Модель надежности системы 'БРТК - АКиД'
Контрольная работа
Модель надежности системы «БРТК -
АКиД»
Содержание
1 Анализ и синтез надежностной математической модели БРТК -
встроенный АК
. Анализ и синтез надежностной математической модели "
БРТК - встроенный функциональный АК" с учетом ошибок первого и второго
рода
. Разработка и исследование надежностной математической
модели " БРТК - встроенный функциональный АК" в виде трехмерного
полумарковского процесса
Выводы
Литература
1 Анализ и
синтез надежностной математической модели БРТК - встроенный АК
При решении задач организации систем контроля и диагностирования
учитываются показатели, характеризующие безотказность, контролепригодность и
ремонтопригодность как БРТК, так и технических средств диагностирования,
которые связаны с показателями, характеризующими организацию диагностирования и
используются в эксплуатации БРТК. Анализ процесса взаимодействия БРТК и АК при
диагностировании позволяет обоснованно, исходя из выбранного критерия
организации системы диагностирования, сформулировать требования к системе и АК
с учетом специфики использования и эксплуатации БРТК.
Будем считать, что модель системы " БРТК - встроенный функциональный
АК" может принимать конечное число состояний. Входной информационный поток
для БРТК с достаточной инженерной точностью можно считать простейшим с k-й степенью неординарности (k=1,2), поток отказов системы является
также простейшим. Состояния АК БРТК и его функционирование в дискретные моменты
времени могут быть записаны:
где
S1 - дежурное состояние системы; S2 -
рабочее состояние системы; 
-
состояния переключения системы; УПi - число управляющих программ,
каждая из которых соответственно состоит из 
команд, 
; Ti - время выполнения соответствующей программы .
Функциональный
АК БРТК может быть представлен системой массового обслуживания, входным потоком
для которого является простейший поток отказов БРТК. Поэтому при анализе
необходимо рассматривать две подсистемы массового обслуживания; БРТК и
функциональный АК ее работоспособности. Для описания модели " БРТК -
встроенный функциональный АК" может быть применена модель марковского процесса
с дискретными состояниями и непрерывным временем. Поставим задачу: определить
для любого времени t вероятность состояний 
-
число состояний проектируемой системы 
.
Предполагается рассматривать модель в виде следующего вероятностного графа
(рисунок 1).
Рисунок 1 - Вероятностный граф модели " БРТК - встроенный
функциональный автомат контроля"
Вершины графа соответствуют состояниям системы: S1 - система исправна и находится в дежурном режиме; S2 - система исправна и находится в
рабочем режиме; S3 - система
неисправна и находится в дежурном режиме; S4 - система неисправна и находится в рабочем режиме. Дуги
соответствуют интенсивностям переходов (lp - интенсивность поступления заявок; mp - интенсивность обслуживания заявок; l0 - интенсивность отказов в дежурном режиме; lф - интенсивность отказов в рабочем
режиме; mв - интенсивность восстановления
системы), причем каждое состояние соответственно оценивается вероятностью
пребывания БРТК в том или ином состоянии. Вероятностный граф, описывающий
состояние контролируемой БРТК позволяет отразить этот процесс системой
дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена:
(1)
Будем
считать, что при переходе из состояния S1 в состояние S2
имеет место физический отказ, а при переходе из состояния S3 в
состояние S4 - функцииональный. Решение системы уравнений (1)
произведем в стационарном и нестационарном режимах и определим верхнюю границу
быстродействия АК, а также оценим зависимость быстродействия от изменения
параметров функционирования БРТК.
Стационарный
режим характерен тем, что 
; 
с учетом
этого система (1) будет иметь вид:
(2)
Решив
систему (2) определим вероятности состояний:
где
1
представляет собой характеристику коэффициента готовности БРТК, исправной и
находящейся в дежурном состоянии, который учитывает надежность и
быстродействие, P2 - характеризует коэффициент готовности, учитывающий
надежностные характеристики БРТК. Сумма (P1 + P2)
характеризует интегральный коэффициент готовности 
в стационарном режиме, т.е. при t®¥.
Проанализировав графики зависимостей 
при lR; r-var (рисунки 6-10) можно сделать следующие выводы:
1) -
верхняя граница быстродействия может быть выбрана в зависимости от
предъявляемых требований к функциональному АК, отображенных в . Начиная с 
при 
дальнейшее повышение быстродействия АК
нецелесообразно, т.к. затраты на повышение коэффициента готовности будут
несоизмеримы с величиной его ранга;
1 увеличение коэффициента загрузки r, при r®1, наблюдается изменение соотношений между значениями
вероятностей состояния. С увеличением коэффициента загрузки r повышается быстродействие АК,
поскольку БРТК будет преобладать в состоянии S2 (см. рисунок 1), избыточного времени восстановления за счет
нахождения БРТК в дежурном режиме будет недостаточно. По заданным коэффициентам
загрузки и готовности можно выбрать соответствующее значение mв, а следовательно, и быстродействие
АК.
Анализ
модели " БРТК - встроенный функциональный АК" в стационарном режиме
дает погрешности, поэтому целесообразно рассмотреть данную модель при конечных
значениях t, в нестационарном режиме. Результатами расчета может
быть определение коэффициента готовности для нестационарного режима 
.
Найдем
функции 
распределения времени пребывания системы в каждом
состоянии Si (см.рисунок 1):
Преобразования
Лапласа-Стилтьеса для этих функций могут быть
получены с помощью соотношения
и
имеют вид
(3)
Среднее
время пребывания системы в состоянии Si рассчитывается по формуле
и
равно соответственно
(4)
Вероятности
перехода системы из состояния Si в
состояние Sj за время, не превышающее t, определяются
как вероятности появления событий, переводящих систему из состояния Si в
состояние Sj раньше, чем появление другого события, выводящего
систему из состояния Si:
Далее
преобразования Лапласа-Стилтьеса потребуются для вероятностей переходов:
(5)
Матрица
Р вероятностей переходов и вектор М средних времен пребывания
системы в каждом состоянии имеют вид:
Коэффициенты
готовности определяются как суммы стационарных вероятностей пребывания системы
в состоянии нормального функционирования объектов управления
(6)
где
Di -
миноры, получаемые вычеркиванием i-го столбца и i-ой строки в
определителе матрицы (I-P):
Таким
образом,
где 
Зависимость
коэффициента готовности в нестационарном режиме от интенсивности
восстановления mв БРТК с функциональным АК при различных значениях
коэффициента загрузки r, а также зависимости коэффициента готовности в нестационарном режиме от времени t при
различных значениях интенсивности восстановления mв представлен
на рисунках 6-10.
а) б)
Рисунок 2 - Зависимость P1=f(mb)
а) при 1)r=5×10-4; 2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2; 4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-3;
б) при 1)r=5×10-4; 2)r=5×10-3; 3)r=5×10 - 2,
4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-3
а) б)
Рисунок
3 - Зависимость =f(mb)
а)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-3;
б)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-2
а) б)
Рисунок
4 - Зависимость =f(mb)
а)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-3;
б)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-2
Рисунок
5 - Зависимость =f(t)
а)
при 1) mb=1;
2) mb=10-1;
3) mb=10-2;
4) mb=10-3;
5) mb=10-4;
lp=10-3;
r=5×10-2;
б)
при 1) mb=1;
2) mb=10-1;
3) mb=10-2;
4) mb=10-3;
5) mb=10-4;
lp=10-2;
r=5×10-2
Рисунок
6 - Зависимость =f(t) при 1)mb=1; 2)mb=10-1; 3)mb=10-2; 4)mb=10-3; 5)mb=10-4; lp=10-3; r=5×10-1
Из
сравнительного анализа семейств графиков 
при
одинаковых значениях lр и r можно сделать следующие выводы:
1) нестационарный режим исследования наиболее предпочтителен, чем стационарный,
как наиболее точный, если система исследуется на ограниченном интервале времени;
2) при выборе требуемого значения коэффициента готовности, необходимо
совместное рассмотрение зависимостей 
и
(см. рисунок 7). Это связано с тем, что возможен
случай, когда требуемое значение коэффициента готовности удовлетворяется по интенсивности восстановления mв, а по быстродействию не удовлетворяется, или требуемое значение
коэффициента готовности удовлетворяется по быстродействию, но не
удовлетворяется по интенсивности восстановления mв.
Рисунок 7 - Зависимости: 
=f(mb), r=5×10-2;
lp=10-3; =f(t)
при 1)mb=1; 2)mb=10-1; 3)mb=10-2; 4)mb=10-3;
5)mb=10-4; lp=10-3; r=5×10-2; mb=f(t), lp=10-3; r=5×10-2
Функции Фi(t) распределения времени пребывания
БРТК во множестве состояний нормального функционирования, через которые
выражается функция Р(T1)
вероятности безотказной работы системы за время Т1, при условии, что начальным
было состояние из этого множества, можно отыскать следующим образом. Система
уравнений
в
которой последнее слагаемое каждого уравнения соответствует непосредственному
переходу из начального состояния в отказовое, а остальные слагаемые
соответствуют переходу в отказовое состояние через промежуточные состояния 
с помощью преобразований Лапласа - Стилтьеса
переводится в систему алгебраических уравнений, которая упрощается с учетом
свойства
полумарковских
процессов
(7)
Поскольку
БРТК из отказового состояния S4 может перейти только в состояние S1
(см. рисунок 7), то последнее следует считать начальным состояние при
вычислении функции Ф1(t) распределения времени пребывания системы в
состояниях нормального функционирования. При этом условии функция вероятности
безотказной работы системы может быть определена из соотношения 
При решении системы уравнений (7) 
можно получить
Для
удобства перехода от функции 
к ее
оригиналу целесообразно вместо переменных 
воспользоваться
их численными значениями. Для этого необходимо учитывать специфику
функционирования конкретной БРТК при решении определенных задач.
. Анализ и
синтез надежностной математической модели " БРТК - встроенный функциональный
АК" с учетом ошибок первого и второго рода
В отличие от ранее рассмотренной идеальной модели, в реальной модели
будут присутствовать особенности, обусловленные реальным характером работы АК:
существует вероятность Рло забраковать исправную систему и с вероятностью Рно
допустить к хранению (пребыванию в дежурном состоянии) неисправную систему.
Существуют также вероятности восстановления Рв и не восстановления (1-Рв)
отказавшей БРТК. Вероятности Рло и Рно называют соответственно ошибками первого
и второго рода. С учетом того, что в этой модели свойства всех потоков
соответствуют описанным выше, представим реальную модель системы в виде графа
(рисунок 8).
Рисунок 8 - Вероятностный граф модели " БРТК - встроенный
функциональный АК"
Вершины графа соответствуют следующим состояниям системы:
S1 -
система исправна и находится в дежурном состоянии;
S2 -
система исправна и находится в рабочем состоянии;
S3 -
система неисправна и находится в дежурном состоянии;
S4 -
система неисправна и находится в рабочем состоянии;
S5 -
система фактически исправна, но забракована автоматом контроля;
S6 -
не исправная система находится на этапе восстановления.
Вероятностный граф (см. рисунок 8) можно отразить системой
дифференциальных уравнений:
(8)
Запишем
систему (8) для использования в стационарном и нестационарном режимах
соответственно:
(9)
(10)
При
исследовании математической модели "БРТК - встроенный функциональный
АК" с учетом ошибок первого и второго рода" в соответствии с
методикой для исследования идеальной модели определить зависимости
коэффициентов готовности 
и 
от
характеристик системы (рисунки 13-18) и сделать следующие выводы: 1) при
определенных значениях mв (10-2; 10-3) значения и существенно отличаются, на участке 
(сравнение производится при 
) значения и существенно не отличаются; 2) если работа БРТК с
встроенным функциональным АК анализируется на длительном участке времени, то
наиболее предпочтителен стационарный режим исследования. Если же работа системы
анализируется на отрезке времени 
, то
наиболее предпочтителен второй режим исследования - нестационарный.
а) б)
Рисунок
9 - Зависимость 
=f(mb)
а)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-3; Рло=0.1; Рно=0.1; Рв=0.8, с учетом ошибок 1го
и 2го рода;
б)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-3; Рло=0.4; Рно=0.4; Рв=0.2, с учетом ошибок 1го
и 2го рода
а) б)
Рисунок
10 - Зависимость =f(mb)
а)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-2; Рло=0.1; Рно=0.1; Рв=0.8, с учетом ошибок 1го
и 2го рода;
б)
при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-2; Рло=0.5; Рно=0.3; Рв=0.2, с учетом ошибок 1го
и 2го рода
Рисунок
11 - Зависимость =f(mb) при 1)r=5×10-4;2)r=5×10-3; 3)r=5×10-2;4)r=5×10-1; 5)r=8×10-1; lp=10-2; Рло=0.3; Рно=0.5; Рв=0.2, с учетом ошибок 1го
и 2го рода
а) б)
Рисунок
12 - Зависимость 
=f(t)
а)
при 1)mb=1;
2)mb=10-1;
3)mb=10-2;
4)mb=10-3;5)mb=10-4;
lp=10-3;
r=5×10-2; Рло=0.1;
Рно=0.1; Рв=0.8, с учетом ошибок 1го и 2го рода;
б)
при 1)mb=1;
2)mb=10-1;
3)mb=10-2;
4)mb=10-3;5)mb=10-4;
lp=10-3;
r=5×10-2; Рло=0.4;
Рно=0.4; Рв=0.2, с учетом ошибок 1го и 2го рода.
Рисунок
13 - Зависимость =f(t) при 1)mb=1; 2)mb=10-1; 3)mb=10-2;4)mb=10-3;5)mb=10-4; lp=10-2; r=5×10-2; Рло=0.1; Рно=0.1; Рв=0.8, с учетом ошибок 1го
и 2го рода
Рисунок
14 - Зависимости: =f(mb), r=5×10-2; lp=10-3; Рло=0.4;
Рно=0.4;
Рв=0.2; 
=f(t) при 1)mb=1; 2)mb=10-1; 3)mb=10-2; 4)mb=10-3; 5)mb=10-4; lp=10-3; r=5×10-2; Рло=0.4; Рно=0.4; Рв=0.2; mb=f(t), lp=10-3;
r=5×10-2, с учетом
ошибок 1го и 2го рода.
Проведем
сравнение зависимостей коэффициентов готовности в стационарном и в нестационарном режимах
от интенсивности восстановления mв с учетом ошибок
первого и второго рода. При одинаковых значениях интенсивности восстановления mв меньшее значение коэффициентов готовности и оказывается
у системы с учетом ошибки первого и второго рода. В зависимости от варьирования
значений вероятностей 
, при неизменных значениях входного информационного
потока, изменяется характер зависимостей 
.
Рассмотрение
совместных зависимостей 
и 
(см.
рисунок 9-18) при одинаковых значениях lр; r; , приводят к выводам, что
)
возможен случай, когда по быстродействию достигается высокий уровень значения
коэффициента готовности, а по интенсивности восстановления этот уровень
достигнут быть не может;
)
из анализа зависимостей 
можно выбрать необходимое для конкретного случая
значение коэффициента готовности, удовлетворяющего обеим зависимостям и ;
)
из анализа семейств зависимостей видно,
что с течением времени, значение интенсивности восстановления mв уменьшается. И это действительно так, поскольку система в рабочем
состоянии занята отработкой пакета заявок, количество не обслуженных системой
которых с течением времени уменьшается;
)
зависимость была построена на основании совместного решения
зависимостей и .
.
Разработка и исследование надежностной математической модели " БРТК - встроенный функциональный
АК" в виде трехмерного полумарковского процесса
Критерий экспотенциальности распределения времени наработки системы из N невосстанавливаемых элементов до
отказа представляет собой неравенство вида
где
- математическое ожидание времени жизни i-го
элемента; а также доказана асимптотическая сходимость суммы большого числа
элементарных процессов восстановления к пуассоновскому процессу независимо от
вида функции распределения 
. По
справочным данным опредляют интенсивности отказов СБИС, которые используются
для вычисления параметров 
"совершенно случайного" - экспоненциального
закона, принимаемого в качестве закона распределения времени жизни элемента.
Это дает возможность при построении процесса отказов и восстановлений
устройства избежать необходимости учета выработки ресурса каждого элемента, а
учитывать лишь состояние исправности 
, когда
все N элементов исправны), время пребывания в котором t подчиняется экспоненциальному закону с плотностью распределения 
, функцией распределения 
и математическим ожиданием 
. Второе состояние 
),
вводимое при построении общего процесса, является состоянием поиска и
устранения отказавшего элемента в БРТК. При идеальной системе фиксации отказов
переход в это состояние осуществляется сразу же в момент возникновения отказа.
Время пребывания в нем g является случайной величиной, подчиняющейся
некоторому закону с функцией распределения G(t) и
математическим ожиданием 
. Вид этого закона для любой БРТК не является
устойчивым и зависит от конструкции системы диагностики, профессиональных
качеств обслуживающего персонала и т.д. Так, в качестве законов распределения
времени поиска и устранения отказа рассматриваются логарифмически-нормальный и
Вейбулла. Экспериментальные результаты подтверждают возможность использования
распределения Эрланга второго порядка.
В
процесс отказов и восстановлений БРТК, кроме рассмотренных ранее состояний С1 и
С2, целесообразно ввести С3 - состояние необнаруженного отказа, в которое она
переходит из состояний С1 и С2 при возникновении отказа, не фиксируемого
функциональным АК. В момент обнаружения этого состояния с помощью средств
поддержки функционирования БРТК переходит в состояние С2 , из которого в момент
восстановления снова возвращается в состояние С1. Этот процесс переходов хорошо
согласуется с определением полумарковского процесса с тремя состояниями
(трехмерный полумарковский процесс).
Пусть
- условная вероятность того, что полумарковский
процесс будет находиться в состоянии Сi не более t и
перейдет в состояние 
. Этот процесс можно задать матрицей
где
Считается,
что реальная система поддержки функционирования, которой оснащается БРТК,
фиксирует отказы лишь с некоторой вероятностью a<1.
Отказы, не фиксируемые АК, обнаруживаются с некоторой задержкой h. Задержка является случайной величиной и имеет функцию распределения
Н(t), которая определяется спецификой дополнительных
средств обнаружения отказов, применяемых в реальных условиях эксплуатации.
Определим
для рассматриваемого процесса отказов и восстановлений вероятность Р пребывания
устройства в произвольный момент времени в исправном состоянии или вероятность
Р(С1) пребывания полумарковского процесса в состоянии С1. Для этого введем dAij(t) -
вероятность перехода процесса в момент t в состояние Cj
при условии, что в момент t=0 имел место переход в состояние Ci.
Событие,
соответствующее вероятности пребывания процесса в некоторый фиксированный
момент времени t в состояние С1 P(C1,t),
происходит в следующих случаях:
на
всем интервале (0;t) процесс остается в состоянии С1. Вероятность этого
равна 
;
в
момент времени x<t осуществляется переход процесса в состояние С1, в
котором он и остается до момента t. Вероятность этого равна 
Следовательно,
Введя
преобразования Лапласа-Стилтьеса 
и 
, получим
(12)
Определим
a11(s). Переход процесса в момент t в состояние С1
при условии, что в момент t=0 также имел место переход в состояние С1, может
происходить в следующих случаях:
в
момент времени x<t осуществится первый переход процесса из состояния С1
в состояние С2, а затем в момент t - переход в состояние С1 при условии, что в момент х
был переход в состояние С2. Вероятность этой ситуации равна 
;
в
момент времени x<t осуществится первый переход процесса из состояния С1
в состояние С3, а в момент t будет иметь место переход в состояние С1 при условии,
что в момент х был переход в состояние С3. Вероятность этого равна 
. В результате имеем:
Аналогичные
рассуждения относительно dA21(t), dA31(t) приводят к выражениям:
и 
Полученная
таким образом система интегральных уравнений в преобразованиях
Лапласа-Стилтьеса запишется в виде:
откуда
Подставляя
в (12), получим
(13)
Откуда
после упрощений найдем стационарную вероятность исправного состояния
где
В
результате
(14)
Построенный
полумарковский процесс можно свести к альтернативному процессу восстановления,
если принять состояния С2 и С3 равноценными. При этом 
Здесь 
с .
Определим
Н(t), предполагая, что дополнительным средством
обнаружения отказов, не фиксируемым функциональным АК, являются периодические
проверки работоспособности с помощью других средств поддержки функционирования.
Обозначим через Т период проверок и запишем выражения для функции распределения
времени между проверками в виде
Выберем
любой момент возникновения нефиксируемого отказа при установившемся режиме
работы БРТК т определим закон распределения времени до ближайшей проверки
(времени пребывания в состоянии С3. В стационарном режиме время любого
произвольно выбранного момента до ближайшего события рекуррентного потока имеет
плотность распределения, равную 
где D(t) -
функция распределения промежутков времени между событиями. Для рассматриваемого
случая 1-D(t)=1 при t<T, а 
Следовательно,
dH(t)=1/T и закон распределения времени h пребывания элемента в состоянии необнаруженного отказа является
равномерным с H(t)=t/T и M[h]=T/2.
Стационарная вероятность исправного состояния БРТК из (14) равна
(15)
Найти
какие-либо физические предпосылки для выбора устойчивого закона распределения
времени наработки БРТК до отказа трудно. Поэтому представляется целесообразным
принять в качестве закона распределения предельный закон для суммы потоков
отказов, т.е. экспоненциальный.
С
точки зрения надежности, комплекс оборудования БРТК можно представить в виде
цепи последовательно соединенных устройств, отказ одного из которых приводит к
выходу из строя всей вычислительной цепи. Рассмотрим последовательную цепь из N
устройств в предположении идеального контроля. Процесс отказов и восстановлений
i-го компонента цепи, моделью которого является
альтернирующий процесс восстановления, имеет следующие характеристики
Организация
обслуживания такова, что во время поиска и устранения отказа одного из
компонентов остальные не выключаются и могут быть использованы для выполнения
диагностических и проверочных операций, в течение которых возможно
возникновение новых отказов. Общий процесс отказов и восстановлений
представляет собой сумму независимых процессов составляющих ее компонентов.
Ввиду того, что время наработки до отказа каждого i-го компонента
цепи ti
подчиняется экспоненциальному закону, время наработки до отказа системы в целом
t также подчиняется экспоненциальному закону с функцией
распределения 
и математическим ожиданием 
Что
касается закона распределения времени восстановления системы g, то получить для него аналитическое выражение и учетом возможности
возникновения серии отказов с непрерывным интервалом времени пребывания системы
в состоянии С2 представляется весьма сложной задачей. Можно лишь утверждать,
что соответствующая кривая плотности распределения dG(t)
должна исходить из начала координат. Действительно, пусть в некоторый момент t
возник отказ i-го компонента, повлекший за собой отказ всей или
части БРТК, и рассмотрим достаточно малый интервал времени (t, t+Dt)
при t®0. В силу ординарности простейшего потока вероятность нового отказа в
интервале (t, t+Dt) также стремится к нулю и, следовательно,
распределение времени восстановления системы в этом интервале можно принять
соответствующим закону с функцией распределения Gi(t),
для которого выполняется условие dGi(0)=0. Следовательно, и dG(0)=0. С
учетом этого примем закон распределения g эрланговским с 
где 
Определим
M[g]. Вероятность исправного
состояния системы равна произведению вероятностей состояния всех N ее
компонентов, т.е. 
Следовательно, можно записать
Откуда
(16)
Построенному
таким образом процессу отказов и восстановлений БРТК соответствует альтернирующий
процесс восстановления с характеристиками:
Построим
теперь модель потока отказов и восстановлений БРТК с учетом не идеальности
функционального контроля. Прежде всего это связано с тем, что моменты
обнаружения не фиксируемых отказов с помощью функционального АК являются общими
для всех компонентов БРТК. Другой причиной является то, что во время пребывания
одного из компонентов в состоянии С2 отказ любого другого компонента является
фиксируемым с вероятностью 1, так как в процессе восстановления одного или
нескольких компонентов системы остальные могут использоваться для
диагностических операций или находится в режиме самоконтроля. Этим
обуславливается взаимосвязь процессов отказов и восстановлений отдельных
компонентов, которую необходимо учитывать при построении общего процесса
отказов и восстановлений БРТК.
Если
не фиксируемый отказ компоненты возникает в момент , когда любой из остальных
компонентов системы пребывает в состоянии С1 или С3, то обнаружение его может
осуществиться как с помощью функционального АК, так и при возникновении
фиксируемого отказа в одном из исправных компонентов системы. Математическое
описание всех возможных при этом ситуаций требует скрупулезного анализа
возможных видов неисправностей и их влияния на функционирование элементов
контроля. Для упрощения модели целесообразно принять, что на промежутке времени
пребывания системы в состоянии С3 возникновение нового отказа - событие
практически невозможное.
С
учетом этого упрощения процесс отказов и восстановлений БРТК можно представить
следующим образом. БРТК функционирует в течении случайного промежутка времени,
заканчивающегося отказом j-го из N ее компонентов. Если отказ фиксируется функциональным
АК, то система переходит в состояние восстановления, причем во время поиска и
устранения этого отказа может возникнуть отказ другого компонента, третьего и
т.д., т.е. промежуток времени восстановления системы в общем случае может
содержать несколько промежутков времени восстановления отдельных ее
компонентов.
Если
отказ j-го компонента в конце промежутка времени исправного
функционирования системы оказывается не фиксируемым, то она переходит в
состояние необнаруженного отказа, в котором пребывает до момента его
обнаружения с помощью дополнительных средств. После обнаружения отказа система
переходит в состояние восстановления, аналогичное состоянию восстановления
после фиксируемого отказа.
Описанному
процессу соответствует полумарковский процесс с (2N+1)
состояниями, среди которых 0 - состояние исправности всех N
компонентов БРТК; 
- состояние восстановления после отказа j-го
компонента;
- состояние не обнаруженного отказа, возникшего в j-ой
компоненте. Составим для описания процесса матрицу условных вероятностей
переходов:
. (17)
Чтобы
привести этот процесс к трехмерному полумарковскому процессу, положим
Выведем
формулы для определения Qij(t).
Пусть
процесс отказов и восстановлений j-го компонента, моделью которого является трехмерный
полумарковский процесс, имеет следующие характеристики:
Состояние
БРТК контролируется с периодом Т. Тогда условные вероятности переходов 
можно определить следующим образом:
.
Следовательно
Что
касается функции распределения 
, то
вывод для них аналитических выражений с учетом возможности возникновения серии
отказов в состоянии восстановления вызывает серьезные трудности. Соответственно
затрудняется и вывод выражения для Q21(t). В связи с
этим аппроксимируем распределение времени восстановления на уровне первого
момента.
Учитывая
сделанное ранее предположение о невозможности новых отказов на промежутке
времени пребывания системы в состоянии не обнаруженного отказа, определим M[g] с помощью (16), считая закон распределения g эрланговским второго порядка. Таким образом, будем иметь 
Для
упрощения модели на практике часто пренебрегают возможностью возникновения
новых отказов в системе во время поиска и устранения неисправности одного из ее
компонентов. В этом случае элементы в
матрице (17) определяются как 
и,
следовательно,
Соответственно
(19)
Представляет
интерес оценка погрешности, вносимая таким упрощением. На рис. 19 приведены
результаты вычислений математического ожидания времени восстановления M[g], определяемого по (19), и величины M[g], определяемой по (16).
Сведем теперь построенный трехмерный полумарковский процесс к
альтернирующему процессу восстановления. Для этого положим:
Математическое
ожидание времени пребывания альтернирующего процесса восстановления в состоянии
С1 равно 
Математическое ожидание времени пребывания его в
состоянии С2
В
преобразованиях Лапласа-Стилтьеса
В
этом выражении
В
результате
Выводы
- На основе обзора публикаций рассмотрены современные
разработки в области проектирования отказоустойчивых БРТК с точки зрения
аппаратного обеспечения. Сформулированы основные направления и задачи
исследования.
- Предложена методика "программа-структура" оценки
надежности функционирования БРТК. Произведена оценка вычислительной работы,
основанная на анализе программных характеристик алгоритмов, основанные на
графоаналитическом методе отображения структурных схем выполняемых программ.
- Произведен анализ и синтез надежностной математической модели
" БРТК - встроенный функциональный АК" для идеальной системы.
Получены выражения и закономерности изменения коэффициентов готовности в
стационарном и нестационарном режимах в зависимости от интенсивности
восстановления и времени функционирования.
- Используя методику исследования идеальной модели, построена и
исследована надежностная математическая модель "БРТК - встроенный
функциональный АК" с учетом ошибок первого и второго рода. Получены
функциональные зависимости коэффициентов готовности для стационарного и
нестационарного режимов от интенсивности восстановления и времени
функционирования при различных значениях параметров системы.
- Исследована и проанализирована надежностная модель БРТК со
встроенным функциональным АК в виде трехмерного полумарковского процесса, как
наиболее реально описывающая процесс функционирования системы.
надежностный математический модель
Литература
1. Самойленко А.П. Надежность, эргономика, качество
автоматизированных систем обработки информации и управления. - Таганрог: Изд-во
ТРТУ, 2014. - 176 с.
. Оценка эффективности технических мероприятий по обеспечению
надежности РЭА / А.С. Груничев, А.С. Долгов, В.А. Елисеев и др. - М., 2006.
3. Мозгалевский А.В., Койда А.Н. Вопросы проектирования
систем диагностирования. - Л.: Энергоатомиздат, 1985.