Решение дифференциальных уравнений высших порядков
Курсовая работа на тему:
"Решение дифференциальных
уравнений высших порядков"
Содержание
Введение
Общие понятия и определения
Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Заключение
Список литературы
Введение
При изучении явлений природы, решении многих задач физики и
техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно
установить прямую зависимость между величинами, описывающие тот или иной
эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между
величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других
(независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные
функции входят под знак производной. Эти уравнения называются
дифференциальными.
Простейшим примером дифференциального уравнения является
уравнение:
где - известная функция, а 
- искомая функции независимого переменного.
Характерное свойство дифференциальных уравнений - иметь
бесконечное множество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение,
нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный
процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая
описывает этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное
состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача не определена.
В различных областях человеческой деятельности возникает большое
число задач, о таких задачах говорят, что они сводятся к дифференциальным
уравнениям. Опыт показывает, что разные по содержанию задачи приводят к
одинаковым или сходным уравнениям. Поэтому необходимо выработать приемы решения
таких классов уравнений для тех задач, которые привели или могут привести к
ним. Этим и занимается математическая наука, называемая теорией дифференциальных
уравнений.
Общие понятия
и определения
Определение:
Дифференциальным уравнением порядка n называется соотношение,
связывающее независимое переменное, его функцию и ее производные до n-го порядка
включительно. Его общий вид:
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно
старшей производной y (n):
где функция 
предполагается быть непрерывной в
некоторой области 
изменения свих аргументов.
Решением уравнения на
интервале 
называется функция 
, удовлетворяющая условиям:
. непрерывно дифференцируема 
раз на I;
2. 
. обращает уравнение в тождество, т.е.
Функция 
или может и не зависеть от некоторых из
аргументов 
но, во всяком случае, уравнение n-го порядка должно содержать производную n-го порядка.
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков
имеют бесконечное количество решений. 
3
Определение:
Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям 
, называется решением задачи Коши.
Задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения называется задача нахождения этого уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям:
где 
, 
- заданные числа.
Теорема Пеано:
Если функция непрерывна в области 
, то для любой точки 
существует единственное решение уравнения
, определенное в некоторой окрестности
точки и удовлетворяющее условиям .
Существование и единственность решения задачи Коши гарантирует
следующая теорема. 4
Теорема Коши-Пикара:
Если функция непрерывна в области и удовлетворяет условию Липшица по
переменным 
, то для любой точки существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности
точки и удовлетворяющее условиям .
Условия теоремы Коши-Пикара выполняются, в частности, если функция
непрерывна на и имеет в окрестности точки 
ограниченные частные производные по .
Пусть - область, в каждой точки которой задача
Коши для уравнения имеет единственное решение. Функция 
, где 
- произвольные постоянные, называется
общим решением уравнения в области , если:
. функция 
имеет непрерывные частные производные по 
до n-го
порядка включительно;
. для любой точки система
единственным образом разрешима относительно 
(*)
. функция 
является решением уравнения при любых
значениях произвольных постоянных 
в равенствах (*), когда точка (
) принадлежит области D.
Если общее решение в области D заданно неявно
соотношением:
дифференциальное уравнение высший порядок
то называется общим интегралом уравнения в области D.
Любое решение, получаемое из при конкретных числовых значениях , называется частным решением уравнения
Аналогично вводится понятие частного интеграла. Если известно
общее решение или общий интеграл , то решить задачу Коши можно следующим
способом: из соотношений и и тех, которые получаются из них (n-1) -
кратным дифференцированием по x с
использованием начальных условий , получаем систему для определения .
Решив эту систему и подставив конкретные значения в или в , получим решение задачи Коши:
,
или частный интеграл 
, с помощью которого неявно задано решение задачи Коши.
Если в равенстве учесть явный вид зависимости от 
, то получим общее решение в так называемой форме Коши: 
Если соотношения и заданы в виде:
то называют общим интегралом в
параметрической форме.
Для уравнения не
разрешенного относительно производной 
, задача Коши ставится аналогично задаче Коши для уравнения
При этом если заданным числам и каждому из значений , определяемых из уравнения:
соответствует только одно решение, то говорят, что задача Коши
имеет единственное решение. 2
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для
уравнения):
Пусть функция F непрерывна
в области G и имеет непрерывные частные производные
по 
. Тогда для любой точки 
такой, что
Пример 1:
Показать, что функция заданная уравнением 
является решением уравнения 
Решение:
Находим 
. Имеем:
Подставим наши вычисления в , и тогда получим:
Следовательно, функция является решением данного уравнения. 5
Пример 2:
Показать что функция , параметрически заданна системой уравнений:
Является решением уравнения:
Решение:
Находим 
. Имеем:
Подставим получившееся результаты в уравнение
Следовательно, функция является решением данного уравнения. 1
Уравнения
высших порядков, приводящиеся к квадратурам
Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка
(1)
имеет решение, разумеется, не следует, что это решение выражается
в квадратурах (например, для уравнений первого порядка такая возможность
представляется далеко не всегда).
Оставляя в стороне линейные уравнения, рассмотрим здесь некоторые,
наиболее важные типы уравнений, интригуемых в квадратурах или по крайней мере
допускающих понижение порядка.
Интегрирование таких уравнений будет происходить путем сведения к
уравнениям низшего порядка. При этом порядки промежуточных уравнений,
называемых промежуточными интегралами, постепенно понижаются, а число входящих
в них произвольных постоянных 
увеличивается.
Интегрирование закончено, когда мы доходим до общего интеграла:
вовсе не содержащего производных и заключающего n произвольных постоянных.
Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения
(1) зависит только от x:
Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательных
квадратур:
Решение с начальными условиями 
может быть записано в виде:
Впрочем, на практике обычно не используют готовую формулу, а
используют начальные условия, находят значения постоянных постепенно в процессе
интегрирования. 2
Примеры:
) 
;
.
) 
. Найти решение, удовлетворяющее условиям:
, 
, 
, 
. Интегрируя, находим первый интеграл:
Пользуясь начальными условиями, определяем 
: 1= - 1+; =2; таким образом,
Интегрируем далее:
Используя начальные условия, находим что 
= - 1; таким образом,
Отсюда, наконец,
И так как в силу начальных условий 
= - 1, получаем искомое частное решение:
.
Рассмотрим теперь уравнения вида:
Применяя подстановку 
, получаем:
.
Интегрируя, находим первый (промежуточный) интеграл:
Предполагая возможным решение этого уравнения относительно 
(в элементарных функциях), получаем:
, или 
;
видим, что получили уравнение типа ; 
квадратур дают общее решение:
. 6
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.
Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго
порядка
приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.
Случай 1: пусть
правая часть дифференциального уравнения явно не содержит x,
т.е. уравнение имеет вид:
и 
Получим дифференциальное уравнения первого порядка:
,
Где роль независимой переменной играет 
. 4
Случай 2: пусть
правая часть дифференциального уравнения явно не содержит , т.е. уравнение имеет вид:
полагая здесь:
и 
получим уравнение первого порядка:
с известной функцией p 4.
Пример 1:
Решить уравнение
Согласно случаю 1 полагаем и 
. Тогда уравнение примет вид:
Отсюда:
. 
, т.е. 
, 2. 
, т.е. 
и 
Потенцируя, будем иметь
и следовательно,
После интегрирования получаем
и значит, что
где и - произвольные постоянные. 2
Пример 2:
Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям 
и 
, при 
.
В уравнении полагаем и 
. Тогда
или 
Полученное уравнение - однородное, поэтому применим 
следовательно,
и 
Подставляя в уравнение , будем иметь
отсюда, 
или 
Интегрируя, получаем
И, следовательно,
т.е. 
. 
.
Для определения постоянной используем начальные условия: 
при . Получаем 
т.е. 
и, таким образом,
Отсюда имеем 
и
Постоянную определяем из начальных условий. Полагая и в формуле , получаем 
т.е. 
. Следовательно, искомое частное решение
есть
. 2
Линейные
однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Структура общего решения. Пусть линейное однородное
дифференциальное уравнение
имеет постоянные коэффициенты p и q.
Будем искать частное решение уравнения в форме 
, где k - постоянное число, подлежащее
определению. Из имеем 
и 
.
Подставляя 
в уравнение , получаем
Или, сокращая на множитель 
, который не равен нулю, находим
Квадратное уравнение , из которого определяется k, называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Заметим, что для написания характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные 
и функцию y заменить на соответствующее степени величины k, рассматривая при этом функцию y как производную нулевого порядка. 1
Определение.
Фундаментальной системой решений линейного однородного
дифференциального уравнения n - го порядка на интервале (a, b) называется всякая
система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение.
Если из функций yi составить определитель n - го порядка
,
то этот определитель называется определителем Вронского.
(Юзеф
Вронский (1776 - 1853) - польский математик и философ - мистик)
Теорема:
Если функции
линейно зависимы, то составленный для них
определитель Вронского равен нулю.
Теорема:
Если функции линейно независимы, то составленный для
них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого
интервала.
Теорема:
Теорема.
Если - фундаментальная система решений на
интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения является линейной комбинацией этих решений.
где Ci - постоянные коэффициенты. 2
Пример:
Решить уравнение 
Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с
помощью подстановки .
Тогда 
Окончательно получаем 
Заключение
Получилось установить связь между функциями и переменными
величинами, т.е. найдены дифференциальные уравнения, в которых неизвестные
функции входят под знак производной.
Установлено характерное свойство дифференциальных уравнений,
в частности то, что они имеют бесконечное множество решений.
Рассмотрели примеры решения дифференциальных задач. И
показали, что их решение сводится к элементарным задачам, т.е. к элементарным
дифференциальным уравнениям.
Список
литературы
1. Я.С.
Бугров, С.М. Никольский "Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление." учебник для вузов - 2010г.
2. Самойленко
А.М., Кривошея С.А., Перестнюк Н. А." Дифференциальные уравнения: примеры
и задачи." учебное пособие - 2009г.
. Школьник
А. Г." Дифференциальные уравнения." учебное пособие - 1963г.
. Демидович
Б. П." Краткий курс высшей математики" учебное пособие 2011г.
. Современные
численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж.
Холла и Дж. Уатта. М.: Мир, 2009.
. Хайрер
Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нежесткие задачи. М.: Мир, 2011.