Критерии устойчивости систем автоматического регулирования
МИНОБРНАУКИ
РОССИИ
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего
образования
“Тверской
государственный технический университет”
Лабораторная
работа №2
по
дисциплине: “Теория автоматического управления”
на
тему: “Критерии устойчивости систем автоматического регулирования”
Выполнил: Мякатин И.Д.
Студент гр. УТС 13.01
Тверь
Критерий устойчивости Найквиста
Позволяет судить об устойчивости замкнутой
системы по ЛАЧХ разомкнутой. Замкнутая система является устойчивой, если
годограф АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;j0)
Критерий устойчивости Михайлова
Применим для замкнутых систем. Для того чтобы
система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни действительной и
мнимой части знаменателя замкнутой системы чередовались. Годограф Михайлова
должен проходить последовательно n
квадрантов против часовой стрелки.
Критерий устойчивости Гурвица (Рауса-Гурвица)
Первоначально из коэффициентов ПФ замкнутой
системы составляется матрица главного определителя:
.
По диагонали матрицы от верхнего
левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (1), начиная с 
. Затем каждый столбец матрицы
дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов
увеличивались, а вниз - уменьшались.
Для устойчивости системы необходимо
и достаточно, чтобы при 
все угловые определители (миноры)
были также положительными, т.е.
.
Последний определитель Гурвица, как
видно из приведенной выше матрицы, равен Δn=an*Δn-1. Поэтому его
положительность сводится при
Δn-1>0 к условию
an>0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто
к положительности коэффициентов 
. Если определитель Δn=0, то система
находится на границе устойчивости. Из условия Δn-1=0 можно
определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.
Листинг программы
clearalls t kw
real=(0:0.0001:10);=input('Выберите
звено:
')zveno0=20; %КР неуст=tf([0.2
1],1);=tf(1,[1 1]);=tf(1,[0.05 0.1 1]);=tf(1,[0.1 1]);=tf(1,[0.02
1]);=K*W1*W2*W3*W4*W5;1 %КР уст=2;=tf([0.2
1],1);=tf(1,[1 1]);=tf(1,[0.05 0.1 1]);=tf(1,[0.1 1]);=tf(1,[0.02
1]);=K*W1*W2*W3*W4*W5;('ПФ разомкнутой
системы:
')
[num,den]=tfdata(W,'v');=freqs(num,den,x);=real(Wjw);V=imag(Wjw);(U,V)('АФХ')on
%Корни
харак.
уравнения=real(roots(den));=2;i=1:length(root)root(i)>0=1;root(i)==0=0;count==1('Система
неустойчива')count==2('Система
устойчива')
else('Система на границе устойчивости')
end(W)
grid on
% Годограф Михайлова('ПФ замкнутой системы: ')
W1=feedback(W,1,-1)
[nums,dens]=tfdata(W1,'v');=subs(poly2sym(dens,s),s,1i*w);=real(dens);=imag(dens);=subs(Re,w,x);=subs(Im,w,x);(Re1,Im1,'r')
title('Годограф Михайлова')
grid
on
%Критерий устойчивости Михайлова
Re_roots=roots(sym2poly(Re))_roots=roots(sym2poly(Im))=sort(Re_roots(Re_roots>0));=sort(Im_roots(Im_roots>0));=0;any(abs(imag(Re1))>0)||
any(abs(imag(Im1))>0)=1;=0;b=0;i=1:length(Re1)+length(Im1)rem(i,2)==1=a+1;(i)=Re1(a);b=b+1;(i)=Im1(b);=sort(mass);Smass~=mass=1;
counter==1('Система по
критерию Михайлова неустойчива')('Система по критерию Михайлова устойчива')
%Критерий устойчивости Гурвица
[num1,den1]=tfdata(W1,'v');=length(den1);=diag(den1(2:n));i=1:(n-1)j=1:(n-1)(i~=j)=2*(j-i)+i+1;(num1>=1)
&&
(num1<=n)(i,j)=den1(num1);=true;d=0;i=1:(n-1)(i)=det(matr(1:i,1:i));(d(i)<0)=false;;ust==false
disp('Система
по критерию Гурвица неустойчива')('Система по критерию Гурвица устойчива')
Полученные
результаты
) Контрольная
работа, K=20.
ПФ разомкнутой системы:function:
s + 20
------------------------------------------------------------
.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3
+ 0.284 s^2 + 1.22 s + 1
Система устойчива
ПФ замкнутой системы:function:
s + 20
-------------------------------------------------------------
.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3
+ 0.284 s^2 + 5.22 s + 21_roots =
.3354 + 4.1950i
.3354 - 4.1950i
.3354 + 4.1950i
.3354 - 4.1950i
Im_roots
=
.8487
.8487
.1946
.1946
Система
по критерию Михайлова неустойчива=
.0063
0.2840 21.0000 0 0
.0001
0.0702 5.2200 0 0
0.0063
0.2840 21.0000 0
0.0001
0.0702 5.2200 0
0
0.0063 0.2840 21.0000= 0.0063 0.0004 -0.0001
Система по критерию Гурвица неустойчива
2)
Контрольная работа, К=2.
.4 s + 2
------------------------------------------------------------
.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3
+ 0.284 s^2 + 1.22 s + 1
Система устойчива
ПФ замкнутой системы:
Transfer function:
.4 s + 2
------------------------------------------------------------
.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3
+ 0.284 s^2 + 1.62 s + 3_roots
=
.3088
.1105
.3088
.1105_roots =
.0405
.0405
.8877
.8877
Система по критерию Михайлова устойчива=
.0063 0.2840 3.0000 0 0
.0001 0.0702 1.6200 0 0
0.0063 0.2840 3.0000 0
0.0001 0.0702 1.6200 0
0
0.0063 0.2840 3.0000=
.0063
0.0004 0.0001 0.0000 0.0000
Система по критерию Гурвица устойчива
Список литературы
устойчивость
система автоматический регулирование
1. Марголис,
Б.И. Компьютерные методы анализа и синтеза систем автоматического регулирования
в среде Matlab /
Б.И.Марголис. - Учеб. Пособие для вузов. - Тверь: изд-во ТвГТУ, 2015.-92 с.
2. Бесекерский,
В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А.Бесекерский, Е.П.Попов. -
Москва: издательство “Наука”, 1975.-768 с.