Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана
Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного
представления на подалгебру Картана
С.В. Никитин, Омский государственный университет,
кафедра математического анализа
1. Введение
В
1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и ее алгебра Ли, то для элемента
X из подалгебры Картана алгебры
выполнено равенство
где
- ортогональная проекция
(относительно формы Киллинга); - группа Вейля алгебры , означает выпуклую оболочку множества A.
Теорема
Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и
Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с
собственными числами содержится
в выпуклой оболочке множества , где Sn - симметрическая группа, действующая на
перестановками
координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может
быть получена таким способом.
Таким
образом, проекция орбиты -
это выпуклый многогранник с вершинами в точках . В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также
Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости
отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции
инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула
Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной
меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая
геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая
предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения
Пусть
- конечномерная
вещественная простая компактная алгебра Ли, - ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на с помощью коприсоединенного
представления : , где , . Определим орбиту элемента :
На
каждой орбите существует
единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера , т.е. такая, что для любой
непрерывной функции и для
любого
Пусть
ортогональная проекция.
Определим проекцию меры на
- это мера , задаваемая соотношением:
где
- финитная непрерывная
функция на . Мера абсолютно непрерывна и , где - плотность проекции меры . Нахождению плотности и посвящена эта статья.
Введем
некоторые обозначения: -
система корней алгебры , - множество положительных
корней, - их полусумма.
Пусть - решетка весов
алгебры , кроме того,
пусть обозначает
множество , где - камера Вейля. представляет собой множество всех
старших весов . Каждому
неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес . Если - характер этого представления, то
формула Кириллова утверждает, что
где
Таким
образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:
или
Пусть
неприводимое
представление . Обозначим
множество весов как . Если , то обозначает кратность веса в представлении . Известно, что
Поэтому,
применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:
где
- дельта-функция в точке . Найдя функцию , мы получим выражение для
функции :
или
Точное
выражение для функции в
дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная,
кусочно-непрерывная функция.
3. Функция
В
этом разделе мы определим функцию , через которую выражается функция , а также укажем некоторые ее
свойства.
В
дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е.
размерность подалгебры Картана , s - число положительных корней, r - разность
s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того
чтобы определить , мы
рассмотрим систему положительных корней как проекцию набора из s попарно ортогональных
векторов. Остановимся на этом более подробно.
Пусть
, где - векторное пространство, порожденное , т.е. линейная оболочка
множества , . Рассмотрим некоторое
векторное пространство L, в которое вложено как подпространство векторов, имеющих
ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция . Нетрудно проверить, что
если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L
можно найти набор из s векторов таких, что (ei,ej)=0, если и, кроме того, . Пространство V - линейная оболочка
векторов , которые
образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:
V+
- это конус в пространстве V, порожденный векторами . Определим на функцию следующим образом:
где
mes - мера Лебега на .
Замечание.
В случае алгебры Ли A1 множество 0-мерно. В этом случае можно считать, что
функция имеет следующий
вид:
Функция
определена всюду в , непрерывна,
кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй с точностью до пропорциональности, т.е. при
выборе другого базиса функция
лишь умножается на
константу.
Можно
рассматривать функцию как
непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта , где - решетка корней алгебры; - это число способов
представить в виде суммы
положительных корней, Q(0)=1. Пусть - решетка в V. Тогда равно числу элементов в множестве , а - это мера или объем . Для примера функция Костанта и функция для алгебры Ли A2 связаны следующим образом: , . Формула Костанта для кратностей весов в
неприводимом представлении со старшим весом такова:
4. Основной результат
Теорема.
Пусть . Тогда проекция
инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через
точку , имеет плотность :
Кроме
того, функция является
непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы
Вейля функцией, носитель
которой содержится в множестве .
НАБРОСОК
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для . Сечение орбиты , проходящее через точку , имеет размерность r, поэтому . Таким образом, мы
получаем:
Для
вычисления используется
формула Костанта для кратностей весов. Если , то
Затем
обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию , интегрируются по и, наконец, n устремляется к
бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная
сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:
Так
как это верно для любой непрерывной функции , то получаем (*) для всех После этого, используя однородность
функции , (*),
доказывается для всех , , где , , а затем, используя предельный переход, и для
всех . Непрерывность и
кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции .
Докажем
инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство . Так как для функции j(X)
выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и . Далее, если , то
Затем
равенство доказывается
для всех . Из равенства
(*) легко получить, что .
Так как функция -инвариантна, то .
Список литературы
Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa
decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.
Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping
// Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.
Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math.
Soc. 1982. N.14. С.1-15.
Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the
cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math.
1982. N.69. С.259-268.
Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint
orbits, preprint.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/