Аналіз двоїстості та ортогоналізації функції

Вступ

Багато прогнозувальних задач стаціонарних випадкових процесів (див. [2], [7], [10], [14]) еквівалентні пошуку відстані від сталої функції 1 до підпростору в , де S - підмножина цілих чисел , e_k = e^-ikλ, w-невід’ємна інтегрована функція на одиничному крузі T, і  це зважений  простір на T з нормою . Тут µ - це Лебегова міра на Т, причому µ(T) = 1. Записуємо

для відстані. Наприклад,  складається із многочленів , і їх границь в  коли індексна множина S, є пів пряма , тобто

У цьому випадку, загальновідома теорема  стверджує, що для ,

якщо ; в іншому випадку  (див., наприклад, [5, p. 156]). У праці [10] для індексної множини  привернула значну увагу до обчислення  коли індексна множина  є  з обмеженою кількістю доданих та видалених точок . На сьогодні, найбільш відомий загальний результат - це Теорема 2 Ченга та ін., яка стверджує, що, для такого ,  є позитивним лише за умови що Однак, задача обчислення  та функції  в , що його досягає, залишається недосяжною, навіть якщо , за винятком кількох особливих випадків, розглянутих у пункті 2. У цій роботі ми розв’язуємо задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, що могла б пролити світло на труднощі, звичайні для цієї сфери досліджень. Пункт 3 представляє результати для  і містить деякі відкриті питання щодо загального .

1. Теоретичні відомості

.1 Стаціонарні послідовності

Нехай  - ймовірнісний простір і  - деяка послідовність випадкових величин. Позначимо через  послідовність

Означення 1

Випадкова послідовність  називається стаціонарною (у вузькому сенсі), якщо для любого  розподіли ймовірностей  співпадають:

Означення 2

Послідовність комплексних випадкових величин  з , , називається стаціонарною (в широкому сенсі), якщо для всіх

Позначимо

І припускаючи, що

Функцію  будемо називати коваріаційною функцією, а  - кореляційною функцією стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності .

.2 Спектральний розклад кореляційної функції

Нехай

де  - ортогональні  випадкові величини з нульовими середніми і . Якщо покласти, що , то ряд  сходиться в середньоквадратичному сенсі і

Введемо функцію

Тоді коваріаційна функція  може бути записана у вигляді інтеграла Лебега-Стілт’єса

Теорема (Герглотц)

Нехай  - коваріаційна функція стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності з нульовим середнім. Тоді на  знайдеться така скінченна міра ,

, що для любого

кореляційний екстраполяція ортогоналізація спектральний

де інтеграл  розуміється як інтеграл Лебега-Стілт’єса по множині .

.3 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей

Теорема 1

Існує така ортогональні стохастична міра , що для кожного  (-м.н.)

При цьому .

Теорема 2

Якщо , то знайдеться така функція , що (-м.н.)

1.4 Регулярні послідовності

Введемо позначення. Нехай  та  - замкнені лінійні многовиди, породжені величинами  і  відповідно. Нехай також

Означення

Стаціонарна послідовністьназивається регулярною, якщо

і сингулярною, якщо

Теорема

Кожна стаціонарна в широкому сенсі випадкова послідовність  допускає єдиний розклад

де  - регулярна, а  - сингулярна послідовності. При цьому  і  ортогональні (.

Означення

Клас Харді  - це клас аналітичних функцій  у відкритому одиничному колі  на комплексній площин, які задовольняють умову

Теорема (Колмагоров)

Нехай  - не вироджена регулярна стаціонарна послідовність. Тоді існує спектральна щільність така, що

А саме,  (майже скрізь по мірі Лебега).

І навпаки, якщо  - деяка стаціонарна послідовність, що має спектральну щільність, яка задовольняє умову (1), то ця послідовність є регулярною.

.5 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація

Екстраполяція

Розглянемо частковий випадок, коли спектральна щільність задається у вигляді

де функція  має радіус збіжності  і не має нулів в радіусі

Нехай

- спектральне представлення послідовності .

Теорема 1. Якщо спектральна щільність послідовності  може бути представлена у вигляді (1), то оптимальна (лінійна) оцінка  величини  по  задається формулою

Інтерполяція

Найпростішою задачею інтерполяції є задача побудови оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки по результатам спостережень  «пропущеного» значення .

Позначимо через  - замкнений лінійний многовид, породжений величинами . Тоді кожна випадкова величина  може бути представлена у вигляді

де  належить  замкненому лінійному многовиду, породженому функціями  і оцінка

буде оптимальною тоді і тільки тоді, коли

Із властивостей «перпендикулярів» в гільбертовому просторі  випливає, що функція  повністю визначається двома умовами:

1)      

2)      

Теорема 2 (Колмагоров)

Нехай  - регулярна послідовність з

І похибка інтерполяції  задається формулою

Фільтрація.

Задача фільтрації полягає в побудові оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки  величини  по тім чи іншим спостереженням послідовності

Оскільки , то знайдеться така функція , що

Оптимальна функція :

1)       ,

2)       .

Отриманий розв’язок (4) можна використати для побудови оптимальної оцінки  величини  по результатам спостережень , де  - деяке задане число з .

.6 Двоїстість та ортогоналізація

Надалі ми припускаємо, що  такий, що  для деякої функції 𝜑 з класу Харді . Нехай  і  це коефіцієнти в наступних розкладах:

Явний вигляд для  і  в термінах коефіцієнтів ряду Фур’є для  можна знайти в [11] та [12].

Для набору індексів , котрі відповідають видаленню перших n частот з , відомо, що

(див. [7], [11], [2]). Це так званий  - й крок прогнозу дисперсії. Для множини індексів  котрий дорівнює приєднанню наступних  частот до  в [10] показано, що

якщо . Дуже цікавий обернений зв'язок між співвідношеннями (2.2) і (2.3), а також потреба в нетривіальній умові  пояснюється встановленням двоїстості між  та  як Банахових просторів (див. [9], [2]). Відмітимо, що доповнення  із  в  еквівалентно півосі , де . Отже, загальна і більш складна проблема прогнозування на основі  в  була зведена до звичайної проблеми прогнозування в . В цілому, для будь-якого набору індексів  із скінченним числом точок із  добавлених чи відібраних, нехай  буде доповненням  до , і для фіксованого , визначимо  та  наступною рівністю:

відповідно. Тоді той же аргумент двоїстості показує, що

якщо . Хоча останнє нетривіальне обмеження може бути послаблене [2], до , але величина , можливо, не буде чітко визначена. На щастя, для набору  ця складність була усунута в [2, Теорема 3], використовуючи іншу задачу екстремальної двоїстості в [3], пов’язану з проекцією  на простір Харді . Тим не менш, для загального , визначення правої частини рівності (2.4) залишається відкритим питанням. В ідеалі хотілося б застосувати (2.4), коли одна проблема простіша, ніж інша, однак (2.4) не має сенсу, коли проблеми прогнозування, що відповідають  та  мають однакову складність або ж навіть ідентичні. У попередньому випадку, підходяща ортогоналізація у поєднанні з (2.4), здається, забезпечує гарний метод для розв’язку деяких проблем прогнозування. Наприклад, для  доповнення еквівалентно , що відповідає вилученню і приєднанню одного спостереження в  відповідно. Жодна з проблем не є тривіальною, але останнє здається простіше. В [2, теореми 5, 6] метод ортогоналізації використовується для обчислення . Тоді співвідношення двоїстості (2.4) використовується для визначення , що дає:

В цьому пункті ми обчислюємо  для більш загального набору індексів  з  і , тобто

Цей набір індексів має властивості як  так і . Насправді, він зводиться до , коли , в той час як його доповнення  в  має той же вигляд, як і , так, що відношення двоїстості (2.4) не має сенсу. Тут також показано, що метод ортогоналізації, головним кроком якого є визначення проекції  з  на підпростір , може бути використаний для вирішення проблеми. Щоби встановити значення, позначимо ортогональну проекцію  на підпростір . Оскільки  ортогональні до , то підпростори  і  можна записати у вигляді наступних ортогональних сум:

Таким чином, обчислення , його проекції та норми являється першочерговим. Наступна тотожність, яка являє собою узагальнення [2, теорема 6], представляє окремий інтерес. Власне, цікавий її зв’язок з , де  (з , де ):

(2.7)

Де  i

Константа  насправді являється коефіцієнтом  у формальному розкладі в ряд -го кроку прогнозу . [16]). Наостанок, бажана відстань:

На відміну від (2.2), (2.3) і (2.5), де відстань залежить або ж лише від  або лише від , у випадку (2.7) і (2.9) одночасно залежить від обох. Явні вирази цих відстаней забезпечують корисні інструменти для оцінки впливу додавання (вилучення) вектора на зниження (підвищення) таких відстаней. А саме, як слідує з (2.7), видалення  із  не буде збільшувати відстань від  з  якщо  рівне нулю. Аналогічно з (2.9), додавання  до  не зменшить  якщо . Ці факти швидше за все мають цікаву інтерпретацію результатів у статистиці (див. [16], [14]). Було б корисно привести кілька конкретних прикладів оціночних функцій  або ж стаціонарних процесів, які відображають ці феномени.

.7 Результати і доведення для

В цьому розділі для комплексно значної матриці , ми писатимемо  для матриць  відповідно. Використовуючи зовнішню функцію , ми визначаємо , де  це повний ортонормований базис  такий, що

Ми виражаємо різні проекції в термінах .

Теорема 3.1

Покладемо w - невід’ємна інтегрована функція з . Тоді матимемо наступне:

Задовольняє умову (3.3) нижче.

Для , Теорема 3.1. дає явний вигляд . Він необхідний для проектування  на . В силу (2.6), ми також маємо спроектувати  на одновимірний підпростір  або ж визначити коефіцієнт

де внутрішнім оператором Віповідні результати наведені в наступній теоремі.

Теорема 3.2

Покладемо w - невід’ємна інтегрована функція з . Тоді мають місце наступні твердження:

Нехай . Для визначення проекції на  - мірного проміжку записів , матриці і  - вектор  необхідні наступні компоненти:

Ми визначимо  - мірний вектор  і  - мірну нижню трикутну матрицю :

наступне представлення  має місце:

де Звідси ми отримуємо

де визначено і зсунуто вектор  вице. В цих позначеннях, нормальне рівняння для  в теоремі 3.1 (1) буде

Крім того, ми визначимо . Тоді в силу (2.1), (2.8) і (2,10),

Оскільки матриця А має ранг один збурення , вона може бути легко інверсована за допомогою оберненої  і співвідношення між  і  описаним в (2.1). Обернена матриця матриці А і інші відповідні результати наведені в наступній лемі.

Лема 3.3

Доведення леми є простим, тому ми його опустимо.

Доведення теореми 3.1.

Виходячи з (3.3) ми вже вище довели (1). Використовуючи представлення в (3.2) і визначення ми маємо

Твердження (2) слідує з леми (3.3) (5), (6). нарешті, ми отримуємо (3) з (2).

Доведення теореми 3.2.

Використовуючи теорему 3.1 (2) і останню тотожність в (2.1), ми отримаємо

Звідси отримуємо (1). З (2.6) і (3.1),

Тоді (2) випливає з теореми (3.1), і (3) виводиться застосуванням теореми (3.1) (2).

Ця тотожність необхідна для доведення (4). Так

Котре, в силу (3.1) дає

Таким чином

Тепер,  З іншої сторони, з (1) ми маємо:

Таким чином, ми отримуємо (4), бажану формулу відстані (2.9).

Звичайно, це являє собою великий інтерес для обчислення Для і=0 - й крок проблема прогнозування була вирішена в [1], [10] з додатковою гіпотезою, що

Для всіх , де коефіцієнти  визначаються наступним чином:

Використовуючи цей результат і співвідношення двоїстості (2.4),  знаходиться в [2]. Здається, цілком імовірно, що одномірний метод ортогоналізації який використовується в [2, теорема 5], може бути продовжений до , а потім за допомогою відношення двоїстості (2.4), можна також обчислити . Вздовж цього розширення набору індексів  може знадобитися припущення про місце нулів  впродовж кількох n, що піднімає питання про існування нетривіальних вагових функцій , які задовольняють ці умови.

2. Основні результати

.1 Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію

Приклад 1

Розглянемо спектральну щільність виду

Маємо . Звідси можемо одразу визначити коефіцієнти :

Для визначення коефіцієнтів  розглянемо розклад виду

 тобто перепишемо нашу щільність

Подамо у вигляді суми геометричної прогресії , звівши до відповідного вигляду отримаємо

Підставимо у праву частину рівності замість

Тепер легко можна записати коефіцієнти

Перевіримо виконання умов

Тепер знайдемо стандартне відхилення для набору індексів

Для множини

Стандартне відхилення для набору  матиме вигляд

Приклад 2

Розглянемо тепер щільність виду, а саме

Проведемо ту ж саму процедуру визначення коефіцієнтів  і ::

:

Перевіримо виконання умов

Стандартні відхилення у цьому випадку будуть

Висновок

В даній роботі були розглянуті основні проблеми та гіпотези задач прогнозу стаціонарних випадкових послідовностей (у широкому сенсі), спектральний розклад кореляційної функції та спектральне представлення стаціонарних регулярних послідовностей і. У роботі досліджено задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, яка проливає світло на труднощі при обчисленні  для , розглянуто два приклади застосувань теорії для гіпотез про двоїстість та ортогонлізацію, а саме дві спектральні щільності з прямим та оберненим способом відшукання коефіцієнтів ряду Фур’є, знайдено вирази для знаходження коефіцієнтів  та , перевірено виконання умов регулярності, знайдено значення величин стандартних відхилень для наборів індексів .

Література

1. S. Cambanis and A.R. Soltani, Prediction of stable processes: Spectral and moving average representations, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 66 (1984), 593-612. MR0753815 (86g:60054)

. R. Cheng, A.G. Miamee and M. Pourahmadi, Some extremal problems in , Proc. Amer. Math. Soc.126 (1998), 2333-2340. MR1443377 (98j:42003)

. P.L. Duren, Theory of  Spaces, Academic Press, New York, 1970. MR0268655 (42:3552)

. M. Frank and L. Klotz, A duality method in prediction theory of multivariate stationary sequences, Math. Nachr.244 (2002), 64-77. MR1928917 (2003m:60105)

. T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969. MR0410387 (53:14137)

6. L. Klotz and M. Riedel, Some remarks on duality of stationary sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 225-228. MR1899439 (2003b:60050)

. A.N. Kolmogorov, Stationary sequences in a Hilbert space, Bull. Moscow State University 2 (1941), 1-40.

. A.G. Miamee, On basicity of exponentials in  and general prediction problems, Period. Math. Hungar. 26 (1993), 115-124. MR1230571 (94k:60066)

. A.G. Miamee and M. Pourahmadi, Best approximation in  and prediction problems of Szego, Kolmogorov, Yaglom and Nakazi, J. London Math. Soc. 38 (1988), 133-145. MR0949088 (90g:60042)

. T. Nakazi, Two problems in prediction theory, Studia Math. 78 (1984), 7-14. MR0766702 (86i:60122)

. T. Nakazi and K. Takahashi, Predictionnunits of time ahead, Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 658-659. MR0587949 (82b:60041)

. M. Pourahmadi, Taylor expansi on  and some applications, Amer. Math. Monthly 91 (1984), 303-307. MR0740245 (85e:30003)

. M. Pourahmadi, Two prediction problems and extensions of a theorem of Szego, Bull. Iranian Math. Soc.19 (1993), 1-12. MR1289507 (95j:60061)

. M. Pourahmadi, Foundations of Prediction Theory and Time Series Analysis, John Wiley, New York, 2001. MR1849562 (2002f:62090)

. K. Urbanik, A duality principle for stationary random sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 153-162. MR1808671 (2001j:60072)

. N. Wiener and P.R. Masani, The prediction theory of multivariate stationary processes.II, Act. Math. 99 (1958), 93-137. MR0097859 (20:4325)

. А.Н. Ширяев, Вероятность, Москва «наука», главная редакция физико-математической литературы - 1989