Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
Графическое решение уравнений,
неравенств, систем с параметром
(алгебра
и начала анализа)
Оглавление
I. Введение
II. Уравнения с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
III. Неравенства с
параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
IV. Список литературы.
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы
также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы,
которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к
решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса
математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я
ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального
решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является
удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены
часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что
знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных
экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§1.
Основные определения
Рассмотрим
уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k,
x), (1)
где
a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая
система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0,
…, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают
действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a,
b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество
всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х,
т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B,
C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k
и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е.
уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения
считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется
уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита:
a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с
параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения
и каковы они.
Два уравнения, содержащие
одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних
и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого
уравнения является решением второго и наоборот.
§2.
Алгоритм решения.
Находим область определения
уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим
график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область
определения данного уравнения.
Находим точки пересечения
прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает
график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для
этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
Записываем ответ.
§3.
Примеры
I. Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно
разрешить уравнение относительно а :
или
График функции – две
“склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется
количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то прямая у=а
пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при
решении уравнения относительно х.
Таким образом, на этом
промежутке уравнение (1) имеет решение .
Если а Î , то прямая у=а пересекает
график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из
уравнений и ,
получаем
и .
Если а Î , то прямая у=а не
пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È, то ;
Если а Î , то , ;
Если
а Î , то решений нет.
II. Найти все значения
параметра а, при которых уравнение имеет три различных
корня.
Решение.
Переписав
уравнение в виде и рассмотрев пару
функций
, можно заметить, что искомые значения
параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции
, при которых он имеет точно три точки
пересечения с графиком функции .
В системе координат хОу
построим график функции ). Для этого можно
представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих
случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции –
это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и
пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные
точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается
графика функции . Поэтому находим производную
Ответ: .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим при
Следовательно, это уравнение задаёт
семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят”
вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и
разложим её на множители
и
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если
вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В
соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой ), то рассматриваемые
графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А,
то .
Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного
решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î (-¥;-3]
È(;+¥).
IV. Решить уравнение
Решение.
Использовав равенство ,
заданное уравнение перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение перепишем в виде
.
(*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя
геометрические соображения. Построим графики функций и
Из графика следует, что при графики не пересекаются и,
следовательно, уравнение не имеет решений.
Если , то при графики функций совпадают и,
следовательно, все значения являются решениями
уравнения (*).
При графики пересекаются в одной
точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение
- .
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения
уравнения (*) будут удовлетворять условиям
Пусть , тогда . Система примет вид
Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все
значения х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда .
Система неравенств примет вид
Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но ,
поэтому при аÎ
(3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если аÎ
(-¥;3), то решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ
(3;7), то ;
если aÎ
[7;+¥), то решений нет.
V. Решить уравнение
, где а -
параметр. (5)
Решение.
1.
При любом а :
2.
Если , то ;
если , то .
3.
Строим график
функции , выделяем ту его часть , которая
соответствует . Затем отметим ту часть
графика функции , которая соответствует .
4.
По графику определяем,
при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет
решения.
Ответ:
если , то
если , то ;
если , то решений нет;
если , то , .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения
параметров и , при
которых системы
(1)
и
(2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что имеет
смысл только при , получаем после преобразований
систему
(3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
(4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу
семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей
с центром в точке А(1;1) и радиусом
Поскольку , а , то , и,
следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если , то
система (4) имеет четыре решения, если , то
таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр
а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда ,
и больше четырех решений, если .
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое
уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных
в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости
хОу семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может
иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли
прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с
гиперболой при (прямая
всегда имеет одну точку пересечения с
графиком функции ).
Для решения этого рассмотрим уравнение
,
которое удобнее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта
D последнего уравнения:
* если ,
т.е. если , то система (3) имеет два решения;
* если , то
система (3) имеет три решения;
* если , то
система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) –
это четыре. И это имеет место, когда .
Ответ:
II. Неравенства с параметрами.
§1.
Основные определения
Неравенство
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x),
(1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная
переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим
параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0,
c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется
системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением
х, если
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой
системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью
определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным
решением неравенства (1), если неравенство
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется
общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях
параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие
решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
§2.
Алгоритм решения.
1.
Находим область
определения данного неравенства.
2.
Сводим
неравенство к уравнению.
3.
Выражаем а как
функцию от х.
4.
В системе
координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область
определения данного неравенства.
5.
Находим
множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6.
Исследуем
влияние параметра на результат.
·
найдём абсциссы
точек пересечения графиков.
·
зададим прямую
а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
7.
Записываем
ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с
параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы
решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3.
Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить
неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой
неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если , то решения исходного
неравенства заполняют отрезок .
Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную
плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность
радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет
пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а
значения и находятся
из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ:
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Находим область
допустимых значений –
Построим график
функции в системе координат хОу.
·
при для решение
х удовлетворяет соотношению , где
Ответ: Решения неравенства существуют при
, где ,
причем при решения ; при
решения .
IV. Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ или
линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения
функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к. то
Разделим обе части равенства на при . Но является
решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют).
Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства,
для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
?
|
точка
|
неравенство:
|
вывод
|
1
|
|
|
-
|
2
|
|
|
+
|
3
|
|
|
-
|
4
|
|
|
+
|
5
|
|
|
-
|
6
|
|
|
+
|
7
|
|
|
-
|
8
|
|
|
+
|
9
|
|
|
-
|
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
Ответ.
при
при
при решений
нет
при
Литература
1. Далингер В. А. “Геометрия помогает
алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
2. Далингер В. А. “Все для обеспечения
успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство
Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
3. Окунев А. А. “Графическое решение
уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
4. Письменский Д. Т. “Математика для
старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
5. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и
неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
6. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по
математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва
1977 г.
7. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л.
“Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.