Интеграл по комплексной переменной
Интеграл по комплексной переменной.
Определение
1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся
касательную.
Определение
2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа
гладких дуг.
Основные
свойства : Пусть на комплексной
плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной l, используя параметрическое задание кривой С зададим h(t) и x (t),
где h и x являются кусочно-гладкими
кривыми от действительной переменной t. Пусть a<= t<=b, причем a и b могут быть бесконечными числами .
Пусть x и h удовлетворяют условию : [x‘(t)]2 + [h‘(t)]2
¹ 0. Очевидно, что задание координат h =h(t) и x=x (t),
равносильно заданию комплексной функции z (t)= x (t) + ih(t).
Пусть в каждой точке z (t) кривой С определена некоторая функция f (z ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления z0 , z1 , z2 , …, z n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t,
т.е. t0, t1, …, t i+1 > t i.
Dz i
=z i
– z i-1. Составим
интегрируемую функцию S = åf (z*)Dz i . (1)
где z*– производная точки этой дуги.
Если при стремлении max |Dz i |® 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от
способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек z i , то этот предел называется интегралом от функции f (z ) по кривой С.
(2)
f (zi* ) = u (Pi*) + iv (Pi*)
(3)
где
Dz i = Dx (t) + iDh(t) (x (t) и h(t) -
действительные числа)
Подставив
(3) в (1) получим :
(4)
Очевидно,
что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов
действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при Dx и Dh ® 0 и предполагая,
что данные пределы существуют, получаем :
(5)
Заметим,
что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и
для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает,
что (2) существует и в случае неаналитичности функции f (x ).
Сформулируем
некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства
(5) следуют свойства :
О ограниченности интеграла.
При этом z = ( ).
7.) Пусть Cp – окружность радиуса r,
с центром в точке Z0. Обход
вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : z = Z0 + r×eij, 0 £ j £ 2p, dz = ir×eij dj .
Кусочно-гладкую замкнутую кривую
будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным
интегралом.
ТЕОРЕМА КОШИ.
В
качестве положительного обхода контура выберем направление при котором
внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от
направления движения :
Для действительной переменной имеют
место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные
производные 1-го порядка непрерывны в G, то
имеет место формула Грина:
( 8 )
ТЕОРЕМА
: Пусть в односвязной области G задана
аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г
целиком лежащему в G , равен нулю.
Доказательство
: из формулы (5) следует:
Т.к. f(z )
аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при
этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных
интегралов:
Аналогично :
По
условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба
криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :
ТЕОРЕМА
2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f() является
аналитической в односвязной области G,
ограниченной кусочно-гладким контуром C, и
непрерывна в замкнутой области G, то интеграл
от такой функции по границе С области G равен
нулю.
TEOPEMA 3
(Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :
Пусть f () является аналитической функцией
в многосвязной области G, ограниченной
извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см. рис.). Пусть f (z) непрерывна в замкнутой области G, тогда :
,
где С – полная граница области G, состоящая из
контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход
кривой С осуществляется в положительном направлении.
Неопределенный
интеграл.
Следствием формулы Коши является
следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим:
интеграл
по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит
от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z).
Аналитическая функция Ф(Z) называется
первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой
области имеет место равенство : Ф (Z) = f( Z).
Определение:
Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от
комплексной функции f(Z). Так
же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство
:
( 9)
Это
аналог формулы Ньютона-Лейбница.
Интеграл
Коши. Вывод формулы Коши.
Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет
установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках
области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.
Пусть функция f(Z) –
аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области
произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим
вспомогательную функцию (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной
области, заключенной между контурами Г и .
Согласно теореме Коши имеем :
По
свойствам интегралов :
(2 )
Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура
интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура.
Выберем в качестве g окружность gr с радиусом r
. Тогда:
(3)
Уравнение
окружности gr : z = Z0 + reij (4)
Подставив
(4) в (3) получим :
( 5 )
( 6 )
(7)
Устремим gr® 0, т.е. r®
0.
Тогда т.к. функция f(z) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а
следовательно и непрерывна в G, то для всех e>0
существует r>0, что для всех z из r–окрестности
точки Z0 выполняется | f(z) – f(Z0) | < e.
Подставив
( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :
Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :
(9)
Это интеграл Коши.
Интеграл,
стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(z) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре g , лежащем в области аналитичности функции f(z) и содержащем точку Z0 внутри.
Очевидно, что
если бы функция f(z) была
аналитична и в точках контура С, то в качестве границы g в формуле (9) можно было использовать контур С.
Приведенные
рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.
Следствие
: Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть
внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно
(9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл
равен нулю :
При Z0 Î
Г указанный интеграл не существует.
Интегралы,
зависящие от параметра.
Рассматривая интеграл Коши,
видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных :
переменной интегрирования z и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен
как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.
Пусть задана функция двух
комплексных переменных j (Z, z ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей
некоторой комплексной плоскости G. z=
x+ ih Î С. (С - граница G).
Взаимное
расположение области и кривой произвольно. Пусть функция j (Z, z )
удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений z Î С является аналитической в области G. 2)
Функция j (Z, z ) и ее производная ¶j/¶Z являются непрерывными функциями по совокупности
переменных Z и z при
произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных
предположениях :
Интеграл существует и является
функцией комплексной переменной. Справедлива формула :
(2)
Эта
формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла
путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.
ТЕОРЕМА.
Пусть f(Z)
является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках
области G существует производная любого порядка от
функции f(Z) причем
для ее вычисления имеет место формула :
(3)
С
помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической
функции f (Z) в любой точке Z области ее
аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и
соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.
ТЕОРЕМА
МОРЕРА. Пусть f(Z)
непрерывна в односвязной области G и интеграл от
этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен
0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.
Разложение
функции комплексного переменного в ряды.
Если
функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными
(до n-го порядка ), то существует разложение
этой функции в ряд Тейлора :
Итак,
если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная
вместе с производными до n-го порядка,
то:
(2) –
разложение в ряд Тейлора.
Формула
(2) записана для всех Z принадлежащих
некоторому кругу | Z-Z0 |<R, где R – радиус сходимости ряда (2).
Функция
f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является
аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не
раскладывается.
(3)
(4)
(5)
Причем | Z |
< R, R ® ¥ .
Формулы
ЭЙЛЕРА.
Применим
разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;
(6)
Аналогично
взяв Z = - ix получим :
(7)
Из
(6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :
(8)
В
общем случае :
(9)
Известно,
что :
(10)
Тогда
из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими
косинусами и синусами:
Ряд
ЛОРАНА.
Пусть
функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R,
тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.
ТЕОРЕМА
1.
Однозначная
функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в
сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.
Опишем
в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.
Возьмем
в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку z, тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования
интеграла Коши :
(13)
(11)
Поскольку
, то выражение можно представить как сумму
бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е. :
(12)
Представим
равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2i) и интегрируя по L при
фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который
равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :
Обозначая
, получим : (14)
Это
разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что
(15)
ТЕОРЕМА
2.
Если
однозначная функция f(Z)
аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется
неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :
(16)
где
h - ориентированная против часовой стрелки
окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если
обозначить (17) ,
получим :
(18)
ТЕОРЕМА
3.
(19)
f1 и f2 можно представить в виде двух рядов :
(20)
(21)
Ряд
(19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо
между r и R.
f1(Z) – правильная часть.
f2(Z)
– главная часть ряда Лорана.
Ряд
Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.
Классификация
изолированных особых точек. Вычеты.
Определение
1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G,
ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0 Î G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается.
Рабочая точка Z=Z0 функции f(Z), ограниченной
в круге |Z-Z0|<R называется изолированной, если функция f(Z) в каждой точке
этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z0. В зависимости от поведения функции f(Z) в
окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на :
Устранимые
особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число.
Если
для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом.
Если
не существует, то точка
Z=Z0
называется существенной особой точкой.
Если
С-n=0, то особая точка есть устранимая особая
точка.
Пусть f(Z0)=C0
и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n ® m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет
являться полюсом порядка m.
При
m>1 такой полюс будет называться простым.
, если m ® ¥ , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную
особенность.
Определение
2. Вычетом функции f(Z) в
круге |Z-Z0|<R, ограничивающем изолированную особую точку Z=Z0 называется
интеграл : , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком
расположенный в круге радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых точек.
Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана :
Если
полюс имеет кратность m ³ 1, то для определения вычетов используется
формула :
(3)
при
m=1 :
Основная
теорема о вычетах.
Пусть f(z)
аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak. g –произвольный, кусочно-гладкий
замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри
области G. В этом случае интеграл равен сумме вычетов
относительно a1, a2, …, ak и т.д. умноженный на 2pi :
(5)
Пример
:
Найти
вычет
Особые
точки : Z1=1, Z2= - 3.
Определим
порядок полюсов – все полюсы первого порядка.
Используем
формулу (3) :
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/