Основы теории горизонтальных астроориентаторов

Основы теории горизонтальных астроориентаторов

Контрольная работа

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ АСТРООРИЕНТАТОРОВ

Содержание

1. Принципы получения информации, необходимой для вычисления координат и курса

. Алгоритмы определения координат и курса по информации о высотах двух звезд

. Анализ погрешностей астроориентатора

Литература

Приложение

1. Принципы получения информации, необходимой для вычисления координат и курса

Горизонтальными астроориентаторами (АО) или астроориентаторами горизонтальной системы координат называют устройства, в которых вычисление координат точки места и курса ЛА осуществляется путем использования информации об измеренных горизонтальных координатах двух светил или величин, функционально связанных с этими координатами.

Поскольку для работы АО необходимо определение горизонтальных координат светил, то первая задача, требующая решения при его построении, сводится к выбору способа получения информации об этих координатах. При решении указанной задачи возможны два основных подхода к построению кинематической части общей схемы астроориентатора.

Первый подход предполагает, что два астросекстанта, каждый из которых следит за соответствующей звездой независимо, устанавливается на платформе построителя горизонта, например, на платформе гировертикали (см. рис.1) или на так называемом повторителе вертикали (см. рис.2). В целях уменьшения габаритов и массы платформы с астросекстантами можно установить один телескоп.

В этом случае с датчиков углов, установленных на осях подвеса астросекстантов, можно получить информацию об углах a₁; b₁ и a₂; b₂, характеризующих положение оптических осей телескопов, относительно трехгранника x₁; y₁; z₁ с ортами i₁, j₁, k₁, связанного с платформой. Если платформа идеально строит плоскость горизонта и оптические оси телескопов совпадают с линиями визирования светил, т.е.

j₁ = r ; q = S₁₁; q₂₂ = S_{22 ,} (1)

где r - орт вертикали, то при этом можно полагать, что

b₁ = h₁; b₂ + h₂ , (2)

где h₁ и h₂ - высоты звезд.

В действительности платформа реализует плоскость горизонта, с некоторыми погрешностями, также с погрешностями происходит и процесс слежения за светилами. В силу этого b₁ = H₁; b₂ = H₂, где H₁ и H₂ - измеренные значения углов высоты светил.

В том случае, когда астросекстанты установлены на платформе, стабилизированной в азимуте, например так, что ось i₁ ориентирована на Север, то при выполнении условий (1) можно считать a₁ = A_C1; a₂ = А_С2, где А_С1 и А_С2 - азимуты первой и второй звезд.

В общем же случае углы a₁ и a₂ есть курсовые углы светил, характеризующие поворот астросекстантов относительно одной из осей платформенного трехгранника. Используя сигналы с датчиков углов b₁,₂, можно вычислить функции sin H₁ и sin H₂, определяющие величины направляющих косинусов между ортами оптических осей телескопов и ортом j₁ = r₁ платформы,

j₁ · q₁₁ = r₁· q₁₁ = sin H₁; j₁ · q₂₂ = r₁· q₂₂ = sin H₂. (3)

Второй подход предусматривает установку двух астросекстантов (или одного, поочередно пеленгующего две звезды) на некоторой базовой плате, смонтированной на корпусе летательного аппарата. В этом случае могут быть измерены углы b₁, a₁ и b₂, которые теперь характеризуют положение оптических осей телескопов относительно трехгранника, жестко связанного с установочной базой. Если принять, что трехгранник осей базы совпадает с осями трехгранника, связанного с ЛА, то углы b_1,2 и a_1,2 определяют положение оптических осей телескопов в осях связанного трехгранника. Информацию об углах, характеризующих положение единичного орта вертикали места в осях трехгранника, связанного с JlA, можно получить с датчиков углов, установленных на осях подвеса построителя вертикали (гировертикали, инерциальной вертикали и т.п.).

Таким образом, в этом случае в осях связанного с ЛА базиса i_C , j_C , k_C могут быть определены три единичных вектора

q₁₁ = i_C cos b₁ cos a₁ + j_C sin b₁ + k_C cos b₁ sin a₁;₂₂ = i_C cos m ₂ cos n₂ + j_C sin m₂ + k_C cos m₂ sin n₂a (4) ₁ = i_C r₁₁ + j_C r₁₂ + k_C r₁₃ ,

где r ₁ - орт построенного направления вертикали.

Проекции вектора r₁ на оси связанного с ЛА трехгранника можно представить так:

r₁₁ = - sin J₂ cos g₂; r₁₂ = cos J₂ cos g₂;

r₁₃ = sin g₂, (5)

где J₂ и g₂ - углы поворота связанного базиса относительно трехгранника построителя вертикали.

Информация об этих углах поступает в виде сигналов с датчиков, установленных на осях подвеса построителя.

Очевидно, что после того, как вычислены направляющие косинусы ортов q₁₁, q ₂₂ и r₁ можно вычислить следующие скалярные произведения:

r × q₁₁ = r₁₁ cos b₁ cos a₁ + r₁₂ sin b₁ + r₁₃ cos b₁ sin a₁ ;× q₁₂ = r₁₁ cos b₂ cos a₂ + r₁₂ sin b₂ + r₁₃ cos b₂ sin a₂ .. (6)

Обозначим r × q₁₁ = sin H₁; r × q₁₂ = sin H₂ и запишем (6) в виде

sin H₁ = r₁₁ cos b₁ cos a₁ + r ₁₂ sin b₁ + r ₁₃ cos b₁ cos a₁ ;H₂ = r₁₁ cos b₂ cos a₂ + r₁₂ sin b₂ + r₁₃ cos b₂ sin a₂ . (7)

B (7) углы H₁ и Я₂ можно рассматривать как вычисленные значения углов высоты первой и второй звезд.

Из сравнения выражений (3) и (7) следует вывод, что, в конечном счете, вне зависимости от того, как установлены астросекстанты: на платформе или «на корпусе» объекта, можно получить информацию о величинах направляющих косинусов между ортами оптических осей телескопов и ортом построенного направления вертикали.

Нетрудно видеть, что при размещении астросекстантов на платформе количество вычислительных операций, необходимых для получения соответствующей информации, будет меньше, чем во втором случае, но кинематика и конструкция платформы будут достаточно сложными.

При размещении секстантов «на корпусе» не возникает дополнительных трудностей, связанных с конструированием построителя вертикали или курсовертикали. Увеличение числа вычислительных операций, имеющее место в этом случае, при наличии БЦВМ не является принципиальным. Однако к следящим системам астросекстантов потребуется предъявить более жесткие требования по быстродействию. Кроме того, в этом случае появляются дополни- тельные источники погрешностей, обусловленные тем, что блок астросекстантов и построитель вертикали (курсовертикаль) устанавливаются в различных точках летательного аппарата. Если объект является абсолютно жестким телом, то дополнительные погрешности могут быть вызваны несовпадением базисов, относительно которых измеряются углы y₂, J₂, g₂ и b_1,2, a_1,2 .

В случае «нежесткого» объекта появляются погрешности, обусловленные тем фактом, что измерение углов y₂, J₂, g₂ и b_1,2, a_1,2 осуществляется относительно базисов, изменяющих взаимную ориентацию, например, за счет изгибных колебаний летательного аппарата.

Таким образом, выбор кинематической схемы построения астроориентатора представляет собой сложную задачу, обоснованное решение которой возможно лишь при учете всех факторов и, прежде всего, должно выполняться на базе анализа точности получения информации, необходимой для последующего вычисления координат и анализа влияния погрешностей в исходной информации на конечный, результат.

. Алгоритмы определения координат и курса по информации о высотах двух звезд

Если путем измерений определены высоты двух звезд или функции этих углов, то, используя эту информацию, можно найти координаты точки, в которой осуществлены измерения. Этот подход, первоначально развитый при астрономических определениях координат точки места на поверхности Земли, был затем использован в морской и воздушной навигации. В своей «классической» форме, используемой в астрономии, метод высот двух светил базируется на измерениях высот и азимутов двух звезд либо высот и разности азимутов звезд.

Поскольку на подвижных объектах определение азимута требует наличия точного измерителя курса, то в литературе [3] рассмотрены алгоритмы, предусматривающие вычисление углов азимута светил. Измерение разности азимутов двух звезд осуществить на подвижном объекте проще, чем измерение самих углов, поскольку для определения этой величины следует измерить только курсовые углы двух звезд.

Однако метод высот двух светил позволяет вычислить координаты точки места вообще без привлечения информации о каких-либо азимутальных координатах светил. Для использования этого метода достаточно располагать значениями углов высот двух звезд, полученных путем измерений, либо значениями sin h₁ и sin h₂.

Обратимся к рассмотрению алгоритмов определения координат точки места ЛА в этом случае. Воспользуемся первым выражением (20) и применительно к двум звездам запишем следующую совокупность равенств:

sin h₁ = sin d₁ sin j + cos d₁ cos j cos (S - a₁);

sin h₂ = sin d₂ sin j + cos d₂ cos j cos (S - a₂). (8)

Если полагать, что путем измерений определены значения функций sin h₁ и sin h₂ для пеленгуемой определенной пары звезд и в силу этого известны их экваториальные координаты d_1,2 и a_1,2, то совокупность равенств (8) можно рассматривать как систему трансцендентных алгебраических уравнений, относительно переменных j и S.

Решая при помощи выбранного итерационного метода в бортовом вычислителе систему (8), можно определить координаты точки, в которой измерены высоты звезд.

Для того чтобы система уравнений вида (8) имела решения, необходимо, чтобы входящие в нее уравнения были линейно независимы. Условие независимости уравнений (8) сводится к выполнению требования

Находя соответствующие частные производные и раскрывая определитель, получаем следующее выражение для якобиана:

W = [cos d₁ sin d₂ sin (S - a₁) - sin d₁ cos d₂ sin (S - a₂) ] cos² j +

+ (1/2) cos d₁ cos d₂ sin (a₂ - a₁) sin 2j

Анализ полученного выражения позволяет выявить некоторые особенности системы уравнений (8). Так, очевидно, что при j = p/2 якобиан равен нулю и уравнения системы несовместны.

Этот математический результат отражает тот факт, что при j = p/2 точка места совпадает с Северным полюсом и понятие звездного времени, а также и долготы места теряет смысл.

Рассмотрим, какой вид принимает якобиан в некоторых случаях полета.

Якобиан системы уравнений (8)равен нулю, если полет происходит в плоскости, определяемой векторами S₁₁; S₂₂, либо в некоторый момент времени траектория полета ЛА пересекает эту плоскость. При этом имеет место равенство азимутов звезд: A₁ = A₂.

Таким образом, помимо особой точки j = p/2 в пространстве имеется и особая плоскость (плоскость, проходящая через векторы S₁₁; S₂₂), в которой нарушается совместность уравнений (8). Этот результат объясняется тем, что при нахождении ЛА в особой плоскости имеет место равенство h₂ = h₁ + r, где r есть постоянный угол между векторами S₁₁; S₂₂ .

При полете в этой плоскости, в принципе, достаточно измерять высоту одной из звезд, так как измерение высоты второй звезды не дает новой информации. По измерению, например, h₁ однозначно определяется положение ЛА в плоскости S₁₁; S₂₂, а положение последней в пространстве (относительно базиса r₁, r₂, r₃) всегда известно.

Поскольку система уравнений (8) нелинейна, то при ее решении можно использовать лишь численные (итерационные) методы. Рассмотрим некоторые численные методы, использование которых возможно в бортовой ЦВМ. Алгоритмы численного решения системы уравнений должны обеспечивать требуемую точность определения координат. При этом количество арифметических операций, осуществляемых в ЦВМ, желательно свести к минимуму. Выполнение последнего требования, в конечном счете, приводит к сокращению продолжительности цикла вычислений и уменьшению погрешностей, вызванных влиянием конечной длины разрядной сетки. В настоящее время разработаны различные численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

Полагаем, что углы склонений d_1,2 и прямых восхождений a_1,2 выбранной для пеленгации пары звезд известны с приемлемой точностью. Примем также, что в результате измерений определены

sin H₁ = sin h₁; sin H₂ = sin h₂

Кроме того, будем считать, что известны приближенные значения координат точки места j_п и S_п = T + l_п.

Знание приближенных значений координат необходимо для того, чтобы процесс итерационного решения можно было бы осуществить и, кроме того, для исключения неоднозначности решения системы (8), поскольку, как нетрудно видеть, эта система может иметь две пары решений: j; S и p - j; p - S.

Информацию о величинах j_п и l_п можно получить от астрономического вычислителя координат или от инерциальной системы. Располагая величинами д₁₎₂, d_1,2, a_1,2, j_п и S_п, в бортовой ЦВМ можно вычислить

sin h_B = sin d₁ sin j_п + cos d₁ cos j_п cos (S_п - a₁);

sin h_2B = sin d₂ sin j_п + cos d₂ cos j_п cos (S_п - a₂)

Представим теперь функции sin h₁ и sin h₂ в виде разложения в ряд в окрестностях точки с координатами j_п, S_п. Ограничиваясь тремя членами ряда, имеем

д sin h₁/ дj = sin d₁ cos j - cos d₁ sin j cos (S - a₁);

д sin h₂/ дj = sin d₂ cos j - cos d₂ sin j cos (S - a₂);

д sin h₁/ дS = - cos d₁ cos j sin (S - a₁); (15)

д sin h₂/ дS = - cos d₂ cos j sin (S - a₂);

и их значения в точке с координатами j_п, S_п всегда могут быть вычислены. Положим, что в вычислителе сформированы следующие разности:

D₁ = sin h_1В - sin h₁, D₂ = sin h_2В - sin h₂. (16)

Выражения (17) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Dj и DS, которые имеют смысл итерационных поправок к приближенным значениям координат.

Уравнения (17) разрешимы, если их якобиан:

не равен нулю. Нетрудно видеть, что свойства якобиана системы (18) аналогичны свойствам якобиана системы (8) и уравнения (17) разрешимы во всех, за исключением отмеченных ранее, случаях.

Решения системы (17) имеют вид

 ;

Используя Dj и DS, определенные по (19), можно найти уточненные значения координат

j_1п = j_п + Dj; S_1п = S _п + DS

Получив по (20) значения координат, итерационную процедуру можно повторить и в результате найти новые значения поправок и еще раз уточнить координаты, полученные после первого итерационного цикла.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия

|D₁| £ a ; |D₂| £ a ,

где a - число, задаваемое из соображений требуемой точности вычисления координат.

Таким образом, на каждом итерационном такте в ЦВМ выполняются следующие операции: вычисляются значения sin h_1B и sin h_2В; находятся D₁ и D₂; определяются значения соответствующих частных производных; вычисляется по формуле значение якобиана системы; определяются по формулам (19) значения Dj и DS; находятся уточненные значения координат места по формулам (20).

Рассмотренная итерационная процедура соответствует использованию при решении системы уравнений (8) так называемого метода Ньютона. Эта процедура несколько упростится, если значения соответствующих частных производных и якобиана системы вычислить лишь один раз на первом итерационном цикле, используя для этой цели значения j_п и S_п. Тогда в последующих итерационных циклах поправки Dj и DS будут вычисляться проще, в частности, в выражениях (19) не потребуется выполнять операции деления. Изложенное изменение процедуры соответствует построению решений системы (8) по так называемому модифицированному методу Ньютона.

. Анализ погрешностей астроориентатора

Перейдем к анализу погрешностей рассматриваемого метода определения координат. Если полагать, что значения функций sin h₁ и sin h₂ определены точно, то путем решения системы уравнений (8), в принципе, можно определить координаты j и S с любой, наперед заданной, точностью. Если же путем измерений получены значения функций sin H₁ и sin H₂, то в БЦВМ будут найдены координаты Ф и L, являющиеся решениями системы

sin H₁ = sin d₁ sin Ф + cos d₁ cos Ф cos (L - a₁);H₂ = sin d₂ sin Ф + cos d₂ cos Ф cos (L - a₂)

при условии, что значения углов склонений и прямых восхождений пеленгуемых звезд известны с приемлемой точностью.

Вычитая из системы уравнений (21) уравнения (8), находим:

D₁ = sin H₁ - sin h₁ = (sin Ф - sin j) sin d₁ + + [cos Ф cos (L - a₁) - cos j cos (S - a₁) ] cos d₁;

D₂ = sin H₂ - sin h₂ = (sin Ф - sin j) sin d₂ + (22)

+ [cos Ф cos (L - a₂) - cos j cos (S - a₂) ] cos d₂ .

Представим найденные из (21) координаты в виде Ф = j + dj; L = S + dS, где dj и dS - погрешности в вычислении координат.

Из (22) с точностью до величин второго порядка малости имеем

D₁ = [sin d₁ cos j - cos d₁ sin j cos (S - a₁) ] dj -

- cos d₁ cos j sin (S - a₁) dS;

D₂ = [sin d₂ cos j - cos d₂ sin j cos (S - a₂) ] dj -

- cos d₂ cos j sin (S - a₂) dS . (23)

Выражения (23) можно рассматривать как систему уравнений относительно переменных dj и dS. Разрешая эту систему, получаем

 , (24)

где W определяется выражением (10).

Совокупность формул (24) позволяет на уровне первого приближения найти погрешности в определении углов j и S, вызванные погрешностями в определении величин sin h₁ и sin h₂.

Получим формулы для определения величин D₁ и D₂. При этом рассмотрим влияние на погрешности в определении значений sin h₁ и sin h₂ таких факторов, как неточное построение вертикали, наличие погрешностей фотоследящих систем и датчиков углов, установленных на осях подвесов телескопов. Положим первоначально, что фотоследящие системы обеспечивают точное слежение и что датчики углов a_1;2 и b_1;2 идеальны, но вертикаль построена с погрешностями.

Будем считать, что отклонение платформы построителя от плоскости горизонта определяется углами J₁ и g₁, а для ортов горизонтного платформенного базиса сохраним обозначения i₁₀, j₁₀, k₁₀. Матрица направляющих косинусов между базисом i₁, j₁, k₁ и построенным платформой базисом i₁₀, j₁₀, k₁₀. доопределяется выражением

 (25)

Поскольку углы J₁ и g₁ характеризуют отклонение плоскости платформы от горизонта, за счет поворота по осям внутренней и наружной рамок подвеса, их можно принять малыми и считать

;  . (26)

Используя (25) и (26), находим:

J = j₁₀ - i₁₀J₁ + k₁₀ g₁, cosJ . (27)

В осях трехгранника i₁₀, j₁₀, k₁₀ при условии, что светила запеленгованы, векторы q₁₁ и q₂₂ представим так:

q ₁₁ = S₁₁ = i₁₀ cos h₁ cos a_1к + j₁₀ sin h₁ + k₁₀ cos h₁ sin a_1к ; ₂₂ = S₂₂ = i₁₀ cos h₂ cos a_2к + j₁₀ sin h₂ + k₁₀ cos h₂ sin a_2к ,

где a_1к, a_2к - курсовые углы звезд в осях платформы построителя при его горизонтальном положении.

Теперь, используя (26) и (27), найдем следующие скалярные произведения:

j₁ · q ₁₁ = sin h₁ - J₁ cos h₁ cos a_1к + g₁ cos J cos h₁ sin a_1к ;₁ · q ₂₂ = sin h₂ - J₁ cos h₂ cos a_2к + g₁ cos J cos h₂ sin a_2к .

В осях трехгранника i₁, j₁, k₁ имеем

j₁ · q ₁₁ = sin b₁; j₁ · q ₂₂ = sin b₂ . (30)

D₁₁ = sin b₁ - sin h₁ = - J₁ cos h₁ cos a_1к + g₁ cos J cos h₁ sin a_1к (31)₂₁ = sin b₂ - sin h₂ = - J₁ cos h₂ cos a_2к + g₁ cos J cos h₂ sin a_2к .

Выражения (31) позволяют найти величины D₁ и D₂, обусловленные погрешностями построителя вертикали.

Получим теперь выражения для величин D₁₂ и D₂₂, характеризующих погрешности в определении функций sin h₁ и sin h₂, вызванные погрешностями фотоследящих систем (ФСС) и датчиков углов. Качественно эта группа погрешностей приводит к тому, что либо от оптической оси соответствующего телескопа не совпадает с линией направления на светило, либо при совпадении этих ортов, сдатчиков углов снимаются сигналы об углах a и b, не соответствующих действительному положению оптической оси.

Представим орты оптических осей телескопов так:

q₁₁ = S₁₁ + Dq₁₁; q₂₂ = S₂₂ + Dq₂₂ , (32)

где векторы q₁₁ и q₂₂ характеризуют погрешности, вызванные погрешностями фотоследящих систем и датчиков углов. Умножая (32) скалярно на /₁₀, находим

j₁ · q₁₁ = sin h₁ + j₁₀ · Dq₁₁ ;

j₁ · q₂₂ = sin h₂ + j₁₀ · Dq₂₂ .

В свою очередь, проекции векторов Dg₁₁ и Dg₁₁ на ось j₁₀ можно представить в виде

j₁₀ · D q₁₁ = Db₁ cos h₁, j₁₀ · D q₂₂ = Db₂ cos h₁ ,

где Db₁,₂ - суммарные углы, обусловленные как погрешностями ФСС, так и погрешностями датчиков углов b₁,₂;

Db₁ = Db₁₁ + Db₁₂; Db₂ = Db₂₁ + Db₂₂,

где Db₁₁; Db₂₁ - погрешности соответствующих фотоследящих систем; Db₁₂; Db₂₂ - погрешности датчиков углов.

Запишем теперь выражения (33) в виде

j₁₀ · q₂₂ = sin h₂ + (Db₂₁ + Db₂₂) cos h₂.

Учитывая, что в алгоритме вычисления координат используется информация о функциях j₁₀ · q₁₁ = sin H₁; j₁₀ · q₂₂ = sin H₂, представим (34) так:

D_1,2 = sin H₁ - sin h₁ = (Db₁₁ + Db₁₂) cos h₁; (35)

D_2,2 = sin H₂ - sin h₂ = (Db₂₁ + Db₂₂) cos h_{2 .}

Выражения (35) позволяют найти величины D₁₂ и D₂₂. Используя полученные формулы, по (24) можно оценить влияние погрешностей построителя вертикали, ФСС и датчиков углов на погрешности определения координат или оценить совокупное влияние этих факторов.

Отметим одно важное обстоятельство, которое следует принимать во внимание при оценке погрешностей по выражениям (24). Поскольку входящие в (24) частные производные и якобиан W зависят от района полета JlA, то и численные значения погрешностей определения координат при постоянных D₁,₂ будут зависеть от координат точки места. В частности, приняв, что D₁ = D₂ = D, из (24) получаем

 . (36)

Подставляя в последние равенства выражения для частных производных и якобиана из (15) и (11) находим, что

(37)

 (38)

Из (38), в частности, следует, что в особой точке системы уравнений (8) при j = p/2 выражение для погрешности dS также имеет точку разрыва. Этот результат отражает тот факт, что в окрестностях особой точки уравнений (8) определение координаты S будет выполняться с существенными погрешностями, а в самой особой·точке определение этой координаты вообще теряет смысл.

Таким образом, можно заключить, что рассматриваемый метод определения координат имеет ограничения на применение, связанные с районами полета JlA. При полетах в окрестностях географических полюсов следует либо отказываться от определения координаты S, либо переходить на определение координат точки места в другой координатной сетке, например ортодромической.

Помимо рассмотренных погрешностей определения координат, вызванных неточным определением величин sin h₁ и sin h₂, на точность их определения повлияют погрешности выбранного численного метода решения системы уравнений (8) и погрешности, вызванные представлением чисел в БЦВМ в разрядной сетке конечной длины. Аналитическое рассмотрение влияния этой группы погрешностей на погрешность определения координат, как правило, выполнить не удается. Оценить влияние указанных факторов можно путем моделирования на универсальной ЭЦВМ. При этом составляется программа решения системы уравнений (8) тем методом, который предполагается использовать в бортовой ЦВМ и решение задачи выполняется при представлении в ЭЦВМ чисел в разрядной сетке различной длины. Влияние такого фактора, как представление в БЦВМ чисел с фиксированной запятой, также может быть учтено программой.

Математическое моделирование на ЭЦВМ позволяет более глубоко и всесторонне выполнить исследование погрешностей определения координат. Так, можно отказаться от использования при оценке погрешности выражений, справедливых лишь в первом приближении, выполнить моделирование с учетом статистических характеристик погрешностей построителя вертикали, фотоследящих систем и т.д.

Вместе с тем формульные соотношения для оценок погрешностей, полученные выше, не теряют своего значения, так как позволяют на этапе предварительного анализа выявить, какие из факторов оказывают наиболее существенное влияние, и тем самым более компактно сформулировать задачу математического моделирования на ЭЦВМ. Кроме того, аналитические формулы могут быть использованы для контроля результатов расчетов на ЭЦВМ.

Рассмотрим возможные алгоритмы определения курса летательного аппарата. Задача в этом случае сводится к вычислению азимута одной из пеленгуемых звезд и к последующему определению курса с использованием сигнала датчика курсового угла этой звезды. Причем, если в случае установки астросекстантов на построителе вертикали сигнал о курсовом угле звезды, определенном в осях платформы построителя, может быть получен непосредственно с соответствующего датчика, то при установке секстантов «на корпусе» JlA сигналы датчиков углов a_1,2 должны быть подвергнуты обработке по определенному алгоритму с целью получения информации о курсовом угле. Таким образом, алгоритм определения курса в общем случае содержит две основные части: алгоритм вычисления азимута и алгоритм вычисления курсового угла.

При вычислении азимута может быть использован алгоритм, рассмотренный в разд. 3 применительно к горизонтальному астрокомпасу

 (39)

Поскольку углы j и S вычислены при решении задачи определения координат, а значение cos h можно вычислить по формуле , то по (39) достаточно определить знаки функций cos А_C и sin A_C и по сочетанию этих знаков отнести угол A_C к определенной четверти. Величина же угла А_C в этой четверти определяется путем вычисления функции

 , (40)

при значениях аргумента от 0 до p/4 либо функции

 , (41)

при аргументе, изменяющемся от p/4 до p/2.

Анализ погрешностей определения угла азимута по алгоритмам (40) и (41) может быть выполнен с использованием формул (81), (82). При этом величины dj dS определяются из выражений (24).

Алгоритм вычисления курсового угла светила при установке астросекстантов на корпусе летательного аппарата строится следующим образом. В осях базиса i_с; j_с; k_c единичный вектор оптической оси секстанта q₁₁ представляется так:

q₁₁ = i_c cos a₁ sin b₁ + i_c sin b₁ + k_c sin a₁ cos b₁.

В осях платформенного базиса i₁; j₁; k₁ тот же вектор можно представить в виде

q₁₁ = i₁ cos a_1к cos H₁ + j₁ sin H₁ + k₁ sin a_1к cos Н₁ ,

где a_1к - курсовой угол светила в осях платформы построителя вертикали.

Матрицу направляющих косинусов между связанным и платформенным базисом представим так:

 ,

где матрицы [J₂] и [g₂] имеют вид

;  ,

J₂, g₂ - углы, информация о которых снимается с датчиков углов платформы.

Имеет место следующее матричное равенство:

 (42)

Используя (42), получаем

 . (43)

Совокупность равенств (43) либо выражение (44) позволяют вычислить курсовой угол светила в осях платформы и могут рассматриваться как алгоритм его вычисления.

Выражения для оценки погрешностей в определении курсового угла, которые, прежде всего, будут зависеть от погрешностей построителя вертикали, получим следующим образом.

Для случая, когда построитель вертикали идеален, (42) можно представить в виде

 , (45)

где h₁ и a_к - значения угла высоты и курсового угла светила, определяемые при отсутствии погрешностей построителя вертикали.

Равенство (42) запишем так:

 . (46)

Вычитая из (46) выражение (45), получаем

 . (47)

В свою очередь,

D q₁₁ = cos H₁ cos a₁ - cos h₁cos a_к;

D q₁₂ = sin H₁ - sin h₁ ; (48)

D q₁₃ = cos H₁ sin a₁ - cos sin a_к .

Теперь из (48) нетрудно получить следующие, справедливые с точностью до величин второго порядка малости относительно D q₁₃, выражения для оценки погрешностей.

sin a₁ - sin a_к = (D q₁₃ - D q₁₂ sin h₁ sin a_к) sec h₁;

cos a₁ - cos a_к = (D q₁₁ + D q₁₂ sin h₁ cos a_к) sec h₁. (49)

В формулах (49) величины Dq определяются по (47) и являются функциями погрешностей построителя вертикали.

Курс летательного аппарата по вычисленным значениям углов азимута и курсового угла светила определяется так:

y = А_C + a_к ,

если используется построитель вертикали, платформа которого не имеет азимутальной оси. Если используется курсовертикаль, например, со свободной в азимуте ориентацией платформы.

y = А_C + a_к + y₂ , (50)

где y₂ - угол поворота платформы относительно корпуса в азимутальной плоскости, информация о котором поступает с датчика угла, установленного на вертикальной оси подвеса платформы.

В том случае, когда в курсовертикали обеспечивается ориентация осей платформы по странам света, должно выполняться равенство

звезда астроориентатор алгоритм координата

А_C + a_к = y₂ . (51)

Если (51) не выполняется, то этот факт можно рассматривать как свидетельство наличия азимутального дрейфа платформы курсовертикали и, сформировав сигнал D y₂ = y₂ - (A_C + a_к), скорректировать ее азимутальную ориентацию.

Литература

1. Коваленко В.В., Лысов А.Н. Малогабаритная инерциальная система. Учебное пособие. 2010.

. Журнал «Новости электроники» КОМПЭЛ., выпуск № 4., 2011 // #"883574.files/image030.gif">

Рис. 1. Схема ДКУС с компенсацией погрешности

Рис. 2. Положение особой плоскости