Теория Матриц и Определителей
Средняя школа № 45.
Город Москва.
Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений
Курсовая работа (черновик).
Введение в теорию матриц и
определителей.
1996 год.
Оглавление........................................................................................................................................................
1. Матрицы...........................................................................................................................................................
1.1 Понятие матрицы....................................................................................................................................
1.2 Оновные операции над матрицами................................................................................................
2. Определители...............................................................................................................................................
2.1 Понятие определителя..........................................................................................................................
2.2 Вычисление определителей................................................................................................................
2.3 Основные свойства определителей................................................................................................
3. Системы линейных уравнений......................................................................................................
3.1 Основные определения..........................................................................................................................
3.2 Условие совместности систем линейных уравнений...........................................................
3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом Крамера.....................................................
3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом Гаусса........................................................
4. Обратная матрица...................................................................................................................................
4.1 Понятие обратной матрицы...............................................................................................................
4.2 Вычесление обратной матрицы.......................................................................................................
Список литературы....................................................................................................................................
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество
m строк и
некоторое количество n столбцов.
Числа m и n
называются порядками матрицы. В случае, если m = n ,
матрица называется квадратной, а число m = n
-- ее порядком.
Основными арифметическими операциями над матрицами
являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.
Прежде
всего договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые
порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем
к определению основных операций над матрицами.
Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов,
иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( Сij
)( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n ) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.
Cij = Aij + Bij ( i
= 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) ( 1.2 )
Для
обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением
Итак
по определению имеем :
+ =
=
Из
определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно
вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и
операция сложения вещественных чисел, а именно :
1) переместительным свойством : A + B = B + A
2) сочетательным свойством : (A + B) + C = A + (B + C)
Эти
свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при
сложении двух или большего числа матриц.
Умножение
матрицы на число :
Произведением
матрицы A = (Aij) ( i
= 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) на
вещественное число называется матрица C = (Cij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …,
n ), элементы которой равны
Cij =Aij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …,
n ). (1.3)
Для
обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A. Операция
составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это
число.
Непосредственно
из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает
следующими свойствами :
1) распределительным свойством относительно суммы матриц:
(A + B) =A +B
2) сочетательным свойством относительно числового
множителя:
() A =( A)
( +) A = A + A.
Замечание :
Разностью двух матриц A и B
одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется
естественная запись : C
= A – B.
Перемножение
матриц :
Произведением
матрицы A = (Aij) ( i =
1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ),
имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B
= (Bij) ( i = 1, 2, …, n;
j = 1, 2, …, p ), имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица C = (Сij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p ), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij,
определяемые формулой
Cij = ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …,
p ) (1.4)
Для
обозначения произведения матрицы A на
матрицу B используют запись
C = AB.
Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше
определения вытекает, что матрицу A
можно умножить не на всякую матрицу B :
необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только
были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы
обе матрицы A и
B были квадратными матрицами одного и того же порядка.
Формула
(1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C,
являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это
правило можно сформулировать и словесно : Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го
столбца матрицы C
= AB, равен сумме
попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го
столбца матрицы B. В
качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения
квадратных матриц второго порядка
=
Из
формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :
1) сочетательное свойство : (AB) C =
A (BC);
2) распределительное относительно суммы матриц свойство :
(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.
Вопрос
о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для
квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что
произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще
говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить
A = , B
= , то AB = , а BA =
Те
же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство,
принято называть коммутирующими.
Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных
матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали,
равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной
диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц
получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется
единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символом E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и
называется нулевой матрицей n-ого порядка и
обозначается символом O.
Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда
AE = EA = A, AO
= OA = O.
Первая из формул характеризует особую роль единичной
матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при
перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О,
то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое
равенство : A + O =
O + A = A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для
квадратных матриц.
Прежде всего необходимо запомнить, что определители
существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не
существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых
других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта.
Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в
виде матрицы по два в строках и по два
столбцах, Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы,
называется число ad—bc,
обозначаемое так:.Такой
определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его
составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых
составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что
элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а
элементы b и c его побочную диагональ. Видно, что
определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной
и побочной диагоналях . Определитель третьего и любого другого порядка
находится примерно также, а именно: Допустим,
что у нас есть квадратная матрица .
Определителем следующей матрицы является такое выражение : a11a22a33 + a12a23a31
+ a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.. Как вы
видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную
последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и
образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали
сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.
С отрицательным знаком идут побочная диагональ и
треугольники ей параллельные, т.е.
a11a23a32
, a12a21a33. Таким образом
находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод
становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и
для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.
Существует более легкий способ вычисления определителя
n-ого порядка, где n2. Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n-ого порядка определитель, соответствующий той матрице,
которая получается из матрицы в результате вычеркивания i-й
строки и j-ого столбца ( той строки и того столбца, на
пересечении которых стоит элемент Aij ).
Минор элемента Aij будем обозначать символом .
В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер
столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются.
Определителем порядка n, соответствующим
матрице, назовем число, равное и обозначаемое
символом .
Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i ( i =1, 2 …, n ), для определителя n-ого
порядка справедлива формула
= det A =
называемая разложением этого определителя по i-й строке.
Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число
(-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит
элемент Aij.
Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j ( j =1, 2 …, n ), для определителя n-го
порядка справедлива формула
= det A =
называемая
разложением этого определителя по j-ому
столбцу.
У определителей также есть свойства, с помощью которых
задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд
свойств, которыми обладает произвольный определитель n-го
порядка.
1. Свойство равноправности строк и
столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя
называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с
сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по
отношению к матрице A и обозначается символом A .
Первое свойство определителя формулируется так : при транспонировании
величина определителя сохраняется, т. е. = .
2. Свойство антисимметрии при
перестановке двух строк ( или двух столбцов ). При перестановке местами
двух строк ( или двух столбцов ) определитель сохраняет свою абсолютную
величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго
порядка это свойство проверяется элементарно ( из формулы вычисления
определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь
знаком ).
3. Линейное свойство определителя. Будем
говорить, что некоторая строка (a)
является линейной комбинацией двух других строк ( b
и c ) с коэффициентами и . Линейное свойство можно сформулировать
так : если в определителе n-го порядка некоторая
i-я строка является линейной комбинацией двух строк с
коэффициентами и , то = + , где
– определитель, у которого i-я
строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те
же, что и у , а –
определитель, у которого i-я строка равна второй из двух строк, а все остальные
строки те же, что и у .
Эти
три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его
природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех
основных свойств.
Следствие 1. Определитель
с двумя одинаковыми строками ( или столбцами ) равен нулю.
Следствие 2. Умножение
всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя на
число a равносильно
умножению определителя на это число a.
Иными словами , общий множитель всех элементов некоторой строки ( или
некоторого столбца ) определителя можно вынести за знак этого определителя.
Следствие 3. Если все
элементы некоторой строки ( или некоторого столбца ) равны нулю, то и сам
определитель равен нулю.
Следствие 4. Если
элементы двух строк ( или двух столбцов ) определителя пропорциональны, то
определитель равен нулю.
Следствие 5. Если к
элементам некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя прибавить
соответствующие элементы другой строки ( другого столбца ), умножение на
произвольный множитель , то величина определителя не
изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую
формулировку, которую я приведу для строк : если к элементам некоторой строки
определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной
комбинацией нескольких других строк этого определителя ( с какими угодно
коэффициентами ), то величена определителя не изменится. Следствие 5 широко
применяется при конкретном вычислении определителей.
…….
…….
Известно, что используя матрицы мы можем решать
различные системы уравнений, при чем эти системы могут быть какой угодно
величены и иметь сколько угодно переменных. С помощью нескольких выводов и
формул решение огромных систем уравнений становится довольно быстрым и более
легким.
В
частности, я опишу методы Крамера и Гаусса. Наилегчайшим способом является
метод Крамера ( для меня ), или как его еще называют – формула Крамера. Итак,
допустим, что мы имеем какую-либо систему уравнений
, в виде
матрицы эту систему можно записать таким образом : A = , где ответы будут
уравнений будут находится в последнем столбце. Теперь мы введем понятие
основного определителя; в данном случае он будет выглядеть таким образом :
= .
Основным определителем как вы уже заметили является матрица составленная из
коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е.
в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x, во втором столбце при y, и
так далее. Это очень важно, ибо в следующих действиях мы будем заменять каждый
столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений. Итак, как я
уже говорил, мы заменяем столбец при первой переменной на столбец ответов,
затем при второй, конечно это все зависит от того, сколько переменных нам нужно
найти.
1 = , 2 = , 3 = .
Затем
нужно найти определители 1 , 2 , 3 .
Как находится определитель третьего порядка вы уже знаете. А вот
здесь мы и применяем правило Крамера. Оно выглядит так :
x1 = , x2 = , x3 = – для
данного случая, а в общем виде оно выглядит следующим образом : xi = . Определитель составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем
системы.
…….
……
……
1.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк
“Линейная Алгебра”
2.
Г. Д. Ким, Е. В. Шикин “Элементарные преобразования в линейной алгебре”