Цифровой режекторный фильтр

Амплитудно-частотная характеристика фильтра

Произвести расчет разрядности коэффициентов фильтра

Календарный план

Введение

Цифровой фильтр - в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства не дискретны, соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.Цифровые фильтры на сегодняшний день применяются практически везде, где требуется обработка сигналов, в частности в спектральном анализе, обработке изображений, обработке видео, обработке речи и звука и многих других приложениях.

Необходимо построить цифровой режекторныйфильтр. Параметры фильтра: граничные частоты полосы пропускания 0…2.05MГц, 2.75…4MГц, граничные частоты полосы задержания 2.05…2.75 МГц, неравномерность в полосе пропускания 3 дБ, отклонение от единицы в полосе задержания -38 дБ, АЧХ в полосе пропускания произвольная, ФЧХ линейная.

Так как по заданию ФЧХ должна быть линейной - линейной ФЧХ обладают КИХ фильтры.

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finiteimpulseresponse - конечная импульсная характеристика) - один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа.

1.       Анализ технического задания и выбор метода синтеза фильтра

Согласно техническому заданию и проанализировав исходные данные можно сделать вывод, что требуется синтезироватьрежекторный фильтр, для расчета и синтеза устройства воспользуемся методом окон. Самым оптимальным метод окна является окно Кайзера, так как имеет наименьший порядок и более точно соблюдает поставленные требования к фильтру. Для моделирования использовался пакет Matlab. Для проверки правильности расчетов, пропустим через фильтр сигналы и убедимся в их фильтрации.

Структурная схема КИХ - фильтра

Разностное уравнение цифровых фильтров записывается в виде:

гдеy(k) - отсчеты на выходе фильтра, x(k) - входные отсчеты, b_m и a_m - коэффициенты числителя и знаменателя передаточной характеристики фильтра соответственно.

Разностное уравнение КИХ фильтра не содержит рекурсивной части:

Данное выражение получается при а₀ = 1 и а_m = 0, при m> 0.

Структурная схема управляемого нерекурсивного КИХ-фильтра показана на рисунке 1.

2.     Моделирование фильтра

Выберем частоту дискретизации исходя из условия

(3)

f_д=f_max·2= 8 МГц

Вычислим нормированные частоты по формуле:

(4)

Период дискретизации вычисляется по формуле:

(5)

T = 15,1нс

φ(ŵ)=-=-πR(6)

гдеRпорядок фильтра.

ИХ для данного фильтра симметричная и рассчитывается по формулам, обязательным параметром которых является частота разрыва (отсечки):

Для вычисления импульсной характеристики фильтра найдем частоты разрыва:

 (7)

 (8)

Импульсная характеристика идеального РФ при усечении до N членов выражается следующей формулой:

 (9)

(10)

гдеинормированные частоты среза.

Получим идеальную импульсную характеристику режекторного фильтра. Идеальная ИХ РФпри R=101 изображена на рис. 2.

Рисунок 2 - ИХ Идеального режекторного фильтра, при усечении до 101 отчета.

Порядок фильтра R=101 выбран произвольно, он наиболее подходит для демонстрации ИХ. В дальнейшем порядок изменится.

Задача расчета хороших окон фактически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций, преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т. е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот. При решении этой задачи в замкнутой форме для непрерывных функций времени был введен класс так называемых вытянутых сфероидальных волновых функций. Эти функции имеют достаточно сложный вид. Поэтому Кайзер в качестве наилучшего окна предложил относительно простую аппроксимацию этих функций. Эта аппроксимация, названная окном Кайзера, записывается в виде

 (11)

где  - константа, определяющая компромисс между максимальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка (или долей общей энергии в главном лепестке) частотной характеристики окна, a  - функция Бесселя нулевого порядка. Как именно величина  оказывает влияние на этот компромисс, будет проиллюстрировано ниже с помощью табл.1.

Частотная характеристика дискретного окна Кайзера в замкнутой форме не получена, но Кайзер показал, что для непрерывной функции окна частотная характеристика пропорциональна

 (12)

где величина  приблизительно равна ширине главного лепестка частотной характеристики. Поскольку нельзя найти аналитического выражения для частотной характеристики окна Кайзера, для иллюстрации его свойств будут использованы графики частотной характеристики.

Таблица 1

Окно Кайзера является по существу оптимальным окном в том смысле, что оно представляет последовательность конечной длины, которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты. Еще одним оптимальным окном является окно Дольфа-Чебышева, обеспечивающее минимальную ширину главного лепестка частотной характеристики при фиксированном уровне боковых лепестков. Все боковые лепестки в спектре этого окна имеют одинаковый уровень. Однако, как уже говорилось, ни одно из этих окон не позволяет получить оптимальную в минимаксном смысле аппроксимацию произвольной идеальной частотной характеристики, поскольку в действительности характеристика фильтра является результатом свертки частотных характеристик окна и идеального фильтра. Таким образом, несмотря на наличие оптимальных окон, оптимальных фильтров, которые рассчитывались бы с их помощью, не существует.

Выберем из табл.1 коэффициент β равным 3,384 окна который теоритически удовлетворяет требованиям ТЗ.

Вычислим порядок фильтра:

N =D/∆F (13)

где∆F ширина переходной полосы в номированных частотах.

∆F=) (14)

Рассчитаем ∆F=(2,1-2)/8=(2,7-2,8)/8=0,0125 и N=2,23/0,0125=178,4 округлив до ближайшего нечетного целого получим минимальный порядок фильтра 179.

Покажем окно Кайзера 179 порядка:

Рисунок 3 - Окно Кайзера

Рисунок 4 -ИХ без применения окна.

Рисунок 5 - АЧХ в реальном масштабе, АЧХ в логарифмическом, ФЧХ

ИХ без применения окна.

Выполнив перемножение ИХ и окна Кайзера получим нужную нам ИХ фильтра.

 (15)

Рисунок 6 - ИХ с применением окна.

Рисунок 7 - АЧХ в реальном масштабе, АЧХ в логарифмическом, ФЧХ

ИХ c применением окна.

Как видно полученный результат удовлетворяет требования ТЗ, неравномерность в области задержания меньше чем -38 дБ, неравномерность в области пропускания меньше 3 дБ.

3.     Расчет коэффициентов фильтра

Так как для КИХ фильтра справедливо (2) то b_n=h_n.

4. Реакция на типовые воздействия

Единичныйимпульс

В качестве входного сигнала используем единичный импульс.Для получения результата воспользуемся сверткой сигнала с импульсной характеристикой фильтра. ВсредеMATLABвоспользуемся функцией conv().

=conv(h,u0)

гдеy-- массив значений реакции фильра

h -массив коэффициентов bфильтра

u0- единичный импульс.

Данный единичный импульс и реакция на него, т.е. импульсная характеристика (ИХ) изображены на рисунке 7.

Рисунок 8 - Изображение единичного импульса и ИХ фильтра

Прямоугольный импульс

На рисунке 8изображен прямоугольный импульс и реакция на него.

Рисунок 9- Графическое изображение воздействия и реакции на прямоугольный импульс

режекторный фильтр сигнал

Сумма трех гармоник

Пропустим через фильтр сигнал, состоящий из суммы 3 гармоник на частотах 0.2 ,0.3 и 0.4 кГц.Следует ожидать, что на выходе фильтра мы получим сигнал с частотой 0.2 и 0.4, так как оставшаяся гармоника попала на провал в АЧХ.

На рисунке 10 изображены спектры сигнала до прохождения через фильтр и после его прохождения. Видно составляющая с частотой 35 кГц подавляется, что и следовало ожидать

Рисунок 10 - Спектры сигнала на входе и на выходе фильтра

Выводы

В ходе семестровой работы был рассчитан цифровой режекторный фильтр с заданной АЧХ. Был выбран метод взвешивания окном Кайзера, определены коэффициенты фильтра, выбрана оптимальная разрядность коэффициентов фильтра. Также были построены графика АЧХ и ФЧХ и реакции фильтра на типовые воздействия (единичный импульс, прямоугольный импульс, сумма 3 гармоник).

Библиографический список

1.       Айфичер Э. С., Джервис Б. У. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание. : Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 992 с.

.        Гольденберг Л. М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учеб. пособие для вузов/ Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк. - 2-е изд. перераб. и доп.─ М.: Радио и связь, 1990.─ 256 с.: ил.

Приложение.Текст программы

clc;;

%ПАРАМЕТРЫ ПО ЗАДАНИЮ=2*10^6;=2.1*10^6;=2.7*10^6;=2.8*10^6;=4*10^6;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%=178;%порядок фильтра -1=-R/2:1:R/2;=0:1:R;

%НОРМИРОВАНИЕ=2*fmax;n=f1/fd;n=f2/fd;n=f3/fd;n=f4/fd;

%ЧАСТОТЫ СРЕЗА=(f1n+f2n)/2;=(f3n+f4n)/2;

%ФОРМУЛА ИХ Рф=(sin(2*pi*fc1.*n)-sin(2*pi*fc2.*n))./(pi.*n);

h(R/2+1)=1+2*(fc1-fc2);

% ВЫВОД ИХ

figure; (x,h,'LineWidth',2);grid on;

title('ИХ Фильтра без окна');

xlabel('N');('A');;

figure; % Вывод АЧХ ФЧХ ИХ БЕЗ ОКНА

[H,w]=freqz(h,1,'whole');(3,1,1);=w/(2*pi);(fn,abs(H)); %ГрафикАЧХ

xlim([0 0.5]) %ограничение частоты для построения графика('АЧХ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда');(gca,'minor') %отображение сетки(3,1,2);(fn,20*log10(abs(H))); %График АЧХ в дБ([0 0.5]); %ограничение частоты для построения графика('АЧХ в дБ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда, дБ');(gca,'minor'); %отображение сетки(3,1,3);(fn,angle(H)); %График АЧХ в дБ([0 0.5]) %ограничение частоты для построения графика('АЧХ в дБ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда, дБ');(gca,'minor') %отображение сетки=3.384; %Параметр окна Кайзера=kaiser(R+1,b); %Задаем окно Кайзера=Wkz.';

%Построим окно Кайзера.

figure; (x,Wkz); % окноКайзерадляРФ;

title('Окно Кайзера');

%ПЕРЕМНОЖАЕМ ИХ И ОКНО=Wkz.*h;

% ВЫВОД ИХ C ПРИМЕНЕНИЕМ ОКНА

figure; (x,h1,'LineWidth',2);grid on;

title('ИХ с применением окна');

xlabel('N');('A');;

figure; % Вывод АЧХ ФЧХ ИХ С ОКНОМ

[H,w]=freqz(h1,1,'whole');(3,1,1)=w/(2*pi);(fn,abs(H)); %ГрафикАЧХ

xlim([0 0.5]) %ограничение частоты для построения графика('АЧХ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда');(gca,'minor') %отображение сетки(3,1,2)(fn,20*log10(abs(H))); %График АЧХ в дБ([0 0.5]) %ограничение частоты для построения графика('АЧХ в дБ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда, дБ');(gca,'minor') %отображение сетки(3,1,3)(fn,angle(H)); %График АЧХ в дБ([0 0.5]) %ограничение частоты для построения графика('АЧХ в дБ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда, дБ');(gca,'minor') %отображение сетки

% Реакция на типовые воздействия=100;i=0:1:Nt-1; % единичный импульс

ifi<=0;(i+1)=1;(i+1)=0;=0:1:length(U0)-1;;(2,1,1)(n,U0);('Единичный импульс');('N отчета'); ylabel('Значение');;=conv(h1,U0);=0:1:length(y)-1;(2,1,2)(n,y);('Реакция');('N отчета'); ylabel('Значение');;=0:1:Nt-1; % Прямоугольныйимпульсi<=50;(i+1)=1;(i+1)=0;=0:1:length(U1)-1;;(2,1,1)(n,U1);('Прямоугольный импульс');('N отчета'); ylabel('Значение');;=conv(h1,U1);=0:1:length(y)-1;(2,1,2)(n,y);('Реакция');('N отчета'); ylabel('Значение');;=0:1:100;=sin(2*pi*0.2*n)+sin(2*pi*0.3*n)+sin(2*pi*0.4*n);=conv(h1,U);;

[H,w]=freqz(U,1,'whole');(2,1,1)=w/(2*pi);(fn,abs(H)); %ГрафикАЧХ

xlim([0 0.5]) %ограничение частоты для построения графика('АЧХ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда');

gridon;(2,1,2)

[H,w]=freqz(y,1,'whole');=w/(2*pi);(fn,abs(H));

xlim([0 0.5]) %ограничение частоты для построения графика('АЧХ');('Нормированная частота'); ylabel('Амплитуда,');;