Проективная геометрия

Проективная геометрия

Рассмотрим подробнее проективные преобразования одномерных многообразий, здесь можно ограничится случаем преобразования прямой на прямую. Как установили ранее, в неоднородных проективных координат на прямой это преобразование имеет вид дробно-линейной функции   (1)   х^/= a х+ b / g х+d , причем, чтобы существовало обратное проективное преобразование, необходимо, чтобы величина   ad - bg ¹ 0. Запишем преобразование (1) в виде функции х^/= f(x).

Пусть данное отображение применяется последовательно два раза: х^/= f(x), x^//= f(x^/)= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента   х  одномерного многообразия (на прямой) выполняется соотношение x^//= f(x^/)= х (то есть дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное отображение называется инволюционным или инволюцией. Инволюция характеризуется еще и тем, что  x= f(x^/), т. е. обратное отображение х^/= х совпадает с исходным х= х^/. Найдем условие на коэффициенты в (1), при которых проективное отображение является инволюцией. Для этого из (1) выразим  х  через х^/ : (g x ^/- a )x= - d x^/ + b Þ  x= - d x^/+b / g x ^/- a (2). Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда, когда либо:

а)  d =- a  , g, b - любые

б)  d = a, g = b = 0  - но это тождественное отображение, которое исключим из рассмотрения.

Таким образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного отображения х^/= a х+ b /g х- â , где  -a²- bg ¹ 0   обозначим D = -a²- bg

Неподвижной точкой любого отображения называется точка, остающаяся неизменной после отображения. Для инволюции это означает , что   х =х^/= a х+ b /g х- â .

Решим последнее уравнение относительно  х  (3) g х²-2 a х- b= 0   - квадратное относительно х.

Это означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек не может быть больше 2.Дискреминант уравнения (3) есть  a²+bg =-D.

Если  -D<0, (дискриминант отрицательный), то уравнение (3) не имеет действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной точки. Такая инволюция называется эллиптической (ее условие --a²-bg >0).

Если  - D >0, то есть D<0 , -a²-bg <0 , то уравнение (3) имеет два действительных корня или две неподвижные точки- называется такая инволюция гиперболической.

Если  D =0, то есть  -a²-bg =0 , параболическая инволюция, но в этом случае такое отображение не входят в группу проективных преобразований, так как оно не взаимно однозначно.

Существует теорема , что для однозначного определения  инволюции надо задать две пары соответствующих точек на прямой, в отличии от общих формул проективного отображения прямой на прямую, где надо задать три пары точек.

Следующий инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек на прямой.

Оно определяется так :Пусть М₁,М₂,M₃,M₄-четыре точки некоторой проективной прямой. Введем систему проективных неоднородных координат , и обозначим через t_1,,t₂,t₃,t₄,  координаты заданных точек. Можно показать, что величина (t₃-t₁)/(t₂-t₃):(t₄-t₁)/(t_2--t₄ )                                      

не зависит от выбора координатной системы, а определяется только положением точек на прямой.

Эта величина обозначается (М₁ М₂ M₃ M₄)= (t₃-t₁)/(t₂-t₃):(t₄-t₁)/(t_2--t₄ )  и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ).

Непосредственным вычислением можно показать, что выполняются два  свойства СОЧТ.

1) (М₁ М₂ M₃ M₄)=(M₃M₄M₁M₂)

2) (М₁ М₂ M₃ M₄)= 1/ (М₁ М₂ M₃ M₄)  то есть СОЧТ не меняется при перестановке первой и второй пар точек , изменяется на обратную величину при перестановке точек внутри какой-нибудь пары.

Важная теорема проективной геометрии гласит.

При любом проективном отображении прямой  а  на прямую  а^/ сложное отношение произвольной группы точек М₁ М₂ М₃ М₄ прямой  а  равно сложному отношению соответствующих им точек  М₁^/ M₂^/ M₃^/ M₄^/ прямой  а^/ .

 

Частным ее случаем  является утверждение:

В плоскости a заданы две прямые  а и а^/ ,задана произвольная точка S ,принадлежащая плоскости a ,но не лежащая на прямых а и а^/. Тогда, сложное отношение любой четверки точек М₁ М₂ М₃ М₄ прямой а равно сложному отношению их проекций М₁^/ М₂^/ М₃^/ М₄^/ из центра S на прямую а^/ .

   Аналогичное утверждение можно  сформулировать для плоского пучка из четырех лучей   m₁  m₂  m₃  m₄   

 Любая прямая, пересекающая эти четыре луча в

четырех точках, имеет для этих четырех точек одно и тоже сложное отношение.

 

                                       (М₁  М₂  М₃  М₄)=инвариант проективной геометрии

или, что тоже самое  (m₁  m₂  m₃  m₄ ) - инвариант проективной геометрии

Основной вывод : Сложное отношение четырех элементов одномерного многообразия - есть инвариант проективных отображений. Можно показать, что если пара точек  А ,В гармонически разделяет пару точек  С,D, то сочетание (А В С D)=-1.Оно вытекает из свойства гармонического сопряжения , когда каждая точка первой пары делит отрезок, образуемый второй парой точек внутренним и внешним образом в одинаковом отношении 

 

 

АС/AD=BC/BD  или через неоднородные координаты t_i точек  (1,2,3,4) соответствует ( A , B , C , D )

 (t₃ - t₁)/(t₁ - t₄) = (t₂ - t₃)/(t₂ - t₄) или (t₃ - t₁)/(t₂ - t₃) =

- (t₄ - t₁)/(t₂ - t₄)  или ((t₃ - t₁)/(t₂ - t₃))/((t₄ - t₁)/(t₂ - t₄))=-1

                  Матрицы проективных преобразований.

Представим перспективную проекцию объекта как проективное преобразование с центром проекции на оси  z (на расстоянии z_q от начала координат). Пусть плоскостью проекции является координатная плоскость XOY

P(x,y,z)-точка объекта , P^/(X,Y)-её проекция из центра Q. Известно, что координаты точки-проекции P^/ есть  X=x/(1-z/z_q)  ,  Y=y/(1-z/z_q)    (*)

Однородные координаты точки P (x,y,z,1)   -   P^/(x^/,y ^/,z^/,w ^/) ,w ¹0.

Преобразование (*) может быть выражено через матрицу проективных преобразований в однородных координатах:

  1   0   0   0                          P^./=M_Пр* Р

М_Пр   =                 0   1   0   0

0   0   0   0

0   0  -1/z_q 1

 

x^/                 1   0   0   0      x            x                       Неоднородные координаты точки P^/

x^/             1    0   0   0       x            x

y ^/   =        0   1   0   0        y     =    y                       получаем отсюда : X=x/(1-z/z_q ) ,

z^/             0   0   0    0       z            0                       Y=y/(1-z/z_q ) ,Z=0

w             0   0 -1/z_q  1      1          1-z/z_q

Найдём проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z - $ однородные координаты (0,0,1,0).

Вместо М_Пр возьмем матрицу полного проективного преобразования (без проецирования на плоскость XOY).

1   0   0   0       0        0                        Неоднородные координаты проекции

0   1   0   0       0   =   0                        этой точки  (0 ,0 , -z_q )

0   0   1   0   *   1        1

0   0 -1/z_q 1      0       -1/z_q

Если взять семейство параллельных оси z прямых, то после такого проективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку (0,0,-z_q ) на оси z .Поэтому эту точку называют точкой схода.

Аналогично, матрицы                           1   0   0   0          1   0   0   0

0   1   0   0          0   1   0   0

0   1   0   0    *     0   0  -1   0

 -1/x_q 0   0   1          0 -1/y_q 0   1

описывают проективные преобразования с точками схода на оси  OX и OY. Это все преобразованные с одной точкой схода. Матрица      1      0    0    0             1     0     0     0

преобразование                  0      1    0    0             0     1     0     0

с двумя точками                  0      0    1    0             0     0     1     0    А это с тремя

           схода                                  -1/x_q -1/y_q 0   1          1/x_q  -1/y_q  -1/z_q 1

Групповые свойства проективных преобразований

 

Группа - есть совокупность объектов произвольной природы, которые называются элементами группы а обозначается символами a, b, c, ..., удовлетворяющая требованиям следующих аксиом:

1. С каждой парой элементов совокупности, взятых в определённом порядке, сопоставлен по определённому закону некоторый третий элемент этой же совокупности.

Символически это записывают так c=ab, элемент c называется произведением (композицией) элементов a и b. Иначе: композиция двух любых элементов группы даёт элемент, принадлежащий этой же группе.

2. Закон ассоциативности: Каковы бы ни были три элемента группы a, b, c, всегда имеет место соотношение  (ab)c=a(bc)

3. Существует такой элемент e, что для любого элемента a группы выполняется ae=a.

 Элемент e называется единичным элементом.

4. Каким бы ни был элемент группы a, всегда существует такой элемент x, что ax=e.

Элемент x называется обратным элементу a и обозначается a^-1, т. е. X= a^-1.

Отсюда следуют такие правила:

a) если ax=e, то и xa=e

б) если e-единичный элемент группы, то ae= a и ea= a т. е. не различается “левая” и “правая” единицы

в) из соотношения ax= e обратный элемент x определяется однозначно

Если все эти положения применить к проективным преобразованиям, а именно к представляющим их матрицам проективных преобразований в однородных координатах, то можно сказать, что совокупность проективных преобразований составляет группу:

1) произведение двух проективных матриц есть вновь матрица проективного преобразования;

2) (c₁c₂)c₃= c₁(c₂c₃)

3) единичный элемент                         

            1 0 .. 0

            0 1 .. 0

    E =   -  -  - -

            0 .. .. 1

4) условием существования обратного элемента является условие существования обратной матрицы, для последнего необходимо, чтобы [c]#0 это условие является требованием проективного преобразования.

Группу проективных преобразований называют проективной группой.

Прежде чем рассмотреть матрицы проективных преобразований, соответствующих конкретным их типам, вспомним иерархию геометрических преобразований.

 

 

1                                                       Проективная     группа                  Матрица (n+1)(n+1)   

                                                      в R¹, R², R³, ...,Rⁿ

 

                                                                                                                 удаление Ґ удалённых элементов 

                                                                                                                   (соответствующее разрезы)          

2

                                                           Аффинная    группа                              Матрица n(n+1)

 

                                                                                                      Введение свойства перпендикулярности

 

3

 

          Ортоганальная                           Паралельный                                Гомотетии

              группа                                        перенос

          (вращений)

 

Для однозначного определения матрицы преобразования 1^го уровня необходимо (n+2) точки. Для однозначного определения матрицы преобразования 2^го уровня необходимо (n+1) точка. Для однозначного

определения матрицы преобразования 3^го уровня необходимо n точек.

2 уровень                                    A₂         

                                                           Y

                       

                             C₂                                              C₁

                                                B₂       e₂            A₁

      

                                                              O       e₁

                                                

                                                                                                       B

 

3 уровень

 

        Y                                     Y                                           Y                      

              A₂                                                                    A₂ 

                                                                              n

                                                                                                                                              A₂

                   j                                                                                                   

                                                   A₁                                               A₁

    O                      X            O                        X                     O                            X   

j - угол поворота                     n - вектор                             Гомотетия

                                          плоско параллельного                  k=OA₂/OA₁

                                                                           переноса

                      Матрицы конкретных проективных преобразований.

Каждое преобразование более низкого уровня является одновременно и преобразованием более высокого

1) На плоскости. Перенос на вектор n (a,b)

Поворот на угол j против часовой стрелки вокруг начала координат.

Маштабирование относительно начала координат.

 неоднородное

2) В пространстве

Вращение

относительно оси Z(угол j )

относительно оси X(угол q ) 

относительно оси y(угол y )

Сложные преобразования строятся как цепочки преобразований.

Перспективные преобразования.

1) C одной точкой схода (соответственно на различных осях).

      А) На оси Z

куда преобразуется точка ,  параллельная  z, лежащая на бесконечности т.А_z(0,0,1,0)

В неоднородных координатах.

       

т.е. точка схода лежит на оси z на расстоянии (-z_q)

 б) на оси x

                                                            

 

 Прямые параллельные оси ox идущей из бесконечности т.А(1, 0, 0, 0) преображаются в  т.(-x_q , 0, 0)                                                                            

  в) На оси у         

т.А(0,1,0,0) преображается в точку (0,-y_q,0)

       г) С двумя точками схода ,  с тремя.