Аксиоматика теории множеств

Аксиоматика теории множеств

Введение

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мно­жеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснова­ния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание состав­ляют те фунда­ментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся тео­рий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном явля­ется системой того же типа, что и система, предложенная перво­начально фон Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пере­смотренная и упрощенная Р. Робинсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными от­клонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву  и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937—1954] и Гёделя [1940], мы бу­дем употреблять в качестве переменных вместо x₁, x₂, … прописные латин­ские буквы X₁, Х₂, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для обо­значения произвольных переменных.) Мы вве­дем также сокращенные обо­значения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак  пони­мается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они со­стоят из одних и тех же элементов.

Определение.  служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х  Y & X ≠ Y (соб­ствен­ное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение  1.

   (а)  Х = Y  (X  Y & Y  X);

   (b)  Х = Х;

   (с)  Х = Y Y = Х;

   (d)  Х = Y  (Y = Z Х = Z);

   (е)  Х = Y  (ZX  ZY).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, од­нако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, со­ответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхо­ди­мых в математике классов и являются, достаточно скром­ными, чтобы из них нельзя было вы­вести противоречие). (Эта «ин­терпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-ни­будь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным клас­сом.

Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множе­ство).

Определение. Pr(X) служит сокращением для  M(X) (X есть собствен­ный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоя­щему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми мате­матики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как соб­ственные классы мыслятся как чудовищно необъят­ные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о пред­метах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что мате­матика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная мо­дификация системы NBG позволяет при­ме­нить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский [1939]).

Мы введем строчные латинские буквы x₁, x₂, … в качестве специаль­ных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x₁ A (x₁) бу­дет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x₁ A (x₁) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A  истинно для некоторого множества». Заметим, что упот­ребленная в этом определении переменная X должна быть отлич­ной от пе­ременных, входящих в A (x₁). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употреб­ляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокра­щением для

ХX_j (М(X_j)Y(M(Y)&ZA (X, X_j, Y, Z))).

А к с и о м а   Т. (Аксиома объемности.) Х = Y (XZYZ).

Предложение  2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а   Р. (Аксиома пары.) xyzu (u  z  u = xu = y),  т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля­ются единственными его элементами.

А к с и о м а   N. (Аксиома пустого множества.) х y (у  х), т. е. су­ществует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

 ₁x  y (у  х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчи­няв ее следующему условию.

Определение. y (y  0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозна­чения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мно­жеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не яв­ляется множеством. Можно доказать, что

 _{NBG 1}Z((M(X)&M(Y)&u (u  Z  u = X  u = Y))  

                                                                            ((  M(X)   M(Y))&Z=0)).

Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и {X, Y}  u = X  u = Y))

(( M(X)  M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно до­казать, что _NBG x y u (u  {х, у}  u = x  u = y) и  _NBG x y (M({х, у})).

Определение.  = {{Х}, {X, Y}}.  называется упорядоченной па­рой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение  3.

 _NBG x y u v ().

Доказательство.  Пусть  = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х}  {{x}, {x, y}}, то {x}  {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v}  {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или  {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или  {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в про­тивном случае {и, v} = {х, у} и, сле­довательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упо­ря­доченной n-ки.

Определение

 = Х,

Так, например,

 и

В дальнейшем индекс NBG в записи  _NBG   опускается.

Нетрудно дока­зать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утвер­ждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущест­вуют соответствующие классы всех множеств, обладаю­щих этими свойствами.

А к с и о м а В1. X u v (X  u  v)    (- отношение).

А к с и о м а В2. X Y Z u (u  Z  u  X & u Y)

                                                                                                (пересечение).

А к с и о м а В3. X Z u (u  Z  u  X)                    (дополнение).

А к с и о м а В4. X Z u (u  Z  v (X))              (область

                                                                                                 определения).

А к с и о м а В5.  X Z u v (  Z  u  X).

А к с и о м а В6.  X Z u v w (  Z    X).

А к с и о м а В7.  X Z u v w (  Z    X).

С помощью аксиом В2—В4 можно доказать

 X Y ₁Z u (u  Z  u  X & u  Y),

 X ₁Zu (u  Z  u  x),

 X ₁Zu (u  Z v (  X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

u (u  X ∩ Y  u  X & u  Y)    (пересечение классов Х и Y).

u (u  u  X)                          (дополнение к классу X).

u (u  D (X) v (  X))    (об­ласть определения класса X).

                            (объединение классов Х и Y).

V =                                                  (универсальный класс).

X − Y = X ∩                                   

Общая теорема о существовании классов.

Предложение  4. Пусть φ (X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m) – формула, перемен­ные которой берутся лишь из числа X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m . Назовём такую фор­мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m)

 Zx₁ …x_n ( Z  φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та­ких формул φ, которые не содержат подформул вида Y_i  W, так как всякая та­кая подформула может быть заменена на x (x = Y_i  & x  W), что в свою оче­редь эквивалентно формуле x (z (z  x  z  Y_i) & x  W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор­мулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u  X), последнее же эквивалентно    u (z (z  u  z  X) & u  X). Доказа­тельство проведем теперь индук­цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за­писанную с ограниченными пере­менными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид x_i  x_j, или x_j  x_i, или  x_i  Y_i, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W₁ такой, что

x_ix_j (W₁  x_i  x_j).

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W₂ такой, что

x_ix_j (W₂  x_j  x_i),

и тогда, в силу

 XZ u v ( Z    X),

существует класс W₃ такой, что

x_ix_j (W₃  x_j  x_i).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W₃ такой, что

x_ix_j (W  φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Тогда, заменив в

 XZ v₁…v_kuw (  Z    X)

X  на W, получим, что существует некоторый класс Z₁ такой, что

x₁… x_i-1x_ix_j (Z₁  φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Далее, на основании

 XZ v₁…v_mx₁…x_n ( 

 ZX)

там же при Z₁ = X, заключаем, что существует класс Z₂ такой, что

x₁ … x_i x_i+1 … x_j (  Z₂  φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Наконец, применяя

 XZ v₁…v_mx₁…x_n ( Z X)

(1)

там же при Z₂ = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

x₁…x_n (  Z  φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Для остающегося случая x_i  Y_i теорема следует из (1) и

 XZ x v₁…v_m (  Z  x  X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ со­держит s логических связок и кванторов.

(a) φ есть  ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁…x_n (  W  ψ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Теперь остается положить Z = .

(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z₁ и Z₂ такие, что

x₁…x_n (  Z₁  ψ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)) и

x₁…x_n (  Z₂  θ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Искомым классом Z  в этом случае будет класс .

(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁…x_nx (  W   ψ (x₁,…, x_n, x, Y₁,…, Y_m)).

Применим сперва

 XZ x₁ … x_n (  Z y ( X)).

при X =  и получим класс Z₁ такой, что

x₁ … x_n (  Z₁x ψ (x₁,…, x_n, x, Y₁,…, Y_m)).

Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно

x ψ.

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y₁, Y₂) есть формула uv (X =  & u   Y₁ & v  Y₂). Здесь кванторы связывают только перемен­ные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов,  Z x (x  Z  uv (x =  & u  Y₁ & v  Y₂)), а на основании аксиомы объемности,  ₁Z x (x  Z  uv (x =  & u  Y₁ & v  Y₂)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение.  x (x  Y₁  Y₂  uv (x =  & u  Y₁ & v  Y₂)). (Декартово произведение классов Y₁  и Y₂).

Определения.

X² обозначает X  X (в частности, V² обозначает класс всех упо­рядоченных пар).

…………………………………………………………………………………………………

 Xⁿ обозначает X^n-1  X (в частности, Vⁿ обозначает класс всех упо­рядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х V² (X есть отношение).

2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,  ₁Zx (x  Z  x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение.  x (x P (Y)  x Y). (P (Y): класс всех под­множеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X  v & v  Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объем­ности,  ₁Zx (x  Z v (x  v & v  Y)), т.е. существует един­ственный класс Z, элементами которого являются все элементы элемен­тов класса Y и только они.

Определение.  x (x  (Y)  v (x  v & v  Y)).  ((Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть φ (X) есть u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x  Z u (x = )).

Определение.  x (x I  u (x = )). (Отношение тож­дества.)

Следствие.    Для всякой предикативной формулы φ (X₁,…,X_n, Y₁,… …, Y_m)

 ₁W( W  Vⁿ & x₁…x_n ( W

 φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого  x₁…x_n ( Z  φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vⁿ; его един­ственность вытекает из аксиомы объемности.

Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда   V² & x₁x₂( Y  Y). Назовем  обратным отношением класса Y.

2. Пусть φ есть v ( Y). Обозначим через R(Y) выражение (v ( Y)). Тогда  u (u R(Y) v ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно,  R(Y) = D().

Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных клас­сов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)

xyu (u  y  v (u  v & v  x)).

Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов мно­жества х является также множеством, т. е.  x (M((х))). Множество и (х) обозначают также через и v.

Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)

xyu (u  y  u  x).

Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем назы­вать множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы,  x (M(P (х))).

Примеры.

 P (0) = {0}.

 P ({0}) = {0, {0}}.

 P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая ак­сиома выделения.

А к с и о м а  S.

xY zu (u  z  u  x & u  Y).

Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y су­ществует множество, со­стоящее из элементов, общих для х и Y. Следо­вательно,  xY (M (x ∩ Y)), т. е. пересече­ние множества с классом есть множество.

Предложение  5.  xY (Y  x  M (Y))  (т. е. подкласс множе­ства есть множество).

Доказательство.  x (Y  x Y ∩ x = Y) и  x (M (Y ∩ x)).

Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответ­ст­вующий класс (предло­жение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих дан­ной предика­тивной формуле A(у), есть множество.

Однако для полного развития теории множеств потребуется ак­сиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько оп­ределений.

Определения

Un (X) означает          xyz (  X &   X  y = z).

(X однозначен.)

Fnc (X) означает  X  V² & Un (X).       (X есть функция.)

Y 1 X означает X ∩ (Y V). (Огра­ничение Х областью Y.)

Un₁ (X) означает Un (X) & Un ().      (X взаимно однозначен.)

X‘Y

Если существует единственное z такое, что   X, то z = X‘y; в про­тивном случае  X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значе­ние этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функ­циональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соот­ветствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение неко­торой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).

X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть об­ласть значений класса X, ограниченного областью Y.)

А к с и о м а  R. (Аксиома замещения.)

x (Un (X)  yu (u  y  v ( X & v  X))).

Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалент­ное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то об­ласть значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множест­вом, также есть множество.

Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных мно­жеств.

А к с и о м а  I. (Аксиома бесконечности.)

x (0  x & u (u  x  u  {u}  x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0  x, и если и  x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0}  x, {0, {0}}  x, {0, {0}, {0, {0}}}  x  и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1},  то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п  х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠   ≠ 3, 2 ≠ 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), акси­ому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом суще­ствования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x  x) ,т. е. х (х  Y  х  х). (Такой класс Y суще­ствует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула  х  х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокра­щенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X)  (X  Y  X  X)). Допустим M(Y). Тогда Y  Y  Y  Y, что, в силу тавтологии (A  A) A & &  A, влечет Y  Y  Y  Y. Отсюда по теореме дедукции получаем              M(Y)(Y  Y  Y  Y), а затем, в силу тавтологии (B  (A &  A)) B , получаем и  М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных пара­доксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).

Определения

X Irr Y означает y (y Y   X) & Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &

& X &X & X X).

(X  есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает  (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v

 X    X).

X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

(X упорядочивает Y.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &

             & Z ≠ 0 y (y  Z & v (v  Z & v ≠ y   X  &

             &   X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y  имеет наименьший в смысле отношения Х  элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а  в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция  f  такая, что для всякого непустого подмножества у множества х     f‘ y  y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й  ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я  а к с и о м а (Mult): Для любого мно­жества х непустых и попарно непересекающихся множеств, сущест­вует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м  м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

u (u  x  u ≠ 0  & v (v  x & v ≠ u v ∩ u = 0))

yu (u  x ₁w (w  u ∩ y)).

П р и н ц и п   в п о л н е   у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое мно­жество может быть вполне упорядочено. x y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): xy (x  y y  x).

Л е м м а  Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном мно­жестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.

xy ((y Part x) & u (u  x & y Tot u v (v  x &w (w  u w =

= v    y)))  v (v  x &w (w  x   y))).

Доказательство.

1.  (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х  α  и  y   β. Но так как α  β или β  α, то либо x  y, либо y  x.

3.  (W. O.)  Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и  х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и  (х).)

4.  Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u {и}. Пусть х₁ —область значении функции g. Легко видеть, что х₁ является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основа­нии Mult, для х₁ существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u  х, то                  и {и}  х₁  и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f‘ u = v является искомой выбираю­щей функцией для х.

5.  АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое мно­жество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выпол­нялось F‘0 = b и F‘α = f‘u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ α относительно упорядочения у, что v  х  и  v  F‘‘ α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v мно­жества F‘‘ β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не при­надлежащих F‘‘ β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однознач­ной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством мно­жества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть  g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α <₀ γ <₀ β, то           g‘α, g‘γ y. Поэтому множество g‘‘ β является y-цепью в x. Согласно условию, и x существует верхняя грань w множества g‘‘ β. Так как множество верхних граней множества F‘‘ β (= g‘‘ β), не содержащихся в g‘‘ β, пусто, то  w  g‘‘ β, и, следовательно, w является единственной верхней гранью множества g‘‘ β (ибо всякое множество может содер­жать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда следует, что w есть максимальный относительно упорядочения y элемент множества х. (Действительно, если           y и zх, то z должно быть верхней гранью g‘‘ β, что невозможно.)

6.  Zorn (W. O.). Пусть z есть множество, а X есть класс всех взаимно однозначных функций f таких, что D(f)Оп и R(f)z. Из теоремы Хартогса следует, что X есть множество. Очевидно также, что 0  X. Отношение  частично упорядочивает X. Каковы бы ни были две функции, принадлежащие одной и той же цени в X, одна из них является продолжением другой. Поэтому для любой цепи в Х объеди­нение всех принадлежащих ей функций есть снова взаимно однозначная функция, принадлежащая той же цепи. Следовательно, на основании Zorn, в X имеется максимальный элемент g, представляющий собой взаимно однозначную функцию, определенную на некотором порядковом числе я и принимающую значения из z. Допустим, что       z - g‘‘ α ≠ 0. Пусть b z - g‘‘ α, и положим f = g{}. Тогда f X и          gf, что противоречит максимальности g. Следовательно, g‘‘ α = z, т. е.         α  z. Посредством функции g отношение Е_α, вполне упорядочи­вающее множество α, преобразуется в некоторое отношение, вполне упорядочивающее z.

Заключение

Система аксиом теории множеств была создана для решения задачи обоснования базовых положений современной математики. Таким образом существующие разделы математики можно считать a priori непротиворечивыми, поскольку все их доказанные высказывания логически могут быть сведены к аксиомам.  В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение.

Список литературы

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.

2. Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960.

3. Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. Под ред. Ю.А. Шихановича. М.: «Просвещение», 1968.