидактические материалы» и « рабочая тетрадь». В них собрано достаточное количество занимательных задач.[9],[10]

В учебниках Виленкина Н.Я. и др. для 5-6 класса также присутствуют занимательные задачи, но они, в основном, однотипны.[4],[5]

Более старый учебник по математике Шеврина А.Г. и др. отличается развернутыми объяснительными текстами, диалогом с читателем и разнообразными приемами развивающего обучения. Присутствуют специальные персонажи, такие как Смекалкин, которые «сопровождают» читателя в процессе обучения. Учебник так же насыщен приемами, которые повышают его занимательность, игровыми элементами, ребусами, загадками. [51],[52]

Переходя к 7-9 классам, приходится отмечать, что количество занимательных учебников и заданий резко сокращается. Происходит разделение математики на геометрию и алгебру. В учебниках всё чаще в начале параграфов приводятся краткие сводки о жизни великих математиков. Но, к сожалению исчезает занимательность, что способствует в некоторой мере потери интереса к предмету.

Проанализировав некоторые учебники 7-9 классов для общеобразовательных школ, могу отметить, что в них практически нет занимательных задач. В учебниках более младших классов куда чаще встречаются интересные задачи, ориентированные на жизненные ситуации и пробуждающие интерес к предмету.

Далее я хотела бы рассмотреть некоторые учебники, посвященные теории графов. К сожалению, в школьной программе теория графов почти не встречается. Графы используются в решении некоторых задач, как вспомогательный элемент. Однако, тема графов не выносится отдельно на изучение и, даже при использовании теории графов в решениях, в учебниках не упоминается о том, что это графы. Если в задаче для решения необходимо построить дерево, то как правило такие решения называются графическими или схематическими.

Дискретная математика, а в частности и теория графов включена в программу большинства ВУЗов. Учебников по теории графов не столь много, но для изучения в ВУЗах их вполне хватает. В связи с этим возникает проблема отбора теории и заданий для школьников, так как не вся ВУЗовские книжки и пособия могут быть по уровню сложности адаптированы к школьникам. Так же для проведения кружковых занятий есть необходимость не просто в адаптированной теории и заданиях, но и в том, чтобы эти задания оказались занимательными, интересными и прививали бы ученикам любовь и интерес к предметы. Итак, далее я рассмотрю некоторые книжки по теории графов.

Занимательные задачи по теории графов, учебно-методическое пособие, Мельников О.И., 2001.[25]

Мельников один из немногих авторов, которые делают акцент именно на занимательности заданий.

В книге в занимательной форме описаны основы теории графов.

Книга предназначена именно для школьников, ее изучение на кружках и факультативах в средней школе способствовало бы развитию дискретного мышления учеников. А так же облегчает им освоение вычислительной техники.

Книга может использоваться как школьниками, так и учителями. Некоторые задачи из этой книги вполне могут быть использованы для олимпиад.

Так же эта книга может стать полезной для абитуриентов, которые поступают в ВУЗы на математические профили.

Примеры задач:

1.        Спортивное соревнование проводится по круговой системе. Это означает, что каждая пара игроков встречается между собой ровно один раз. Докажите, что в любой момент времени найдутся хотя бы два игрока, проведшие одинаковое число встреч.

2.       В шахматном турнире по круговой системе участвуют семь школьников. Известие что Ваня сыграл шесть партий. Толя - пять. Леша и Дима - по три, Семен и Илья - по две. Женя - одну. С кем сыграл Леша?

3.       В соревнованиях по круговой системе с пятью участниками только Ваня и Леша сыграли одинаковое число встреч, а все остальные - различное. Сколько встреч сыграли Ваня и Леша?

4.       В соревновании по круговой системе с двенадцатью участниками провели все встречи. Сколько встреч было сыграно?

5.       Чемпионат лагеря по футболу проводился по круговой системе. За победу в матче давалось 2 очка, за ничью - 1, за поражение - 0. Если две команды набирали одинаковое количество очков, то место определялось по разности забитых и пропущенных мячей. Чемпион набрал семь очков, второй призер - пять, третий - три. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место.[12][25]

Мельников О.И. Теория графов в занимательных задачах. Изд.3, испр. и доп. 2009. 232 с.[26]

В книге в занимательной форме описаны основы теории графов.

Книга предназначена именно для школьников, ее изучение на кружках и факультативах в средней школе способствовало бы развитию дискретного мышления учеников. А так же облегчает им освоение вычислительной техники. Книга может использоваться как школьниками, так и учителями.

Некоторые задачи из этой книги вполне могут быть использованы для олимпиад.

Так же эта книга может стать полезной для абитуриентов, которые поступают в ВУЗы на математические профили.

Первое издание книги, вышедшее в 2001 году, вошло в различные рекомендательные списки и виртуальные библиотеки не только для студентов и учителей, но и для школьников.

Мельников О.И. Незнайка в стране графов: Пособие для учащихся. Изд. -е, стереотипное. М.: КомКнига, 2007. - 160 с.[25]

Повторюсь, и скажу о том, что Мельников, один из немногих авторов, которые делают акцент именно на занимательности теории графов. А так же, эта книга рассчитана на школьников. Издание написано для учащихся 6-8 классов. Вполне подходит для использования учителями средней школы для внеклассной работы. Книга написана на доступном языке, в связи с этим может быть использована не только в школе, но и для самостоятельного изучения школьниками, или же с участием родителей.

В данной книге в занимательной форме изложены основы одного из интереснейших направлений математики - теории графов. Главы данной книги объединены единым сюжетом, что делает ее невероятно увлекательной. Элементы теории графов органично вписываются в занимательные игровые ситуации, описанные в книге. В этом издании содержится более 130 задач. Так же, к данным задачам прилагаются подробные описания решений, что значительно упрощает задачу учителей, а так же делает ее пригодной для самостоятельного изучения.

Примеры:

Вышел однажды Знайка из дома. По городу решил погулять, воздухом подышать, в библиотеку зайти, новые книги и журналы посмотреть. Не успел он за порог ступить, как навстречу Незнайка с рюкзаком. Идет Незнайка довольный, улыбается, песенку веселую насвистывает.

-         Ты куда? - спросил Знайка.

—   Не куда, а откуда, - охотно ответил Незнайка. - Из похода вернулся.

Нас Пулька в поход водил.

—    А меня почему не позвали? - обиделся Знайка. - А еще друзья называются!

Незнайке стало стыдно. Ведь, когда Знайка полетел на воздушном шаре, он взял всех, кто хотел лететь. И в походе был бы не лишним, столько интересного рассказал бы.

—   Честно говоря, я сам в последний момент узнал. Пулька объявление повесил, а я мимо шел. Но ты не расстраивайся. Через неделю мы снова пойдем. Можешь отправиться с нами.

—   А что в походе было интересного? - спросил Знайка. - Может быть, я с вами и не пойду.

Незнайку переполняли впечатления, и он с удовольствием стал рассказывать, как шли они вдоль реки, потом заблудились, но он - отважный следопыт - нашел дорогу. Конечно, Незнайка умолчал о главном: заблудились они потому, что он предложил идти напрямик.

—  А компас у вас был? - спросил Знайка.

—      Зачем нам компас, если у нас карта была.

—  Кто же ходит в поход без компаса? - воскликнул Знайка. - Потому и заблудились.

Но Незнайка уже рассказывал о купании в реке, песнях у костра, ночевке в палатках. Он поймал себя на удивительном открытии: врать почти не приходится!

—      У меня появилось целых три новых друга! Самое интересное: каждый из нас познакомился ровно с тремя малышами!

—  А сколько вас было? - спросил Знайка.

—   Сейчас сосчитаю: Пулька, Пончик, Чудик, Топик, Гунька, Носик, Гвоздик, Трубач и я. Всего получается девять.

Знайка покачал головой:

—  Не может такого быть!

—      Какого такого? - с подозрением посмотрел Незнайка.

—      А такого, что каждый познакомился ровно с тремя малышами.

—  Ну и ну, - возмутился Незнайка. - Тебя с нами не было, а заявляешь так, словно своими глазами видел. Я подружился с Чудиком, Топиком и Трубачом, Пулька - с Носиком, Топиком и... я точно не припомню, - Незнайка задумался. - Кто с кем познакомился, я точно не припомню, но то, что новых знакомых у каждого оказалось ровно трое, знаю хорошо.

—      Этого не может быть, - повторил Знайка.

—  И как ты это узнал, сидя в городе? - засмеялся Незнайка.

—      Путем логических рассуждений.

—      Каких рассуждений?

—   Логических. Давай обозначим каждого малыша точкой, - предложил Знайка.

—      Давай, - согласился Незнайка и нарисовал девять точек.[25]

Березина Л. Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1979. - 143 с. с ил.[2]

Книга довольно хорошо структурирована. Она содержит следующие главы: первое знакомство с графами, плоские графы, графы с цветными ребрами, ориентированные графы, отношения, деревья в работе, сетевое планирование и управление, графы и матрицы.

Для закрепления материала в книге представлены задачи занимательного характера, а так же олимпиадного.

Книга предназначена не только для школьников, но и для учителей. Целью в данной книге является - познакомить читателей с теорией графов и некоторыми приложениями теории графов.

Отличительной особенностью данной книги является то, что материал дается в доступной форме и « с нуля». Для изучения данной книги читателю не требуется каких-либо специальных знаний по теории графов. Большая часть разделов данной книги вполне подойдет для изучения учениками 7-8 классов.

Книга написана на доступном языке, в ней сочитаются система вопросов и упражнений, которые способны дать достаточно полное представление о теории графов и ее методах. « знакомство « с графами происходит непосредственно в процессе решения самых разнообразных заданий. Для того, чтобы решить задачу, требуется «перевести» условие задачи на язык графов, далее решить ее относительно графов и только после этого интерпретировать решение в исходные термины.

В начале книги теория графов иллюстрируется через ее связь с жизнью, а вторая половина книги описывает прикладные разделы теории графов, которые имеют практическое значение в управлении и экономике.

§2. Методические характеристики кружка «Занимательные задачи по теории графов»

Цели:

·         расширение и углубление математических знаний;

·        формирование научного мировоззрения;

·        воспитание творческой креативной личности;

З а да чи:

·         повысить уровень математической подготовки;

·        повысить уровень математической и общей культуры;

·         развить и повысить познавательный интерес обучающихся к математике;

·         развить математическое и логическое мышление;

·        раскрыть и эффективно использовать индивидуальные способности учащихся;

·        способствовать формированию личности учащихся;

·        повысить способности учащихся к самообразованию;

·        познакомить с историей возникновения графов;

·        изучить основные понятия теории графов;

·        научить решать задачи по теории графов, а так же, занимательные задачи;

·        развить творческие способности учащихся;

·        развить навыки работы в коллективе;

·        развить и повысить навыки и способности к самостоятельной работе.

Методы:

·        словесные методы обучения;

·        работа с учебником и книгой;

методы практической работы:

упражнения,

письменные

работы,

графические работы;

исследовательские методы;

метод проблемного обучения;

метод игры;

наглядный метод обучения.

Фо р мы:

·        индивидуальная;

·        групповая;

·        индивидуально-обособленная.

Ср едст ва :

·        учебные пособия;

·        научно-популярная литература;

·        презентации;

·        раздаточный материал;

·        интерактивная доска;

·        проектор. Планируемые результаты: Личностные результаты:

·        навыки сотрудничества со сверстниками, детьми младшего возраста, взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;

·        сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности.

Метапредметные результаты:

·        умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности;

·        умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности;

·        владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

·        владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.

Предметные результаты:

·        сформированность умений применять полученные знания при решении различных задач;

·           сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления;

·        сформированность представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;

·        сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений;

·        сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач.

Учебно-тематический план

Таблица 1

Программа кружка.

Занятие1. Задачи, приводящие к теории графов.

Задачи, приводящие к теории графов. Решение задач с помощью построения графовых моделей.

Занятие 2. Основные понятия теории графов.

Граф. Вершины и ребра графа. Степень вершины. Четные и нечетные вершины. Изолированные вершины. Смежные вершины. Полный граф. Лемма о рукопожатиях.

Занятие 3. Пути и циклы в графах, связные графы.

Путь. Длина пути. Ориентированный и неориентированный графы. Взвешенный граф. Простая цепь и цепь. Расстояние между двумя вершинами. Связность графа. Компоненты связности. Мост. Простой цикл и цикл.

Занятие 5. Деревья.

Дерево. Корневое дерево. Лес. Утверждение о том, что дерево - минимальный связный граф. Теорема о числе ребер дерева.

Занятие 6. Эйлеровы и Гамильтоновы графы.

Задача о Кененгсбергских мостах. Эйлеров путь. Эйлеров цикл. Эйлеров граф. Критерий эйлеровости графа. Задача коммивояжера. Гамильтонов путь. Гамильтонов цикл. Гамильтонов граф.

Занятие 7. Плоские и планарные графы.

Задача о трех колодцах. Различные изображения одного графа. Изоморфные графы. Плоские графы. Планарные графы. Двудольный граф. Формула Эйлера.

Занятие 8. Раскраска графов.

История задачи о четырех красках. Вершинная раскраска. Реберная раскраска. Раскраска карт. Правильная раскраска. Теорема о раскраске циклов. Теорема о 2 раскрашиваемом графе. Теорема о реберной раскраске двудольного графа.

Занятие 9. Защита докладов.

Занятие 10. Итоговое занятие « Своя игра».

§3. Математическое содержание кружка «Занимательные задачи по теории графов»

Методические рекомендации

Занятие 1. Задачи, приводящие к теории графов.

Это самое первое занятие кружка. Здесь рассмотрены некоторые задачи, приводящие к теории графов. Для их решения не нужно знать понятие графа или какие-либо сведения и теоремы касательно теории графов. Задачи направлены лишь на подведение детей к мысли о том, что при решении некоторых задач мы используем рисунки и схемы, некоторые схемы имеют определенные сходства.

Примеры заданий:

Задание 1.

В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор - Диме и Никите, Евгений сосед Никиты, а больше соседей в этой деревне нет. ( соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите?

Задание 2.

Сколько различных обедов П. И. Чичиков мог насчитать из блюд, выставленных на столе у П. П. Петуха, если бы на каждый обед выбирать только одно холодное блюдо, одно первое, одно второе, одно третье? На столе у П. П. Петуха на этот раз были выставлены из холодных блюд студень с хреном, свежая икра стерляжья, свежепросоленная белужина; на первoe - уха из стерлядей, щи с грибами; на втoрое - осетрина жареная, теле-нок жареный на вертеле, на третье - арбузы, груши.

Рис.1. Раздаточный материал к Заданию 2

Занятие 2. Основные понятия теории графов.

Занятие начинается с подведения к теории. Рассматривается следующее задание-игра:

Задание 1.

Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими. Возможна ли такая компания?

Игра рассматривается как подведение к лемме о рукопожатиях. Данная задача решается графическим путем. Это не вызывает затруднений. В конце занятия дается такая же задача, но с измененным условием (каждый знаком с тремя). Эта задача уже требует не только графического изображения, но и доказательства. Для этого и используется пройденная на занятии лемма.

На данном занятии рассматриваются основные определения теории графов. Дается определение графа, вершин и ребер графа, степень вершины, определение четных и нечетных вершин, изолированных и смежных вершин, полного графа. А так же рассматривается лемма о рукопожатии.

На данном занятии рассматриваются как формальные задачи, с целью закрепления пройденного теоретического материала, так и занимательные задачи.

Примеры заданий:

Задание 1.

Изобразите граф с 6 вершинами, все из которых четные.

Задание 2.

Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с тремя и только с тремя другими. Возможна ли такая компания?

Занятие 3. Пути и циклы в графах. Связные графы.

В этом занятии, подходя в определению компонент связности, стоит обратить внимание учеников на то, что даже если между какими-то двумя вершинами нет маршрута, это может быть один граф, а не несколько. Сделать это можно с помощью наглядного объяснения. Привести в пример город, который расположен на 2-х сторонах реки, а мост через реку был разрушен. Через это же объяснение можно подойти к определению моста.

В данное занятие включаются такие новые понятия как: путь, длина пути, цепь, простая цепь, цикл и простой цикл, расстояние между двумя вершинами, связность графа, компоненты связности, мост.

На данном занятии предлагаются как формальные задания, так и текстовые задачи с занимательным сюжетом.

Решению таких задач можно придать больше творческой направленности, используя игровую форму. Следующая задача может быть решена в форме игры. На листах бумаги нарисовать пни и разложить их на полу. Ученики в заранее подготовленных масках белок и кроликов будут перемещаться по этим пням.

Примеры заданий:

Задание 1.

Перед вами восемь пней, перенумерованные на нашем рисунке. На пнях№ 1 и № 3 сидят кролики, на № 6 и № 8 - белки. Но и белки, и кролики почему-то недовольны своими местами и хотят обменяться пнями: белки желают сидеть на местах кроликов, а кролики - на местах белок. Они могут сделать это, перепрыгивая с пня на пень - однако только по линиям, обозначенным на рисунке.

Рис. 2

Как они могли бы это сделать? Помните следующие правила:

1.        прыгать с пня на пень можно только по тем линиям, которые обозначены на рисунке; каждый зверёк может делать и несколько прыжков кряду;

2.       два зверька на одном пне поместиться не могут, - поэтому прыгать можно только на свободный пень.

Имейте также в виду, что зверьки желают обменяться местами наименьшим числом прыжков. Впрочем, меньше чем 16-ю прыжками они сделать этого не могут

Задание 2.

Каждый из семи мальчиков имеет 3 родных брата. Докажите, что все 7 мальчиков родные братья.

Рис. 3. Раздаточный материал к Заданию 1

математический граф внеурочный занимательный

Рис. 4. Раздаточный материал к заданию 1

Занятие 4. Деревья.

В начале занятия ученикам предлагается постараться построить схему следующей игры:

Первый игрок называет одно из двух чисел - 1 или 2. На каждом шаге игроки по очереди прибавляют к результату 1 или 2. Выигрывает тот, кто первым назовет число 20.

Далее ученики рисуют древо своей семьи. Не большое, до бабушек и дедушек. Таким образом можно подойти к определению дерева и др. Попросить учеников посмотреть, какие члены семьи будут являться «висячими вершинами»?

Для большего интереса к подобным заданиям можно заранее предложить ученикам принести маленькие фотографии родственников, для того, чтобы сделать дерево семьи.

Примеры заданий:

Задание 1.

В соревнованиях по борьбе, проходящих по олимпийской системе, участвуют 20 борцов. За какое минимальное время можно провести соревнование, если в спортивном зале есть только 3 борцовских ковра, и на каждую схватку, включая разминку и отдых, отводится час?

Задание 2.

Бабушка печет несладки и сладкие пирожки. Несладкие пирожки с мясом или капустой, сладкие с медом или вареньем: клубничным, малиновым или черничным. Изобразите это с помочью графа.

Рис. 5. Раздаточный материал к заданию 2

Занятие 5. Эйлеровы и Гамильтоновы графы.

Подведением к теме занятия будет служить историческая задача о Кененгсбергских мостах, а так же Задача коммивояжера. В этих примерах необходимо заострить внимание на том, что графы уже очень давно были нужны и полезны в жизни. Далее стоит попросить учеников вспомнить, что же такое цикл и путь. Далее можно перейти к изучению нового материала, а именно к таким определениям как: эйлеров путь, эйлеров цикл, эйлеров граф, гамильтонов путь, гамильтонов цикл, гамильтонов граф и рассмотрению критерия эйлерововсти.

Примеры заданий:

Задание 1.

На рисунке изображена схема зоопарка. Вершины графа - вход, выход, перекрестки, повороты, тупики. Ребра - дорожки, вдоль которых расположены клетки. Найдите маршрут, по которому экскурсовод мог бы провести посетителей, показав им всех зверей и не проходя более одного раза ни одного участка пути.

Рис. 6

Задание 2.

Можно ли обвести данные фигуры не отрывая карандаша от бумаги?

Каждую точку можно проходить не более 1 раза.

Рис. 7. Раздаточный материал к заданию 2

Занятие 6. Плоские и планарные графы.

Историческая задача о трех колодцах станет подводящей к теме плоских и планарных графов. Для большей наглядности и занимательности занятия можно использовать пластилин и нитки (веревки). Пластилиновые шарики, прилепленные к бумаге будут являться вершинами, а нитки между ними- ребрами. Так наглядно ученики смогут посмотреть, а главное проверить, что некоторые планарные графы можно изобразить в виде плоских. Так же хорошим наглядным и подвижным примером будет служить игра в «путанницу». Ученики - вершины. Веревки, взятые в руки - ребра. Учитель может «рисовать» из них граф, а в зависимости от того, распутаются ученики или нет можно будет делать вывод, является ли граф планарным. Игровая форма сделает занятие более увлекательным, а пройденный материал более интересным и понятным для учеников.

Примеры заданий:

Задание 1.

На какое наибольшее число областей могут разбить плоскость 2 треугольника?

Задание 2.

Можно ли так соединить дорожками 5 домов, чтобы дорожки не пересекались, и каждая пара домов была соединена одной дорожкой? (Две дорожки считаются пересекающимися, если они имеют хотя бы одну общую точку).

Занятие 7. Раскраска графов.

Самое яркое и творческое занятие кружка. История задачи о четырех красках станет вводной в тему занятия. В ходе занятия будут рассмотрены 3 вида раскрасок: вершинная, реберная, раскраска карт. Для наглядности можно использовать разноцветный пластилин. К примеру, раздать листочки с разноцветными вершинами из пластилина и определенное количество ребер ( ниток). Задача будет состоять в том, чтобы расположить эти ребра так, чтобы получилась правильная раскраска графа. Тоже самое можно делать с разноцветными нитками и пластилином одного цвета. Для занимательности раскраски карт можно попросить учеников нарисовать карты своей страны. ( например, страна « Графия»), подписать названия областей. После чего ученики меняются своими картами и раскрашивают «сказочные владения» друг друга. Естественно, карта государства соседа по парте должна быть раскрашена правильно.

Примеры заданий:

Задание 1.

Известна интересная игра, основанная раскраске карт. Первый игрок рисует произвольную область. Второй игрок раскрашивает её и пририсовывает новую область. Первый игрок раскрашивает эту область и пририсовывает ещё одну. Игра продолжается. Каждый из игроков раскрашивает область, нарисованную противником, и дорисовывает свою область. Проигрывает тот, кто вынужден воспользоваться пятой краской.

Занятие 8. Защита докладов.

Это занятие посвящено защите тех работ, которые ученики делали самостоятельно. На первом занятии они выбрали темы докладов, а на этом занятии они представят свои доклады и презентации. Доклады не должны быть очень объемными.

Примерные темы докладов:

1.        Графы в повседневной жизни.

2.       Теория графов в биологии.

3.       Применение теории графов в химии.

4.       Использование графов в физике.

5.       Графы в астрономии.

6.       История возникновения теории графов.

Занятие 9. « Своя игра».

Данное занятие является заключительным. Контрольное мероприятие проводится в форме известно телевизионной игры « своя игра». Группа заранее разбивается на 2 команды, каждая из которых придумывает название, девиз, по желанию рисуют плакаты. В каждой команде выбирается капитан. Команды по очереди выбирают категорию и цену вопроса. На подготовку ответа команде дается 1 минута. Если команда дает неверные ответ, право отвечать переходит другой команде. За правильный ответ командам начисляются баллы в размере цены вопроса. Если же обе команды ответили неверно, баллы не присуждаются никому. Побеждает команда, набравшая больше баллов.

Примеры занятий

Занятие 1. Задачи, приводящие к теории графов.

Задача 1.

В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор - Диме и Никите, Евгений сосед Никиты, а больше соседей в этой деревне нет. ( соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите ?

Решение:

Выпишем все имена мальчиков и соединим соседей линией. Получим: Сергей - Максим - Иван - Петр - Антон

Дима - Виктор - Никита - Евгений

Ответ: нет

Задача 2.

Как вы помните, охотник за мертвыми душами Павел Иванович Чичиков побывал у известных вам помещиков по одному разу у каждого. Он посещал их в следующем порядке: Манилова, Коробочку, Ноздрева, Собакевича, Плюшкина, Тентет-никова, генерала Бетрищева, Петуха, Констанжогло, полковника Кошкарева. Найдена схема, на которой Чичиков набросал взаимное расположение имений и проселочных дорог, соединяющих их (рис. 1.1). Установите, какое имение кому принадлежит, если ни по одной из дорог Чичиков не проезжал более одного раза.

Решение.

По схеме видно, что путешествие Чичиков начал с имения Е, а кончил имением О. Замечаем, что в имения В и С ведут только по две дороги, поэтому по этим дорогам Чичиков должен был проехать. Отметим их жирной линией (рис. 1.2). Определены участки маршрута, проходящие через А: АС и А В. По дорогам АЕ, АК и AM Чичиков не ездил. Перечеркнем их (рис. 1.2). Отметим жирной линией ED; перечеркнем DK. Перечеркнем МО и МН; отметим жирной линией МF; перечеркнем FO; отметим жирной линией FH, НК и КО (рис. 1.3). Найдем единственно возможный при данном условии маршрут.

Подведем первый итог: задача решена в ходе преобразования картинки. С рисунка 1.3 остается только считать ответ: имение Е принадлежит Манилову, D - Коробочке, С - Ноздреву, А - Собакевичу, В - Плюшкину, М - Тентетникову, F - Бетрище-ву, Я - Петуху, К - Констанжогло, О - Кошкареву.

Задача 3.

Рис. 8. Решение к задаче 2

Лист бумаги Плюшкин разрезает на три части. Некоторые из полученных листов он также разрезает на три части. Несколько новых листиков он вновь разрезает на три более мелкие и т. д. Сколько Плюшкин получает листиков бумаги, если разрезает k листов?

Решение.

Листы бумаги обозначим на рисунке кружками. Кружки, соответствующие листам, которые разрезаются, закрасим целиком; остальные кружки оставим незакрашенными.

Рисунок 1.4 помогает увидеть, что при разрезании одного листка на три части число листков увеличивается на два (появляются три новых вместо одного). Если же было разрезано k листов, то образовалось 1 + 2k листов (рис. 1.5).

На рисунке 1.5 показано пять разрезаний. Сколько в этом случае получено листов?

Кстати, вам не кажется, что схемы на рисунках 1.4 и 1.5 напоминают ветку дерева с листочками? Математики, обратив внимание на это сходство, назвали такие схемы «деревьями».

Рис. 9

Задача 4.

Сколько различных обедов П. И. Чичиков мог насчитать из блюд, выставленных на столе у П. П. Петуха, если бы на каждый обед выбирать только одно холодное блюдо, одно первое, одно второе, одно третье? На столе у П. П. Петуха на этот раз были выставлены из холодных блюд студень с хреном, свежая икра стерляжья, свежепросоленнаябелужина; на первoe - уха из стерлядей, щи с грибами; на втo-рое - осетрина жареная, теле-нок жареный на вертеле, натретье - арбузы, груши.

Решение.

Каждое блюдо изобразим кружком, а соответствие блюд одного обеда -отрез- ками, соединяющими кружки. Каждый кружок обозначим первой буквой названия блюда. Возникает схема, изображенная на рисунке 1.6. А теперь ответьте на вопрос задачи. Схема помогает сосчитать число возможностей. Она же поможет узнать, сколько различных обедов можно составить, например, с икрой; сколько различных обедов с арбузом.

Полученная схема немного сложней, чем схема на рисунке 1.5. Она состоит из трех деревьев. Такую схему называют «лесом».

Рис. 10

Графы - замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. теория графов стала простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем: это проблемы проектирования интегральных схем и схем управления, исследования автоматов, логических цепей, блок-схем программ, экономики и статистики, химии и биологии, теории расписаний и дискретной оптимизации.

Темы докладов:

3.        История возникновения теории графов.

4.       Графы в повседневной жизни

5.       Теория графов информатике

6.       Графы в биологии

7.       Теория графов в медицине

8.       Теория графов в экономике

9.       Теория графов в астрономии

Занятие 2. Основные понятия теории графов.

Задача 1.

Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими. Возможна ли такая компания?

Решение:

Каждого из этой компании изобразим на рисунке кружком. Если двое знакомы, соединим соответствующие кружки отрезком. Оказывается, что такие ситуации не только возможны, но все их можно описать аналогичными схемами (рис. 1.7). Из рассматриваемой компании нельзя выделить ни «четырехугольник», ни «треугольник», поскольку тогда из оставшихся нельзя будет составить компанию, удовлетворяющую условию, т.о. схема знакомства напоминает многоугольник. Такую схему принято называть циклом.

(Древние греки «цикл» называли «колесом»; и действительно, на Рисунке изображено нечто, напоминающее колесо и с успехом заменяющее в рассматриваемой ситуации многоугольник.)

Рис. 11

Что общего у схем, которые помогли нам решить задачи? Все они состоят из точек (кружков) и отрезков, соединяющих пары точек. Рассмотрение таких схем и приводит к понятию графа.

Граф представляет собой непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек. Обозначать граф будем буквой G.

При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными; длины отрезков и расположение точек произвольны.

Все три фигуры на рисунке 12 изображают один и тот же граф.

С позиции теории графов нет различий между «мышкой» и «слоном» на рисунке 13.

Рис. 12                                            Рис. 13

Точки иначе называют вершинами, отрезки - ребрами графа. Вершины графа на рисунке выделяют обычно кружками или квадратиками хотя бы потому, что не всегда точки пересечения ребер принимаются за вершины графа. Например, по условию на рисунке 14 точка пересечения «диагоналей четырехугольника» вершиной не является.

Рис. 14

Примеры:

На рисунке 14 изображен граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами.

На рисунке 15 изображен граф с пятью вершинами и четырьмя ребрами.

Рис. 15

Степенью вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершина. Степень вершины обозначается символом d(v). Вершина называется нечётной, если d(v)  нечётное число. Вершина называется чётной, если d(v) чётное число. Изолированной вершиной называется вершина, степень которой равна 0.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром. В этом случае говорят, что данное ребро инцидентно указанным вершинам.

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми рёбрами, соединяющими вершины из этого множества. Если в графе удалить часть рёбер, то получим частичный граф.

Полный граф - простой граф, в котором каждая пара различных вершин смежна.

Примерами графов могут служить схема метрополитена, схемы железных или шоссейных дорог, структурные формулы молекул, мы выставок и т. д., словом, схемы и планы (или карты) без указания масштабов, показывающие лишь связи между принадлежащими им объектами.

Поскольку графы изображаются особыми рисунками, сначала будем рисовать на бумаге, а позже рисунки графов можно будет представлять уже мысленно.

Упражнение. Нарисуйте полный граф с п вершинами, если а) п = 2; б) п = 3; в) п = 5.

У графа на рисунке 16 (а): степ. А = 1; степ. В = 2. У графа на рисунке 16 (в) степени всех вершин равны нулю.

Вершина называется нечетной, если ее степень - число не четное. Вершина называется четной, если ее степень - число четное.

Имея даже общие представления о графе, иногда можно судить о степенях его вершин. Так, степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин. При этом некоторые закономерности, связанные со степенями вершин, присущи не только полным графам.

Рис. 16

Лемма «о рукопожатиях». Сумма степеней вершин любого графа равна удвоенному числу его ребер.

Задача 1.

Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с тремя другими. Возможна ли такая компания?

Ответ: Нет. Это противоречит Лемме о рукопожатиях.

Упражнения.

1.        Изобразите граф с 6 вершинами, все из которых четные.

2.       Нарисуйте граф с 5 вершинами, степень каждой из которых равна 4. Как называется такой граф?

Вопросы:

1.        Какие новые определения вы сегодня узнали?

2.       Где могут применяться графы в повседневной жизни?

Занятие 4. Деревья.

Мы уже знаем из первого занятие, как изображается граф, называемый деревом. Но прежде, чем дать четкое определение графа и посмотреть чем он отличается от других графов, предлагаю поиграть в такую игру:

Кто назовет 20?

Первый игрок называет одно из двух чисел - 1 или 2. На каждом шаге игроки по очереди прибавляют к результату 1 или 2. Выигрывает тот, кто первым назовет число 20.

Разбейтесь на пары и сыграйте несколько конов в эту игру.

Попробуйте построить « схему этой игры» . Записать схематично возможные варианты хода игры.

В ходе построения такой « схемы игры» мы получили ни что иное, как граф. И граф такой называется деревом.

Задания:

1.        Нарисуйте граф с семью вершинами и шестью ребрами, который не имеет ни одного цикла

2.       Нарисуйте связный граф, имеющий 7 вершин и 6 ребер.

Итак, теперь разберемся что же такое дерево, чем такие графы отличаются от других, а так же, узнаем, что такое лес.

Деревом называется всякий связный граф, не имеющий циклов

Вершина дерева, степень которой равна единице, называется t висячей вершиной

Для каждой пары вершин дерева существует единственный соединяющий их путь.

Лесом называется несвязный граф, представляющий объединение деревьев.

Теорема (О количестве ребер дерева)

В дереве с p вершинами число ребер равно p - 1

Задачи:

1.        В турнире, проводимой по олимпийской системе принимают участие а) 16; б)18; в)25; г)48; д) 105 команд. Какое количество встреч нужно провести для определения победителя?

Ответ: после каждой встречи число участников уменьшается на одного, поэтому количество встреч будет соответственно: 15,17,25,48,104.

2.        В соревнованиях по борьбе, проходящих по олимпийской системе, участвуют 20 борцов. За какое минимальное время можно провести соревнование, если в спортивном зале есть только 3 борцовских ковра, и на каждую схватку, включая разминку и отдых, отводится час?

Ответ: на соревнование уйдет 7 часов.

Рис. 17

3.        Бабушка печет несладки и сладкие пирожки. Несладкие пирожки с мясом или капустой, сладкие с медом или вареньем: клубничным, малиновым или черничным. Изобразите это с помочью графа.

Ответ.

Рис. 18

Занятие 9. Итоговое занятие. «Своя игра».

Контрольное занятие. Проводится в форме известной телевизионной игры « своя игра». Основная часть вопросов ориентирована на проверку теоретических знаний. Так же, присутствуют задачи на каждую из предложенных тем. Игра проводится следующим образом: ученики делятся на 2 команды. Для каждой из команд определяется капитан. Команды по очереди выбирают категорию вопросов и цену вопроса. На ответ дается минута. После чего, если команда отвечает верно, им присуждаются баллы, если неверно, право ответа переходит другой команде. В случае неверного ответа второй команды баллы не присуждаются никому. Побеждает команда, набравшая большее количество баллов.

Некоторые фрагменты игры:

Рис. 19                                                     Рис. 20

Рис. 21                                                 Рис. 22

Рис. 23                                           Рис. 24

§4.Результаты опытно-экспериментальной проверки

Экспериментальная проверка полученных результатов учебных материалов проводилась в 2016 году в ГБОУ СОШ №1231 г. Москвы. Весь эксперимент был разбит на следующие этапы:

1.               Констатирующий эксперимент

2.             Поисковый эксперимент

3.             Обучающий и контролирующий эксперимент

На первом этапе задачей было выяснить степень мотивации детей к изучению математики, отношение к данному предмету. Определить уровень знаний относительно теории графов, а так же выяснить, видят ли ученики связь математики с другими предметами и находят ли применение для нее в повседневных ситуациях.

В ходе беседы с учениками и проведенного анкетирования удалось сделать следующие выводы:

1.        Некоторые из учеников выделяют предмет « математика» из ряда других как «интересный».

2.       Большинство считает математику сложным и скучным предметом.

3.       Почти никто из учеников не находит связи математики с другими предметами. Или по меньшей мере затрудняются в ответе на вопрос « а как именно она связана?» с теми или иными дисциплинами.

4.       Понятия « граф» и в целом о теории графов практически никто из учеников не слышал. Несколько человек ответили « да, где-то слышал, но не помню что это».

5.       Практически никто из учеников не интересовался и не интересуется фактами биографии ученых, историческими сведениями о математике и т.д.

На втором этапе была разработана программа кружка «Занимательные задачи теории графов», произведен отбор математического содержания курса, осуществлен подбор заданий для каждой темы. Задачей разработки данного курса было не просто пополнить новыми знаниями и научными фактами багаж знаний учеников, но так же постараться привить любовь и интерес к математике, показать что математика может быть красивой и изящной, показать связь творчества и математики. Задачи должны были быть занимательными, жизненными, такими, чтобы ученикам было интересно их решать. Поскольку занятия должны были проходить в рамках именно кружка, хотелось не «начитывать» определения и теоремы, а создать эффект путешествия в «страну математики» и показать удивительную связь математики со всем миром.

Курс содержит в себе 9 занятий. Более подробно они рассмотрены в предыдущей главе.

На третьем этапе были проведены занятия кружка с целью проверки доступности  разработанных  занятий  и  отобранного  материала,  качества  его усвоения, а так же, с целью проверки эффективности методики проведения. Краткое содержание и примеры занятий описаны в предыдущей главе.

В эксперименте участвовало 10 человек. 6 из 7 -х классов и 4 из 8-х классов.

Апробация проводилась во время педагогической практики. К сожалению, из-за нехватки времени занятие 8, посвященное докладам учащихся пришлось не проводить. Ученики выступали с докладами в конце каждого занятия.

Было проведено 6 занятий:

1.        Задачи, приводящие к теории графов.

2.       Основные понятия теории графов.

3.       Пути и циклы в графах.

4.       Плоские и планарные графы.

5.       Раскраска графов.

6.       Итоговое занятие «Своя игра».

Все занятия прошли в дружеской и теплой атмосфере. На каждом занятии я старалась использовать как можно больше ярких материалов, таких как пластилин, цветные нитки, цветные карандаши. Некоторые задачи решались не только в тетрадях, но и в игровых формах.

На следующих рисунках фрагменты решений некоторых задач.

Рис. 25. Решение задачи 1 из занятия 1

Рис. 26. Способы изображения одного и того же графа из занятия 2

В занятии 3 для решения задачи о зайчиках, белочках и пеньках я использовала листы с нарисованными пнями и маски в виде зайцев и белок. Решение задачи проходило в игровой форме.

Рис. 27. К задаче 1 Занятия 3

занятие стало контролирующим. Самостоятельных, контрольных и итоговых работ в данном курсе не планировалось. Провести контрольное мероприятие  было  решено в  игровой  форме.  Для  этого  был  выбран  мотив известной игры «Своя игра». Туда включались теоретические вопросы из курса, а так же задачи, связанные с пройденными темами. Т.к. были приведены не все 9 занятий, то из игры пришлось убрать некоторые темы.

Заранее ученики должны были разбиться на 2 команды, придумать названия и девизы своим командам, а так же, по желанию, нарисовать плакаты своей команды.

Отборочным туром стало такое задание:

Команды по очереди называют области и дисциплины, в которых могут быть применены графы. На размышление дается 10 секунд. Команда, не назвавшая область применения, начинает второй. В прохождении этого этапа игры ученикам очень помогли доклады, которые они делали и представляли на протяжении всего кружка. В темах, затронутых в их выступлениях, говорилось именно о применении графов в различных областях.

Ирга прошла в атмосфере увлечения и азарта. Практически все вопросы игры были разыграны, а это означает, что материал, пройденный на кружке, был хорошо усвоен. Относительно первого занятия группа стала более дружной и сплоченной.

Из результатов анкетирования, бесед с учащимися и итогов последнего занятия можно сделать следующие выводы:

1.        Интерес обучающихся к математике повысился.

2.       Ученики познакомились с историей графов.

3.       Ученики усвоили основные понятия теории графов.

4.       Научились решать задачи с применением теории графов.

5.       У учеников развились навыки работы в коллективе.

6.       У учеников развились навыки самостоятельной работы.

7.       У учеников повысились творческие способности.

Заключение

В ходе теоретического и экспериментального исследования, проведенного в данной работе, были получены следующие результаты и выводы.

1.        Определены методические особенности изучения теории графов на кружковых занятиях в основной школе.

2.        Проанализированы психолого-педагогические основы преподавания занимательных задач по теории графов в основной школе.

3.        Определены формы, методы и средства проведения кружковых занятий по теории графов в основной школе.

4.       Разработана методика преподавания кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов.

5.       Проведена опытно-экспериментальна проверка разработанной методики преподавания кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов. В ходе опытной проверки была подтверждена эффективность предложенной методики, доказано, что материал кружка доступен для учащихся основной школы, способствует углублению математических знаний школьников, повышению их интереса к предмету, развитию у учащихся интеллектуальных и творческих способностей.

Таким образом, цель исследования достигнута, поставленные задачи решены. В перспективе кажется целесообразным исследование проблемы изучения элементов теории графов на занятиях курса по выбору для учащихся 10-11 классов, поиск возможностей введения элементов теории графов на уроках математики в основной и старшей школе, использование особенностей теории графов для реализации внутри- и межпредметных связей в ходе образовательного процесса на основной и старшей ступенях общего образования.

Список литературы

1.    Бабанский Ю.К. Педагогика. - М.: Просвещение, 1988.

2.       Березина Л. Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1979.

a.    Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 8 классов школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1995.

.      Виленкин Н.Я., и др. Математика: Учебник для 5 класса средней школы - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1992.

4.       Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Швацбурд СИ., Жохов А.И. Математика: Учеб. для 6 класса средней школы - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.

.         Возрастная и педагогическая психология. Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов. Под ред. проф. А.В. Петровского. - М.: Просвещение, 1973.

.         Г.В. Бурменская, Е.И. Захарова О.А. Карабанова и др. Возрастно- психологический подход в консультировании детей и подростков: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. - М.: Издательский Центр «Академия», 2002.

.         Деза Е.И., Модель Д.Л., Основы дискретной математики. - М.: Либроком, 2011.

8.    Дорофеев Г.В. и др. Математика: 5 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Просвещение, 1994.

9.       Дорофеев Г.В. и др. Математика: 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 1995.

10.  Еникеев М.И. Общая и социальная психология: Учебник для вузов. - М.: НОРМА-ИНФА М, 2000.

11.     Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов, учебно-методическое пособие 2. - М.: КомКнига, 2001.

.         Занков Л.В. Учебник для 3 кл. - М.: Дрофа, 1996.

.         Данилова Ю.А., Под ред. Алексеева В.М. Избранные задачи: Сборник. - М.: Мир, 1977.

14.   Кон И.С. Психология старшеклассника: пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980.

15.   Концепция Федеральной целевой программы развития образования на 2016 - 2020 годы

16.   Концепция модернизации Российского образования

17.   Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку: Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1958.

18.   Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой: (Материал для клас. и внеклас. занятий). - М.: Просвещение, 1981.

19.     Кузнецова Е.В. Занимательные задачи как средство формирования творческой деятельности учащихся 5-6 классов в обучении математике: Дисс. канд. пед. наук. - М.; 1997.

.         Кулагина И.Ю. «Возрастная психология (развитие ребенка от рождения до 17 лет)», учебное пособие, 4-е изд-е, - М.: «УРАО», 1998.

a.     Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1995.

21.   Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: Учеб. для 7 класса общеобразовательных учреждений / под ред. С.А. Теляковского. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2001.

22.   Гнеденко Б. В., Титов В. А. Математическое образование сегодня. Сост. - М.: Знание, 1974.

23.     Мельников О.И. Незнайка в стране графов: Пособие для учащихся. Изд. 3-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2007.

.         Мельников О.И. Теория графов в занимательных задачах. Изд.3, испр. и доп. 2009.

.         Минковский В. Л. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся VI кл. - М.: Просвещение, 1966.

.         Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000.

.         Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001.

28.  Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001.

29.     Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 7 кл.: Задачник, для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000.

.         Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 8 кн.: Задачник, для общеобразоват. Учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001.

.         Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 9 кл.: Задачник, для общеобразоват. учреждений - 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.

.         Мочалов Л.П. Головоломки: Книга для учащихся. - М.: Просвещение: АО

.         «Учебная литература», 1996.

34.  Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. - М.: «Академия», 1997.

35.     Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. - 2-е изд., доработ. - М.: «Академия», 1997.

.         Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. М.: «Академия», 1997.

.         Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учеб. для 5 кл. средней школы. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1992.

.         Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учеб. для 6 кл. средней школы. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1991.

.         Олехник СП., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. - М.: Вита-Пресс, 1994.

.         Потоцкий М.В. Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе. - М.: Прометей, 1992.

.         'Приказ Минобразования РФ от 11 февраля 2002 г. N 393 'О Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года''\Психология человека от рождения до смерти./под общ. ред. А.А. Реана - СПб.:

.         «Прайм-ЕВРОЗНАК», 2002.

44.  Рождественская Н.А. Как понять подростка: Учебное пособие для студентов факультетов психологии высших учебных заведений по специальностям 52100 и 020400 - «Психология». 2-е изд. - М.: Российское психологическое общество, 1998.

45.     Рождественская Н.А. Как понять подростка: Учебное пособие для студентов факультетов психологии высших учебных заведений по специальностям 52100 и 020400 - «Психология». 2-е изд. - М.: Российское психологическое общество, 1998).

.         Совайленко В.К., Лебедева О.В. Математика 6 класс: Учебник для учащихся средней школы. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1995.

.         Спивак А. В. Математический праздник. - М.: Бюро Квантум, 2000.

.         Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. - М.: Просвещение, 2002.

.         Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утвержден приказом Минобрнауки России от 17 декабря 2010 г. № 1897).

.         Шеврин Л.Н. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5 класса средней школы . - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994.

.         Шеврин Л.Н. и др. Математика: Учебник-собеседник для 6 класса средней школы. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

.         Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Книга для учителя. -2-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

.         Якиманская И.С., Столетов В.С., Каплунович И.Я. и др. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / под. ред. И.С. Якиманской. - М.: Педагогика, 1989.

54.     [Электронный ресурс] // URL: <http://5fan.ru/wievjob.php?id=64169>

.         [Электронный ресурс] // URL: <http://dok.opredelim.com/docs/index-3241.html>

.         [Электронный ресурс] // URL: <http://festival.1september.ru/articles/596714/>

.         [Электронный ресурс]// URL:<http://revolution.albest.ru/pedagogics/00257935_0.html>

.         [Электронный ресурс] // URL: <http://www.docme.ru/doc/250574/kruzhkovaya-rabota-po-matematike>rabota-po-matematike <http://www.docme.ru/doc/250574/kruzhkovaya-rabota-po-matematike>