Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
Теоремы Перрона-Фробеніуса
та Маркова
В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса
та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і
може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Відомо
[[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних
моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з
основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса
та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування
теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції
багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення
вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого
проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить,
наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів
розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та
теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання
на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
1.
Необхідні відомості
з теорії матриць.
Матриця розмірів m
x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n
стовпців. Позначається матриця так:
Квадратною
матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n.
Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається
detA. Для 2x2 матриці .
Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні
елементи однакові, що записують так: А=В.
З матрицями можна
здійснювати такі операції:
1.
Множити на число
Приклад:
2.
Додавати матриці однакових
розмірів:
Приклад:
3.
Множити матриці:
Приклад:
Взагалі, добутком
матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n
називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ.
Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i-го
рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме:
Якщо А та В
квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
Квадратна матриця
порядку n, у якої єлементи , а інші елементи є
нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має
таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е –
одинична матриця такого ж порядку.
Нехай А –
квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А,
якщо
Не в кожної
матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли
.
Беспосередньо
можна первірити, що для
Визначення: Число l
називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется
стовпчик такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А,
що відповідає власному значенню l.
Якщо власний
вектор Х відповідає власному значенню l, то
сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є
власні значення.
Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її
елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема
Перрона: Нехай А -
додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:
1. r-
відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні
значення по модулю < r.
3.
власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з
додатними елементами).
Доведення теореми для
2х2 матриць.
Нехай .
Тоді .
Напишемо
характеристичне рівняння для матриці А:
.
Це квадратне рівніння
з дискримінантом:
І тому
Тобто твердження
теореми 1 і 2 доведені, якщо r=l1.
Знайдемо власний
вектор , що відповідає власному значенню l1
з рівності
Тоді
, або
Враховуючи, що
перепишемо систему у
вигляді:
Але і тому рівняння системи пропорціональні,
а це означає, що одне з них можна відкинути.
Знайдемо x1
з першого рівняння системи
Щоб довести, що
власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x1>0.
Враховуючи,
що b>0 треба довести, що ,
але це випливає з
того, що , бо cb>0.
Таким чином третє
твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною,
якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де А1, А2 -
квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k)
відповідно. Для 2х2 матриць це означає, що та
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її
елементи невід’ємні.
Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми
Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна
довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у
випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною,
якщо
1)
2)
Теорема
Маркова: Нехай для
стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке,
що (тобто всі елементи додатні). Тоді
1. (існування границі матриці означає, що
існує границя кожного її елементу)
2. Матриця - має однакові рядки.
3. Всі елементи
цих рядків додатні.
Доведення теореми для
2х2 матриць.
Запишемо стохастичну
матрицю у вигляді , де
Запишемо її
характеристичне рівняння: ,
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
З урахуванням маємо , але
якщо , то це значить, що p=q=1
або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд , або і
тоді Pn містить нулі , що
суперечить умові. Таким чином .
Беспосередньою
перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню відповідає власний вектор , де x1=x2,
тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо
власний вектор , що відповідає власному
значенню .
За визначенням
Звідки
Згадуючи, що отримуємо
Очевидно, що рівняння
системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1
з першого рівняння: або звідки
, але , бо
в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а
тоді матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна
записати, що
Доведемо тепер
твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю
S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну
формулу для Pn.
Позначимо .
Оскілки , то існує S-1. Перепишемо
рівняння та у
матричній формі
або .
Відкіля і взагалі
Знайдемо границю Pn:
Твердження
1 теореми доведено.
Доведемо тепер, що
рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо .
Оскільки , то Ми
бачимо, що рядки матриці - однакові. Доведемо
тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність
Для того, щоб довести
треба довести, що , треба довести, що та .
Маємо
,
, тому що p>0
і q
>0
Теорема доказана.
Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2
матриць
Зауваження2
Позначимо рядки граничної матриці . Тоді можна
знайти з умови:
Доведення.
Оскільки
Зівдки
Або
Звідки
Зокрема, для 2х2
матриці
Умовою рядок визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.
В роботі дані для
матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем
теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам
літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць
n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний
апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків
квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності
від коефіцієнтів.
Робота може бути
використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних
неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.
Список літератури:
1. С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.
МГУ. 1980
2. С.А. Ашманов. Введение в математическую
экономику. “Наука”.
М., 1984
3. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”.
М. 1969
4. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”.
М.,1967
5. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей.
“Наука”. М., 1988
6. С. Карлин. Математические метод в теории игр,
программирования и экономике. “Мир”. М., 1964
7. Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в
конечную математику. Иностранная литература. М. 1963
8. П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978
9. Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость
биологических сообществ. “Наука”. М. 1978
10.В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее
приложение.
Т1. “Мир”.М. 1984