Практическое применение производной
Южно-Сахалинский Государственный
Университет
Кафедра математики
Курсовая работа
Тема: Практическое применение
производной
Автор: Меркулов М. Ю.
Курс: 3
Преподаватель: Лихачева О. Н.
Оценка:
Южно-Сахалинск
2002г
Введение
В данной работе я рассмотрю применения производной в
различных науках и отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых
рассматривается одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический,
физический смысл и т. д.)
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и
Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах
итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась
касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно
развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали
встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского
ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления
внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1-2. Понятие производной
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция
аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого
промежутка
Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x)
получит приращение ∆y
= f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).
y'(x)=
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
C'
= 0
|
(xn)
= nxn-1
|
(sin
x)' = cos x
|
x'
= 1
|
(1
/ x)' = -1 / x2
|
(cos
x)' = -sin x
|
(Cu)'=Cu'
|
(√x)'
= 1 / 2√x
|
(tg
x)' = 1 / cos2 x
|
(uv)'
= u'v + uv'
|
(ax)'
= ax ln x
|
(ctg
x)' = 1 / sin2 x
|
(u
/ v)'=(u'v - uv') / v2
|
(ex)'
= ex
|
(arcsin
x)' = 1 / √ (1- x2)
|
|
(logax)'
= (logae) / x
|
(arccos
x)' = -1 / √ (1- x2)
|
|
(ln
x)' = 1 / x
|
(arctg
x)' = 1 / √ (1+ x2)
|
|
|
(arcctg
x)' = -1 / √ (1+ x2)
|
2. Геометрический смысл
производной
2-1. Касательная к кривой
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда
MN, если точку N неограниченно
приближать по кривой к M.
Рассмотрим функцию f(x)
и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой
соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0
+ ∆x, его значению соответствует значение
функции y0 + ∆y
= f(x0 + ∆x). Соответствующая точка - N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Проведем
секущую MN и обозначим φ угол, образованный
секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка
видно, что ∆y / ∆x
= tg φ. Если теперь ∆x
будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться
вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки
M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то
прямая, проходящая через M и составляющая с
положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной.
При этом, ее угловой коэффициент:
То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x
равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x,
f(x)).
Касательная к пространственной линии имеет определение,
аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если
функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным
производным f по x и y.
2-2. Касательная плоскость к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем
пространственным кривым поверхности, проходящим через M
- точку касания.
Возьмем поверхность, заданную
уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную
точку M(x0, y0, z0) на ней.
Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L,
проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
x
= φ(t); y
= ψ(t); z
= χ(t).
Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение
превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя
свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение
по t:
Уравнения касательной к кривой L в
точке M имеют вид:
Т. к. разности x - x0,
y - y0, z - z0 пропорциональны
соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит
так:
F'x(x - x0)
+ F'y(y - y0) + F'z(z
- z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
Z
- z0 = F'x(x - x0)
+ F'y(y - y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке
(2a; a; 1,5a)
гиперболического параболоида
Решение:
Z'x
= x / a = 2; Z'y = -y / a = -1
Уравнение искомой плоскости:
Z -
1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a
3-1. Скорость материальной точки
Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки выражается
уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент
времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим
∆t = t - t0 и вычислим приращение пути: ∆s = f(t0
+ ∆t) - f(t0). Отношение ∆s /
∆t называют средней скоростью движения за время
∆t, протекшее от исходного момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при
∆t → 0.
Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t)
- это величина <a>=∆v
/ ∆t. Мгновенным ускорением материальной точки в
момент времени t будет предел среднего ускорения:
То есть первая производная по времени (v'(t)).
Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени
задается уравнением s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после начала
движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.
Решение:
v(t)
= s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =
2;
1,8
= 0,18t; t = 10 c
3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре
Для повышения различных температур T
на одно и то же значение, равное T1 - T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество
теплоты Q1 - Q,
причем отношение
для данного вещества не является постоянным. Таким образом,
для данного вещества количество теплоты Q есть
нелинейная функция температуры T: Q
= f(T). Тогда ΔQ = f(t + ΔT) - f(T).
Отношение
называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ΔT],
а предел этого выражения при ∆T → 0
называется теплоемкостью данного вещества при температуре T.
3-3. Мощность
Изменение механического движения тела вызывается силами,
действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать
процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие
работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие
мощности:.
4. Дифференциальное
исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
Дифференциальное исчисление - широко применяемый для
экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического
анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде
функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов
или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при
повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование
может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть
построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с
помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется
найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую
производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск,
минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от
одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения
показателя сводится к нахождению экстремума функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции,
то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно
определить по одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция f(x)
дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если производная f '(x) при переходе
через точку x0 меняет знак с + на -, то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не меняет знак, то в
этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x)
дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0,
причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ≠ 0, то в
точке x0 функция f(x0) имеет максимум, если f
''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость
функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен
не выше [не ниже] любой своей касательной).
Пример: выбрать оптимальный объем производства
фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:
π(q) = R(q) - C(q) = q2
- 8q + 10
Решение:
π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q -
8 = 0 → qextr = 4
При q
< qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает
При q
> qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает
минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если
фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции
(p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не
производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования.
Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет
выпуск на пределе своих производственных мощностей.
4-2. Эластичность спроса
Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют
предел
Спрос - это количество товара, востребованное покупателем.
Ценовая эластичность спроса ED - это величина,
характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если │ED│>1, то спрос называется эластичным,
если │ED│<1, то неэластичным.
В случае ED=0 спрос называется совершенно
неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса.
Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки
от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно
эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель
принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.
4-3. Предельный анализ
Важный раздел методов дифференциального исчисления,
используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность
приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях
объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных
значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в
случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции
нескольких переменных)
В экономике часто используются средние величины: средняя
производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.
д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут
увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты
сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно.
В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и
затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо
применение методов дифференциального исчисление.
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
Интерполяцией называется приближенное вычисление значений
функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в
картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом
интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы
между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна
то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность.
Пусть Kn - система
узловых точек a = x0
< x1 <…< xn = b. Функция Sk(x) называется
сплайн-функцией Sk(x)
степени k≥0 на Kn,
если
а) Sk(x)
є Ck-1([a, b])
б) Sk(x)
- многочлен степени не большей k
Сплайн-функция Ŝk(x) є Sk(Kn)
называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝk(xj) = f(xj)
для j = 0,1,…,n
В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.
Т. к. s(x)
на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [xj-1 ,xj]
Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j
= 1, 2, …, n
Последние исключаются в силу требования s(xj) = yj:
Дифференцируя эту функцию и учитывая, что
s'(x) на всем интервале и,
следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно
получаем систему уравнений:
относительно n+1 неизвестных s20, s21,…,
s2n. Для
однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:
Нормальный случай(N):
Периодический случай(P)
(т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):
Заданное сглаживание на границах:
Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.
Функция периодическая, поэтому используем случай P.
j
|
xj
|
yj
|
hj
|
yj-yj-1
|
0
|
0
|
π/2
|
1
|
1
|
π/2
|
1
|
π/2
|
-1
|
2
|
π
|
0
|
π/2
|
-1
|
3
|
3π/2
|
-1
|
π/2
|
1
|
4
|
2π
|
0
|
|
|
Сплайн-функция получается такая:
5-2. Формула Тейлора
Разложение функций в
бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой
точностью. Этот прием широко используется в программировании и других
дисциплинах
Говорят, что функция разлагается
на данном промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2
+ … + an(x - a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно
доказать, что это разложение единственно:
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида
называется рядом Тейлора
для функции f(x), записанным по степеням
разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора
сходился к f(x) необходимо и достаточно,
чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0
ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.
С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных
функций:
5-3. Приближенные вычисления
Часто бывает, что
функцию f(x) и ее производную легко
вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно.
Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:
Пример: Извлечь квадратный корень из 3654
Решение: , x0=3654.
Легко вычисляются значения f(x) и при x =
3600. Формула при a = 3600, b=54
дает:
С помощью этой формулы
можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений:
Заключение
Применение производной
довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я
попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с
научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных
систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении
как простых, так и сверхсложных задач.
Литература
М. Я. Выгодский
|
Справочник по высшей
математике
|
И. Н. Бронштейн,
К. А. Семендяев
|
Справочник по
математике для инженеров и учащихся ВТУЗов
|
И. М. Уваренков,
М. З. Маллер
|
Курс математического
анализа,т.1
|
В. А. Дударенко,
А.А. Дадаян
|
Математический анализ
|
Дифференциальное и
интегральное исчисления
|
Т. И. Трофимова
|
Курс физики
|
О. О. Замков
А. В. Толстопятенко
Ю. Н. Черемных
|
Математические методы
в экономике
|
А. С. Солодовников
В. А. Бабайцев
А. В. Браилов
И .Г. Шандра
|
Математика в экономике
|
Содержание:
Введение
1. Понятие производной
1-1. Исторические
сведения
1-2. Понятие
производной
1-3. Правила
дифференцирования и таблица производных
2. Геометрический смысл
производной
2-1. Касательная к
кривой
2-2. Касательная
плоскость к поверхности
3. Использование
производной в физике
3-1. Скорость
материальной точки
3-2. Теплоемкость при
данной температуре
3-3. Мощность
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
4-2. Эластичность спроса
4-3. Предельный анализ
5. Производная в
приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
5-2. Формула Тейлора
5-3. Приближенные
вычисления
Заключение
Список использованной
литературы