Бифуркационная динамика систем
Лабораторная работа
Бифуркационная динамика систем
Ход работы:
. Пусть на изолированном
острове летом выводятся насекомые численностью Хi, которые откладывают яйца и умирают. Из яиц на следующий год
выводятся новые насекомые численностью Хi +1. Очевидно, численность потомства Хi +1 должна зависеть от численности родительского поколения Хi и от каких-то дополнительных факторов. Эта зависимость учитывается
уравнением:
Хi +1 = (N - Хi
),
Где >
0 - некоторый параметр (т.е. постоянная в условиях рассмотрения величина), N - максимально возможная численность популяции.
Для унификации уравнения
численность популяции нормируют по отношению к предельной величине, что
математически оформляется делением обеих частей равенства на N2:
Хi +1*
= *
Хi*(1 - Хi*),
Где Хi* = Хi/N Хi
+1*= Хi
+1/ N
*=
N
2. Пусть и . Тогда
. Зададим в
заданных пределах и рассчитаем и
занесем в таблицу результаты.
λ=0,4 X0=0,5
x0
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
0,1
|
0,036
|
0,013882
|
0,005476
|
0,002178
|
0,000869
|
0,000347
|
0,000139
|
Анализ табличных результатов
показывает, что популяция сокращается.
. Зададим значение λ большее в интервале .
λ=2
x0
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
0,5
|
0,5
|
0,5
|
0,5
|
0,5
|
0,5
|
0,5
|
0,5
|
Как видно, в данном случае популяция
не возрастает, а стремится по численности к некоторому предельному значению . Этот предел для каждого λ может быть рассчитан аналитическим путем решения уравнения
.
Уравнение имеет два решения:
.
Первое решение реализуется (т.е.
существует устойчиво) при малых , а
второе для, т.к.
условиям задачи по должно быть .
. Зададим λ еще большее значение .
λ=3,5
x0
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x6
|
x7
|
x8
|
0,5
|
0,75
|
0,382813
|
0,826935
|
0,500898
|
0,874997
|
0,38282
|
0,826941
|
0,500884
|
В этом случае динамика численности
популяции заметно усложняется: возникают два ее предельных (стационарных)
значения, причем сама численность колеблется, попеременно приближаясь то к
одному, то к другому пределу.
. Построим график зависимости
стационарных состояний численности от параметра скорости роста (.
популяция особь бифуркационный
Второе критическое
значение 2
= 3.4 соответствует раздвоению каждой из ветвей решения, т.е.
стационарных значений становится не два, а четыре.
Контрольные вопросы.
1. N-максимальная численность, которой может достичь популяция.
Численность популяции на конкретной территории не может увеличиваться
бесконечно, так как на всех особей не хватит пропитания. Как только численность
популяции начнет приближаться к N, между особями начнется конкуренция за территорию, борьба за
выживание. Путем естественного отбора некоторые особи погибнут, и численность
популяции уменьшится и будет меньше N.
. При динамика популяции будет нулевой. Такая популяция существовать не
будет.