Типовые задачи по матанализу
Типовые задачи по матанализу
Исследовать на наибольшее и наименьшее
значение по заданному отрезку.
Решение:
Рассмотрим
фун-ю у=…. и исследуем ее на промеж при хэ[..;..] на наиб, наимень значения.
1)Д(у)=…
2)Найдем
производ фун-и у’=…
3)Д(у’)=….
4)Найдем
критич точки у’=0, ……=0
х1=…;х2=…-критич
точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв
равна нулю. Эти точки принадлежат (или нет) нашему промеж […;…].
х1э[…;…];
x2э[…;…].
Найдем
значения в кртич точках и на концах отрезка: f(…)=…;f(x1)=…;f(x2)=…;f(…)=…
Наиболь
знач фун-я принимает при х=…,а наимень при х=…
Max[…;…] f(x)=……;min[...;…] f(x)=….
Ответ:
наиб знач фун-я принимает при х=..,а наимень при х=…
Найти область определения фун-и.
Решение:
Рассмотрим
фун-ю f(x)=…
1)Д
(f) (т.к. многочлен)
2)Найдем
нули функции: f(x)=0,
…..=0
х1=…;х2=…-эти
точки разбив числовую прямую на промеж в каждом из которых фун-я сохран свой
знак в силу непрерывности.
На
промеж (-беск;х1):f(x)=…>0
и т.д.
Т.к.
функция приним все знач больше или равно нулю,то Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).
Ответ:
Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).
Исследовать на монотонность.
Решение:
Рассмотрим
фун-ю f(x)=…
1)Д
(f)=…..
2)Находим
производ f’(x)=….
3)Приравниваем
произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0
х1=…;х2=…-критич
точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв
равна нулю.
Эти
точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная
сохр свой знак в силу непрерывности.
+ x1 - x2
+
На
промеж (-беск;х1):f(x)=…>0
и т.д.
4)Т.к.
в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (-беск; x1]$ [x2;+беск)и убывает на промеж [x1 ;х2].
Ответ:
возростает на промежетке (-беск; x1]$
[x2;+беск) и убывает на промеж [x1 ;х2].
Исследовать
на экстремум.
Решение:
Рассмотрим
фун-ю f(x)=…
1)Д
(f)=…..
2)Находим
производ f’(x)=….
х1=…;х2=…-критич
точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв
равна нулю.
Эти
точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная
сохр свой знак в силу непрерывности.
- x1 + x2
-
На
промеж (-беск;х1):f(x)=…>0
и т.д.
4)В
точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс,значит эта точка минимума. В
точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка
максимума.
Хmin=х1,Уmin(х1)=…; Хmax=х2,Уmax(х2)=…
Ответ:
Хmin=х1,Уmin(х1)=…-минимум фун-и; Хmax=х2,Уmax(х2)=…-максимум фун-и.
Исследовать
фун-ю и построить график.
Решение:
Рассмотрим
фун-ю f(x)=…
1)Д
(f)=…..
2)
f(x)-нечетная
(четная, ни нечетная), так
как f(-x)=…=-f(x)
3)Точки
пересечения с осями.ОУ:х=0,у=…(х;у)
ОХ: у=0,х=…(х;у)
4)Находим
производ f’(x)=….
5)Приравниваем
производ к нулю и
находим
критич точки: f’(x)=0, ……=0
х1=…;х2=…-критич
точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв
равна нулю.
Эти
точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная
сохр свой знак в силу непрерывности.
Х
(-беск;x1) x1 (х1;х2) x2 (x2;+беск)
f(x) … …
min
max
f(x1)=…; f(x2)=….
На
промеж (-беск;х1):f(x)=…<0
и т.д.
6)
В точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс, значит эта точка минимума.
В точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка
максимума.
7)
Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (x1;x2) и убывает на
промеж (-беск;х1)$(x2;+беск).
СТРОИШЬ
ГРАФИК
Ответ:
все полученные значения.
Решить методом интервалов.
Решите
нер-во: …><0
Решение:
1)Рассмотрим
функцию и решим ее методом интервалов ...><0.
2)Д(у)=…и
ОДЗ
3)Находим
нули фун-и f(x)=0,
…..=0
x1=…,x2=…-эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в
каждом из которых фун-я сохраняет свой знак в силу непрерывности.
+ x1
- x2 +
4)f(..)=...>0;
f(..)=…<0; f(..)=…>0;
Т.к.
фун-я принимает неотриц-е (неполож.) значения на промеж.
(-бескон;…),(…,+бескон), то решением нерав-ва будет их объед-е.
Составить ур-е касат-й в точке
х0=..Найдите коор-ты всех точек граф. этой фун-и параль-но найденной касатель.
Решение:
у=f”(x0)(x-x0)+f(x0)-общий вид
ур-я касатель.
Рассмотрим
фун-ю f(х)=…
1)Д(f)=…..
2)Найдем
произв. фун-ии f(х)=…
f’(х)=….
3)Д(f’)=….
4)f’(x0)=…;f(x0)=…След-но
ур-е касатель имеет вид: y=f”(x0)(x-x0)+f(x0)
Производная
фун-и в точке х0=.., есть угловой коэф-т касатель провед к граф фун-и в точке
(х0;f(x0)) т.к.
надо найти парал-е касатель, значит угловые коэф-ты долны быть одинаковыми(т.е.
равны).
Дополнительно:
у=f’(x0)(x-x0)+f(x0) и у=кх+в
Ответ:у=ур-е
касатель (х0;f(x0))
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.shpori4all.ru/