Специальные дискретные случайные процессы
Специальные дискретные случайные
процессы
Содержание
1. Системная
функция и импульсная характеристика
2. Авторегрессионный
процесс
. Корреляционная
функция и корреляционная матрица
. Авторегрессионный
скользящего среднего процесс (АРСС)
. Процесс
скользящего среднего (СС-процесс)
. Линейное
предсказание
. Литература
1.
Системная функция и импульсная характеристика
Рассмотрим дискретные случайные процессы и системы. Пусть системная
функция H(z) имеет вид
где
p<q.
Полагая
корни zk уравнения A(z) = 0 простыми,
получим разложение
,
где
вычет
Импульсная
характеристика системы принимает вид
При
наличии белого шума с единичной дисперсией на входе системы корреляционная
функция отклика R[m] может быть выражена через систему - корреляционную
функцию Rh [m]
Спектральную
плотность мощности S(w) дискретной системы можно
разложить
,
где
,
С
учетом свойства четности корреляционную функцию можно записать как
Отклик
дискретной системы с системной функцией (1) при белом шуме u[n] на
входе описывается разностным уравнением
x[n] +a1 x[n-1] + … +ap x[n - p]
= b0 u[n] + … +bq u[n - q],
которое
можно записать в виде
.
2.
Авторегрессионный процесс
Случайный процесс x[n] называется авторегрессионным
АР-процессом A(p),или процессом авторегрессии порядка p, если
В
этом случае случайный процесс удовлетворяет уравнению
x[n] +a1 x[n-1] + … +ap x[n - p]
= b0 u[n],
где
u[n] - дискретный белый шум, M{u2[n]}=1.
В
другой форме записи
Модель
авторегрессии выражает текущее значение процесса через линейную комбинацию
предыдущих значений процесса и отсчета белого шума.
Название
процесса - термин математической статистики, где линейная комбинация x = a1y1 + a2 y2 +…+ ap yp + z = z +
aTy,
связывающая неизвестную переменную x с отсчетами y
= [y1, y2, …, yp]T, называется моделью регрессии (x
регрессирует на y). В рассматриваемых соотношениях x[n]
регрессирует на предыдущие отсчеты, поэтому - модель авторегрессии.
Процессы
авторегрессии могут быть стационарными, так и нестационарными.
Для
стационарности процесса необходимо, чтобы корни lk характеристического уравнения
lp +
a1lp-1 + … + ap =0
лежали
внутри круга единичного круга (| lI | < 1).
3.
Корреляционная функция и корреляционная матрица
Пусть наблюдается вектор
x(n) = [x[n], x[n - 1], x[n - 2],…, x[n - N -1]]T
Корреляционная матрица процесса R = M{x(n)xH(n)} запишется как
,
где
- значение автокорреляционной функции дискретного
процесса x(n).
Для
стационарного процесса
В
качестве оценок корреляционных значений используются
- несмещенная оценка
;
- смещенная оценка
Напомним, что спектральная плотность мощности связана с корреляционной
функцией через дискретное во времени преобразование Фурье
Корреляционная
функция асимптотически стационарного АР-процесса АР(p) с нулевым
средним
, b0 = 1
Дисперсия
процесса
,
где
Dz - дисперсия процесса z(n)=b0 u(n);
ri = rxx(i)/rxx(0) - коэффициент корреляции i -й
составляющей процесса.
Для
l > 0, текущие значения u(n)
некоррелированные с выходными значениями x(n - l), что
позволяет получить уравнение Юла - Уокера
, или
В
матричном виде
Или
Параметры
авторегрессии могут быть вычислены путем решения системы уравнений , при условии, что инверсная матрица R-1 существует. Наиболее
удобно использовать для этих целей алгоритм Левинсона - Дурбина.
,
где
s2 -
дисперсия инновационного процесса,
, - дисперсия белого шума;
e(n) = b0u(n)
В
матричном виде получаем
, или
Для
расчетов иногда удобна следующая форма записи
Матрица
системы уравнений может быть представлена в виде суммы
Пример.
Рассмотрим случай p = 2. Уравнения Юла - Уокера имеют вид
rx(0) + a1 rx(1) + a2
rx(2) = Dz,x(1) + a1 rx(2)
+ a2 rx(1) = 0,x(2) + a1 rx(1)
+ a2 rx(0) = 0,
Матрица
коэффициентов равна
Значения
корреляционной функции можно вычислить по формуле
,
где C1,i алгебраические дополнения первой строки матрицы C; |C| -определитель матрицы.
Значения коэффициентов авторегрессионного процесса могут быть получены
следующим образом
,
1,k - алгебраические дополнения элементов первой строки
корреляционной матрицы.
Примем i = 1, тогда C1,1 = 1 + a2; |C|
= (1 - a2)[(1 + a2)2 - a12].
Дисперсия
равна
С
учетом соотношений
C1,2 = - a1; C1,3 = a12 - a2 (1 + a2)
Определим
последующие значения корреляционной функции
он
удовлетворяет уравнению процесса
В
этом случае, используя равенство
M{x[n - m]} u[n - r]} =
0 при m < r
и
умножая на x[n - m] уравнение процесса, получим
R[m] + a1 R[m - 1] + … + ap R[m
- p] = 0 , m > q ,
где
R[n] - значение автокорреляционной функции процесса.
Системная
функция формирующего фильтра для такого процесса имеет вид
,
где
bq(k) = bk;
ap(k) =
- ak.
Функция
H(z) имеет p полюсов и q нулей.
При
белом шуме на входе с постоянной дисперсией su2 спектральная плотность мощности на выходе фильтра
описывается выражением
В
частотной области
Рассматриваемый
процесс часто обозначают как АРСС(p, q)-процессом,
который удовлетворяет уравнению
Таким
же уравнением связаны друг с другом автокорреляционная функция rx(k) и взаимная корреляционная функция rx,u(k)
Если
p ³ q и
известны отсчеты корреляционной функции rx(0),
…, rx(p-1), тогда значения rx(k)
при k ³ q
могут быть вычислены рекуррентно
В
данном случае уравнения Юла - Уокера нелинейны относительно коэффициентов
формирующего фильтра и их решение в общем случае вызывает трудности.
дискретный
импульсный случайный авторегрессия
5. Процесс
скользящего среднего (СС-процесс)
Процесс скользящего среднего описывается уравнением
x[n] = b0 u[n] + … + bq u[n-q].
Другая форма записи
Системная
функция представляется как
H(z) = b0 + b1 z -1 + … + bq z -q.
Импульсная
характеристика
h[n] = b0 d[n]+ b1 d[n-1]+
… + bq d[n-q].
В
случае использовании белого шума с дисперсией su2, энергетический спектр процесса на выходе
формирующего фильтра равен
S(z) = su2 Bq(z) B(1/z).
В
случае комплексного случайного процесса x[n]
корреляционная функция равна
Пример.
Найти энергетический спектр при формирующем фильтре первого порядка
Решение.
Системная функция равна
H(z) = b0 + b1 z
-1
Z-образ
энергетического спектра при su2 = 1
равен
Частотная
функция спектра имеет вид
Фильтр,
формирующий СС(q)-процесс является нерекурсивным.
6.
Линейное предсказание
Рассмотрим оценку отсчета АР(p)-процесса x[n - i] в точке (n - i) при использовании остальных
отсчетов от x[n - M] до x[n]
{ x[n], x[n - 1], … , x[n - M]}
В соответствии с уравнением процесса искомую оценку можно записать в виде
,
где
{wk} - весовые коэффициенты предсказывающего
фильтра,
- вектор
данных
Ошибка
предсказания
Найдем оптимальные весовые коэффициенты фильтра, которые минимизируют
средний квадрат ошибки
где
r и R-соответственно вектор и матрица значений
корреляционной функции.
Решение задачи минимизации эрмитовой функции r приводит к результату
Литература
1. Шахтарин
Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. М.: Гелиос АРВ, 2006.
2. Schwardt
L. Digital Signal Processing (DSP813). University of Stellenboscgh, 2004