Атомические разложения функций в пространстве Харди
Міністерство Освіти України
Одеський державний університет
ім. І.І.Мечнікова
Інститут математики, економіки та механіки
Атомічні розкладення функцій
у просторі Харді
Дипломна робота
студентки V курсу
факультету математики
Семенцовой В.А.
Науковий керівник
Вартанян Г.М.
Одеса - 2000
Содержание
Введение....................................................................................
3
Глава
I. Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и ................................. 8
§I.1.
Интеграл Пуассона..................................................... 8
§I.2.
Пространства ....................................................... 12
§I.3.
Пространства и .........................................
17
§I.4.
Произведение Бляшке, нетангенциальная
максимальная функция............................................... 22
Глава
II. Атомические разложения функции в пространстве
, пространство
ВМО........................................ 26
§II.1.
Пространство , критерий принадлежности
функции из пространству .......................
26
§II.2.
Линейные ограниченные функционалы на ,
двойственность и
ВМО.................................. 32
Литература..................................................................................
37
Введение.
Целью настоящей работы является изучение основных
понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не
изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь
между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , , и ,
раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится
именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего
объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду
объектов.
Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится
на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий
принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .
В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые
обозначения имеют следующий смысл:
- пространство периодических, непрерывных на функций;
- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых
на функций;
- пространство периодических, суммируемых в степени р на
функций, т.е.для которых , ;
- пространство периодических ограниченных на функций;
- носитель функции .
В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом
Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической
комплекснозначной функции называется функция
¦r
( x ) = ,
где , t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.
Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы
неоднократно будем использовать в ряде доказательств:
а) ;
б) ;
в)
для любого d>0
Основной целью данного параграфа являются
две теоремы о поведении интеграла Пуассона при :
Теорема 1.
Для
произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место
равенство
;
если
же ¦ (x) непрерывна
на [ -p, p
] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Теорема
2 (Фату).
Пусть
- комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
В
этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
Определение1. Функция называется
аналитической в точке , если она дифференцируема в
этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если
она аналитична в каждой точке этого множества.
Определение2. Действительная функция двух
действительных переменных называется
гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:
.
Определение3. Две гармонические функции и , связанные условиями Коши-Римана : , , называются гармонически сопряженными
функциями.
Определение4. Под нормой пространства понимается
, .
Определение5. Под нормой пространства понимается
, .
Определение6. Пусть (
или ,).
Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности)
функции определяется равенством
, .
(, ).
Определение7. Последовательность функций, определенных на множестве Х с
заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если для
почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не
выполняется, имеет меру нуль.
В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в
единичном круге функций F (z)
, для которых конечна норма
.
Основным результатом этого параграфа является теорема
о том, что любую функцию ()
можно предсавить в виде
, , ,
где
для п.в. , при
этом
;
.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем
в следующих определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на отрезке [a,b],
имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка
[a,b] точками выполнено
неравенство .
Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на
[a,b], если для любого найдется
число такое, что какова бы ни была система
попарно непересекающихся интервалов , с суммой длин, меньшей : ,
выполняется неравенство .
В третьем параграфе первой главы мы переходим к
рассмотрению пространств и . Пространство () представляет собой совокупность тех
функций , ,
которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций)
из, т.е. представимы в виде ().
Здесь мы получаем следующие результаты: при пространство
совпадает с , а
при р=1 уже, чем , и
состоит из функций , для которых и .
В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции , аналитической в круге с нулями , () с
учетом их кратности:
,
где
- кратность нуля функции при .
Здесь доказывается, что каждая функция представима в виде
, где не
имеет нулей в круге и , ,а -
произведение Бляшке функции .
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной
максимальной функции . Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , ,
область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и
наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается
в радиус единичного круга). Для положим
, ,
где
- интеграл Пуассона функции . Функция называется
нетангенциальной максимальной функцией для .
Тут же мы доказываем теорему об оценке : если (), , то и .
Первые результаты о максимальных функциях были
получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В
§II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой
интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома:
действительная функция называется атомом,
если существует обобщенный интервал такой, что
а) ; б) ; в) .
Атомом
назовем также функцию , . Под
обобщенным интервалом понимается либо интервал из , либо
множество вида ().
Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в
1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда
и только тогда, когда функция допускает
представление в виде
, ,
где , , - атомы. (*)
При
этом , где inf берется по
всем разложениям вида (*) функции , а с и С - абсолютные константы.
Роль атомических разложений заключается в том, что они
в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым
действиям с атомами.
В
частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году
Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и
. Доказательству этого факта и посвящен
второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех
функций , удовлетворяющих условию
, (91)
где
, а sup берется по всем обобщенным интервалам .
А затем доказываем теорему о том, что .
Глава I.
Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и
§I.1.Интеграл
Пуассона.
Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x)
будем обозначать свертку
f*g(x) =dt
Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
cn ( f*g ) = cn ( f )× c-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где
{ cn
( f )} - коэффициенты
Фурье функции f ( x ) :
cn (f)= -i n tdt
, n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим
при 0 £ r < 1 функцию
¦r ( x ) = n
( f ) r| n | ei n x , x Î [ -p, p ] . ( 2 )
Так как для
любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд сходится (так как
согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по
ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно
по х для любого фиксированного r
, 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье
функции ¦r
(х) равны cn
( fr ) = cn (f)× r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит,
что ¦r ( x ) можно
представить в виде свертки :
¦r ( x ) = ,
( 3 )
где
, t Î [ -p, p ] . ( 4 )
Функция
двух переменных Рr (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -
интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) = ,
0 £ r < 1 , t Î [ -p, p]
. ( 5 )
Если
¦Î L1 (
-p, p
) - действительная
функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = , n =
0, ±1, ±2,¼, из
соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) =
= ,
( 6 )
где
F (
z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix
) ( 7 )
-
аналитическая в единичном круге
функция как сумма равномерно
сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6)
показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в
единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ]
.
При этом гармонически
сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается
формулой
v
(z) = Im F (z) = .
( 8 )
Утверждение1.
Пусть
u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция
и ¦ (x) = u
(eix) , xÎ[ -p, p ] .
Тогда
u
(z) = ( z = reix
, | z | < 1 ) ( 10 )
Так
как ядро Пуассона Pr
(t) - действительная функция, то
равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая
функция:
=,
| z | < 1+ e .
Но
тогда коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами
Фурье функции следующим образом :
и
равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде
чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x)
при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
(11)
в) для любого d>0
Соотношения
а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно
положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.
Теорема
1.
Для
произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место
равенство
;
если
же ¦ (x) непрерывна
на [ -p, p
] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и
свойства б) ядра Пуассона
.
( 12 )
Для
любой функции , пользуясь неравенством
Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для
данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что
. Тогда для r , достаточно
близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку
.
Аналогично,
второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим
определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа",
которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
ОпределениеI.1.
Пусть
функция , суммируема на любом интервале (a,b),
a<b, . Максимальной функцией для функции называется функция
,
где
супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение
I.2.
Оператор
называется оператором слабого типа
(р,р) , если для любого y
> 0
, .
Теорема
2 (Фату).
Пусть
- комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем,
что для и
,
( 13 )
где
С - абсолютная константа , а M
( f, x ) - максимальная функция
для f (x)*). Для этой цели используем
легко выводимую из (5) оценку
(К
- абсолютная константа).
Пусть
- такое число, что
.
Тогда
для
.
Неравенство
(13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора . Используя его, найдем такую
последовательность функций ,что
,
( 14 )
для п.в. .
Согласно
(13) при xÎ (-p,p)
Учитывая
, что по теореме 1 для каждого xÎ [-p, p]
и (14)
из последней оценки получим
при r®1.
Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя
вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно
показать, что для п.в. xÎ [-p, p] ,
когда точка reit стремится к eix по
некасательному к окружности пути.
§I.2.Пространства
Hp.
Определение
I.3.
Пространство
- совокупность аналитических в единичном
круге функций F (z) , для которых конечна норма
. (15)
Пусть
комплекснозначная функция удовлетворяет
условиям
(16)
тогда
функция F (z) , определенная равенством
(17)
принадлежит
пространству , причем
.
(18)
Действительно, аналитичность функции F (z) следует
из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем
(*)
С
другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу
теоремы 2)
. Отсюда (**)
Учитывая
(*) и (**) , получим (18).
Ниже
мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для
этого нам потребуется
Теорема
3.
Пусть
комплекснозначная функция j (t) имеет
ограниченную вариацию на [
-p,p] и
(19)
Тогда
j (t)
абсолютно непрерывна на [-p,p].
Замечание2.
В
(19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по
комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что
j (t)= u (t)+
i v (t) имеет
ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t)
и v (t)
имеют ограниченную вариацию
(соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
определен
для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если
- характеристическая функция замкнутого
множества .
Доказательство теоремы 3.
Нам
достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,
,
(20)
Для
этой цели убедимся, что справедлива
Лемма
1.
Пусть
F - замкнутое, а V
- открытое множества , причем и
. Тогда для всякого , существует функция вида
, (21)
обладающая
свойствами:
а) ;
б)
;
(22)
в) .
Выведем
из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть
, где -
конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества
F, и для
.
Очевидно,
что - открытое множество и .
Рассмотрим
для данных функцию ,
построенную в лемме 1 для числа e и множества . Тогда нетрудно проверить[3],
что если , а , то
разность
. (23)
Но
в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно
дифференцируемой функции сходится равномерно)
,
и
мы получаем равенство (20).
Перейдем
к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние
Фейера - это средние вида
, где , , - ядро Дирихле,
, - ядро
Фейера.
Отметим,
что при ядро Фейера обладает следующими
свойствами: а) , ;
б) ,
Мз
которых вытекает, что для и
,
Также
известно [3],
что средние Фейера равномерно сходятся к .
Пусть
f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для
которой
и
Так
как средние Фейера равномерно сходятся к и
, то существует тригонометрический
полином
(24)
такой,
что
(25)
Пусть
. Рассмотрим для каждого d>0 такую функцию , что
,
(функцию
можно построить следующим образом:
взять замкнутое множество с мерой , достаточно близкой к 2p, и положить
).
Так
как (здесь число m то же, что в
(24)), то для достаточно малых d>0 функция удовлетворяет соотношениям
(26)
При
этом , если .
Тогда средние Фейера функции h(t)
имеют вид
и
при достаточно большом N
(27)
Положим
, (28)
Так
как h(t) - действительная функция, то ,
n=0,±1,±2,¼. Поэтому
и .
(29)
Определим
искомую функцию g(t) :
Ясно,
что , а из (24) и (28) следует, что при n<0, т.е.
(30)
В
силу соотношений (25), (27) и (29) для
,
а
для
.
Наконец,
для любого
.
Таким
образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а
вместе с ней и теорема 3 доказаны.
Теорема
4.
Пусть
функция . Тогда для п.в. существует
предел
(31)
При
этом
1) , , ;
2) ;
3) .
Доказательство:
Нам
достаточно доказать, что для каждой функции найдется
функция такая, что имеет место 1).
Действительно, если , то тем более и из 1) и теоремы 2 вытекает
справедливость равенства (31) для п.в. . При
этом и по теореме 1
. Наконец, из 1) следует, что
а
тогда
.
Пусть
. Для построения искомой функции положим
, , .
Функции
, ,
имеют равномерно ограниченную по r
вариацию на :
.
Следовательно,
по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации и последовательность , такие, что в
каждой точке и
(32)
для
любой функции . При этом для n=1,2,...
(мы учли
аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3 абсолютно непрерывна : существует
функция , для которой
,
Тогда
, (33)
Зафиксируем
число . Функция ,
аналитична в круге , поэтому согласно
утверждению 1
, .
В
пределе при из последнего равенства вытекает, что
, , .
Равенство
1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.
§I.3.Пространства и .
Обозначим
через класс тех
функций , ,
которые являются граничными значениями функций из , т.е.
представимы в виде
для п.в. , .
В
силу пунктов 3) и 2) теоремы 4 и каждая функция удовлетворяет условию
(16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной с условием (16) интеграл Пуассона (17)
определяет функцию из . Следовательно,
. (34)
Из
(34) вытекает, что (замкнутое) - подпространство пространства , а - банахово пространство с нормой (15).
Пусть
. Положим
,
, (35)
ОпределениеI.5.
Если функция , то сопряженной к ней функцией
называется функция , ,
где
интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при интегралов .
В
дальнейшем нам понадобится
Утверждение2.
Для
любой функции сопряженная функция существует и конечна п.в. на ; при этом
а)
, y>0;
б)
если , ,
то и .
Теорема 5.
Следующие
условия эквивалентны :
а) ;
б) , , , ;
в) ;
г) , где - такая действительная функция, что ее
сопряженная также принадлежит пространству :
. (36)
Доказательство:
Докажем,
что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда
функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место
равенства
, (37)
Непосредственный
подсчет по формуле (36) показывает, что
, , ,
. Следовательно, равенства (37)
выполняются, если - произвольный
тригонометрический полином.
Пусть
фиксировано. Для произвольной функции и положим
, ,
где
, , .
Покажем,
что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из
следующих свойств функций (наличие этих свойств
мы установим ниже):
1) , , ;
2) при функции , ,
сходятся по мере к
;
3) , , ,
где С - абсолютная константа.
Итак,
предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко
видеть, что , где ,
поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций ,:
по мере .
(38)
Для
произвольного найдем тригонометрический
полином такой, что
, .
(39)
Тогда
согласно 3)
(40)
и
при
. (41)
Так
как - полином, то и
. (42)
Учитывая,
что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы
находим , ,
что
вместе с (38) доказывает равенство (37).
Докажем
теперь, что для произвольной функции справедливы
соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .
Чтобы
доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде
, , . (43)
Из
непрерывности функции легко следует, что
равномерно
по . Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь
, (44)
Кроме
того, в силу 1) и (43)
;
из
этого неравенства и (44) вытекает, что при
.
Для
доказательства оценки 3) заметим, что
,
где
. Применяя неравенство а) утверждения 2
для функции и учитывая, что ,
получим 3).
Свойства
1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует
б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в)
вытекает г).
Пусть (,,) и
.
Тогда по теореме 4 , и
надо доказать только, что для п.в. .
Так как ядро Пуассона -
действительная функция, мы можем утверждать, что при и
, .
С другой стороны, из 2), 8) и
(37) вытекает, что для любого ,
, .
(45)
Согласно
теореме 1
. (46)
Кроме
того, в силу утверждения 2, из сходимости () следует сходимость по мере функций к .
Таким образом,
по мере (),
а
потому , учитывая (46), для п.в. .
Теорема
5 доказана.
Следствие
1.
а) Если , то ;
б) если и , то ;
в) если , , , , то
.
(47)
Доказательство.
Соотношения
а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.
Чтобы
получить в), положим
,
.
Согласно
теореме 5 , , а
следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и
из определения класса мы получим, что
.
(48)
Из
(48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание
3.
Если
, то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения
2 пространство совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем , и
состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для
которых и .
- банахово пространство с нормой
. (49)
Полнота
с нормой (49) следует из утверждения 2
и полноты пространства : если при
, то , , , и
так как по мере при , то и при .
Замечание
4.
Согласно
замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , , , .
Отметим
также, что, взяв в (47) вместо функцию и учитывая б), мы получим
, если . (50)
§I.4.Произведение
Бляшке,
нетангенциальная максимальная функция.
Пусть
последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - удовлетворяет условию
, , . (51)
Рассмотрим
произведение(произведение Бляшке)
.
(52)
Для
фиксированного , ,
при имеет место оценка
. (53)
Так
как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится
абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет
нули в точках , , и
только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством ( , ), мы
находим
, .
(54)
Допустим
теперь, что () -
нули некоторой функции с ,
причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51)
сходится. Положим
,
Функция
()
аналитична в круге радиуса больше единицы, и ,
если . Следовательно, и согласно п.3 теоремы 4 . Но тогда
и
, (55)
Так
как , , то
из (55) вытекает сходимость произведения , а
значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть
- аналитическая в круге функция и , () -
ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также -
кратность нуля функции при .
Произведение
(56)
называется
произведением Бляшке функции .
Справедлива
Теорема
6.
Каждая
функция представима в виде
,
где
не имеет нулей в круге и
, ,
а - произведение Бляшке функции .
Доказательство.
Пусть
, () - нули функции (
или, что то же самое, нули функции ) Тогда, как
отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и
, .
(57)
При
этом функция также аналитична в единичном
круге, не имеет в нем нулей и .
Для
доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):
, , .
Так
как для любого , то
по теореме 4
и
, если .
Устремив
в последнем неравенстве число
m к бесконечности и учитывая, что ()
равномерно по , мы получим
, ,
т.е.
, .
Теорема
6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть
, , -
произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя
касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности,
заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга).
Для положим
, ,
где
- интеграл Пуассона функции . Функция называется
нетангенциальной максимальной функцией для .
В
силу теоремы 2
для п.в. .
(58)
Установим,
что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения
максимальной функции *) в точке х, т.е.
, .
(59)
Нам
понадобится
утверждение
3.
а)
если функция , то для любого
;
б)
если функция , то ,
где
- постоянная, зависящая только от числа
р.
Пусть
и . По
определению интеграла Пуассона
Положим
. Тогда будем иметь
и,
в силу неравенства , , и
периодичности ,
. (60)
Так
как обе функции и положительны
при и отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без
ограничения общности, что , мы получим
.
(61)
Для имеют место оценки
,
.
Следовательно, для
доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что
при ,
(62)
если
. Пусть ,
тогда
.
В
остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3
вытекает, что для любой функции , ,
, (63)
где
- постоянная, зависящая только от .
Теорема
7.
Пусть
(), и
, .
Тогда и
. (64)
Доказательство.
Утверждение
теоремы 7 в случае, когда , есть прямое
следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По
теореме 6 , где , , если и . Из функции можно
извлечь корень: существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при р=2,
получим
.
Оценка
снизу для вытекает из (58).
Теорема
7 доказана.
Глава II.
Атомические разложения функции
в пространстве ,
пространство ВМО.
§II.1.Пространство
, критерий принадлежности функции из
пространству .
Рассмотрим
() -
пространство функций , являющихся граничными
значениями действительных частей функций из пространства :
для п.в. , .
(65)
Ранее мы доказали, что
, , (66)
и что -
банахово пространство с нормой
; (67)
при этом, если в (65) , то
() . (68)
В
замечании 3 уже говорилось о том, что при пространство
совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что
().
Последнее
соотношение теряет силу при - нетрудно проверить,
что при
,
где
и,
следовательно, существует функция , для которой . Таким образом, -
собственное подпространство в . Ниже мы дадим
критерий принадлежности функций к пространству .
ОпределениеII. 8.
Множество
мы будем называть обобщенным интервалом,
если - дуга на единичной окружности, т.е. - либо интервал из , либо множество вида
(). (69)
Точку
назовем центром обобщенного интервала , если -
центр дуги . Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину
Определение
II.9.
Действительную
функцию назовем атомом, если существует
обобщенный интервал такой, что
а) ;
б) ;
в) .
Атомом
назовем также функцию , .
Теорема
8.
Для
того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и
достаточно, чтобы функция допускала представление
в виде*)
, ,
(70)
где
, , - атомы. При этом
, (71)
где
inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С -
абсолютные константы.
Доказательство.
Достаточность.
Пусть
для функции нашлось разложение вида (70). Покажем,
что и .
Для этого достаточно проверить, что для любого атома имеет
место неравенство
.
(72)
Пусть
- такой обобщенный интервал, что
, , (73)
(случай
тривиален). Так как , то нам остается доказать, что
. (74)
Для
любого измеримого множества , применяя неравенство
Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим
, (75)
откуда
сразу вытекает (74), в случае, когда .
Допустим
теперь, что , и обозначим через обобщенный интервал длины с тем же центром, что и . Из (75) следует, что
.
Нам
остается оценить интеграл . Мы воспользуемся
очевидным неравенством
, ,
где
- длина наименьшей из двух дуг единичной
окружности, соединяющих точки и , а -
абсолютная постоянная. В силу (73) при мы
имеем
где -
центр обобщенного интервала . Из последнего
соотношения, учитывая, что и , мы находим
, , где .
Следовательно,
.
Оценка
(74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим
для данной функции разложение (70), для которого
.
Пусть
функция с такова,
что выполнено соотношение (65), и пусть () - нетангенциальная максимальная функция
для , т.е.
, ,
(75')
где
- область, ограниченная двумя
касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.
Теорема
7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти
такое разложение функции на атомы (70), что
,
(76)
где
постоянные С и () не
зависят от . Для построения разложения (70) с
условием (76) фиксируем число : пусть, например, . Не ограничивая общности, мы можем
считать, что
. (77)
Рассмотрим
на отрезке множества
, , (78)
Так
как при любом множество точек единичной
окружности открыто, то ясно, что при множество (если
оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся
обобщенных интервалов:
, при , , . (79)
Положим
и при
(80)
Так
как конечна для п.в. ,
то из определения функций , , следует, что для п.в. при
, а значит, для п.в.
.
Отсюда,
учитывая, что , а следовательно из (80), при , мы
находим, что
, (81)
где
- характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем
следующее разложение:
для п.в. ,
(82)
где
, , (83)
С
помощью функций мы и построим нужное нам
разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,
, .
(84)
Докажем
теперь, что для п.в.
, ,
(85)
где
постоянная зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.
Так
как из (65) и (75') для п.в. , то из (77) следует, что
.
Пусть
теперь , -
один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) , и если , - концевые точки дуги () ,
то , а значит,
, .
(86)
Из
неравенств (86) согласно (75') следует, что
при .
(87)
Легко
видеть (учитывая, что и )
, что множества и пересекаются
в одной точке:
с , .
(88)
Пусть
, , -
отрезок, соединяющий точки и . Так как , , то из непрерывности функции при и
неравенства (87) вытекает, что , если , , и . Поэтому , учитывая (88)
, ,, .
(89)
По
теореме Коши [5]
.
Отсюда
и из (89), учитывая, что для любой дуги справедливо
равенство ,
мы
получим
.
Но
в силу теорем 4 и 5
, ,
и
так как , , то
мы находим, что
. (89')
Легко
видеть, что отношение ограничено сверху числом,
зависящим только от s, поэтому
, .
(90)
Так
как , то из соотношений (90) и (80) вытекает,
что для , ,
справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство
(85) сразу следует из определения функций и
множеств .
Пользуясь
оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а
это значит, что функции
, , ,
являются
атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:
для п.в. ,
где
, .
Оценим
сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77),
имеем
.
Неравенство
(76), а потому и теорема 8 доказаны.
§II.2.
Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.
Дадим
описание пространства , сопряженного к банахову
пространству . Нам потребуется
Определение
II.10.
Пространство
ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих
условию
, (91)
где
, а sup берется по всем обобщенным интервалам .
Нетрудно
убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой
. (92)
Ясно,
что . В то же время ВМО содержит и
неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция .
Теорема
9.
, т.е.
а)
если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение на атомы (по
теореме 8):
, , , - атомы*) (93)
и
положить
, (94)
то
сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора
разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;
б)
произвольный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где . При этом
(С,
С1 - абсолютные постоянные).
Лемма
2.
Пусть
функция такова, что для любого обобщенного
интервала найдется постоянная , для которой
,
где
М не зависит от . Тогда и .
Доказательство.
Для
любого обобщенного интервала мы имеем
,
откуда
согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие
2.
Если
, то и
. (95)
Следствие
2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
для
произвольного обобщенного интервала .
Доказательство теоремы 9.
а)
Пусть . Положим
Так
как всегда , то, учитывая равенства
, ,
,
мы
с помощью следствия 2 находим
, (96)
Допустим,
что ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8
существует разложение
, ,
(97)
где
функции являются атомами и , и при
, , . (98)
Из
соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при
.
Отсюда,
учитывая, что функции , , по
модулю не превосходят суммируемой функции и для
п.в. , мы
получим, что
.
Таким
образом, равенством
, ,
(99)
определяется
ограниченный линейный функционал на всюду плотном в линейном
многообразии (плотность функций из в вытекает из теоремы 8, так как для
всякой функции частные суммы разложения (70)
сходятся к по норме , и,
очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал
можно единственным образом продолжить на
все пространство :
, .
(100)
Остается
доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд
(94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу
следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :
.
б)
Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из
теоремы 4.1 и (67) для любой функции
(С
- абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный
линейный функционал на , а следовательно, найдется функция с
, (101)
для
которой
, . (102)
В
частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что
. (103)
Пусть
I - произвольный обобщенный интервал, -
произвольная функция с . Тогда функция
, ,
является
атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому
.
Подбирая
в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого
обобщенного интервала I
,
что
с учетом соотношения доказывает
оценку (103).
Таким
образом, для значение
функционала совпадает
со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9).
Так как пространство плотно в , то, следовательно,
для любой функции .
Полученное
равенство завершает доказательство теоремы 9.
Литература
1.
Кашин Б.С., Саакян А.А.
Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В.
Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И.
Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.
4.
Бари Н.К. Тригонометрические ряды
—М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.
5.
Маркушевич А.И. Краткий курс
теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.
6.
Дж.Гарнетт Ограниченные
аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7.
Фихтенгольц Г.М. Основы
математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.
8.
Вартанян Г.М. Аппроксимативные
свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990
—111с.
*) Мы считаем , что f
(x) = 0 , если |x| > p .
*) Так как
функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем ,
если ; при и при .
*) В силу условий а) и в) в определении 9
, , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.
*) Возможен случай, когда при .