Экономико-математические методы и модели в учете
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
РОССИЙСКАЯ
ОТКРЫТАЯ АКАДЕМИЯ ТРАНСПОРТА
Факультет
«Экономический»
Кафедра
«Учет, анализ и аудит»
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УЧЕТЕ»
Выполнил:
студент 3-го года
обучения
З/О 4 курса
Демкин
А. А.
Учебный
шифр: 1010-п/БУ-1213
Проверил:
Ст. п. З. В. Бабаева
Москва 2013
Задание 1
Составить уравнение модели управления запасами и
определить её параметры.
Вариант 3. На некотором станке производятся
детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства
продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам
специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну
деталь. Стоимость производства одной детали составляет 1000 руб. Каким должен
быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой
следует запускать производство этих партий, каковы общие затраты?
Модель планирования экономического размера
партии
Модель Уилсона, используемую для моделирования
процессов закупки продукции у внешнего поставщика, можно модифицировать и
применять в случае собственного производства продукции. На рис.1 схематично
представлен некоторый производственный процесс. На первом станке производится
партия деталей с интенсивностью l деталей в единицу
времени, которые используются на втором станке с интенсивностью ν,
дет./ед.
t.
Входные параметры модели планирования
экономического размера партии
λ - интенсивность
производства продукции первым станком, ед. тов./ед. t;
ν - интенсивность
потребления запаса, ед. тов./ед. t;
s - затраты на
хранение запаса, руб./ед. тов.· ед. t;
K - затраты на
осуществление заказа, включающие подготовку (переналадку) первого станка для
производства продукции, потребляемой на втором станке, руб.;
tп - время
подготовки производства (переналадки), ед. t.
Выходные параметры модели планирования
экономического размера партии
Q - размер заказа,
ед. тов.;
L - общие затраты на
управление запасами в единицу времени, руб./ед. t;
τ - период запуска в
производство партии заказа, т.е. время между включениями в работу первого
станка, ед. t;
h0 - точка заказа,
т.е. размер запаса, при котором надо подавать заказ на производство очередной
партии, ед. тов.
График циклов изменения запасов в модели
планирования экономичного размера партии
- в течение времени t1
работают оба станка, т.е. продукция производится и потребляется одновременно,
вследствие чего запас накапливается с интенсивностью (λ
- ν);
- в течение времени t2
работает только один станок, потребляя накопившийся запас с интенсивностью ν;
Формулы модели экономичного размера партии
где * - означает оптимальность
размера заказа;
λ=2000 шт./мес.=24000 шт./год
ν=500 шт./мес.=6000 шт./год
s=0,5
руб./год
К=1000 руб.
Задание 2
Модель рынка. Модель Вальраса.
Построить модель Вальраса,
определить равновесную цену и количество сделок, при которых торговые операции
становятся убыточными.
Заданы параметры функции спроса D и функции
предложения S, начальная
цена P0:
Параметры
функции
|
вариант
|
|
3
|
a
|
54
|
A
|
2.4
|
b
|
4
|
B
|
2.1
|
P0
|
2
|
Модель Вальраса - это простейшая модель
регулирования рынка через механизм изменения цен. Предложение на рынке S
ориентированно на спрос D,
S→D,
и в идеале должно быть обеспечено равенство предложения и спроса:
Это равенство достигается через цены, которые,
если спрос превышает предложение, т.е. D>S,
начинают расти до тех пор, пока не будет удовлетворен спрос, т.е. пока D
не станет равно S. Если же
предложение превышает спрос, т.е. S>D,
то цены начинают падать, предложение снижается до тех пор, пока вновь не
установится равенство S=D.
И процесс повторяется.
Построение модели Вальраса основывается на
изучении спроса и предложения на рынке.
Функция спроса D
в данной задаче линейная и имеет вид:
=a
- APt
где a,
A - постоянные
параметры,
Pt - цены на
момент времени t.
Функция предложения S
также линейная и имеет вид:
=b
+ BPt-1
где b,
B - постоянные
параметры,
Pt-1 - цены на
момент времени t-1.
Траектория изменения цен и количества сделок
(модель Вальраса)
Если при построении функции спроса D
ориентируются на текущие цены Pt,
то при построении модели предложения S
ориентируются на цены предшествующего периода Pt-1,
так как сегодняшнее предложение реагирует на цены с некоторым отставанием во
времени.
Построение модели начинают с расчета количества
предлагаемых сделок (предложений) при заданной цене P0:
1=b
+ BP0
Зная количество сделок, рассчитывают цену спроса
при данном предложении, т.е. спрос приравнивается к предложению Dt=St,
из функции спроса:
1=a
- AP1
Определяют
1=(a
- D1)/A
Затем рассчитывают предложение (количество
сделок) следующего периода t2,
исходя их цены предшествующего периода t1
2=b
+ BP1
и цены спроса для t2,
принимая, что количество сделок D2=S2
2=(a
- D2)/A
Расчет представлен в таблице:
t
|
Pt=(a-Dt)/A
|
St=b+BPt-1
|
Dt=St
|
Pt=(a-Dt)/A
|
ε
|
0
|
|
|
|
2
|
|
1
|
2,00
|
8,20
|
8,20
|
19,08
|
17,08
|
2
|
19,08
|
44,08
|
44,08
|
4,14
|
-14,95
|
3
|
4,14
|
12,68
|
12,68
|
17,21
|
13,08
|
4
|
17,21
|
40,15
|
40,15
|
5,77
|
-11,44
|
5
|
5,77
|
16,12
|
16,12
|
15,78
|
10,01
|
6
|
15,78
|
37,15
|
37,15
|
7,02
|
-8,76
|
7
|
7,02
|
18,75
|
18,75
|
14,69
|
7,67
|
8
|
14,69
|
34,85
|
34,85
|
7,98
|
-6,71
|
9
|
7,98
|
20,76
|
20,76
|
13,85
|
5,87
|
10
|
13,85
|
33,09
|
33,09
|
8,71
|
-5,14
|
11
|
8,71
|
22,30
|
22,30
|
13,21
|
4,49
|
12
|
13,21
|
31,74
|
31,74
|
9,28
|
-3,93
|
13
|
9,28
|
23,48
|
23,48
|
12,72
|
3,44
|
14
|
12,72
|
30,71
|
30,71
|
9,71
|
-3,01
|
15
|
9,71
|
24,38
|
24,38
|
12,34
|
2,63
|
16
|
12,34
|
29,92
|
29,92
|
10,04
|
-2,31
|
17
|
10,04
|
25,07
|
25,07
|
12,05
|
2,02
|
18
|
12,05
|
29,31
|
29,31
|
10,29
|
-1,76
|
19
|
10,29
|
25,60
|
25,60
|
11,83
|
1,54
|
20
|
11,83
|
28,85
|
28,85
|
10,48
|
-1,35
|
21
|
10,48
|
26,01
|
26,01
|
11,66
|
1,18
|
22
|
11,66
|
28,49
|
28,49
|
10,63
|
-1,03
|
23
|
10,63
|
26,32
|
26,32
|
11,53
|
0,91
|
24
|
11,53
|
28,22
|
28,22
|
10,74
|
-0,79
|
25
|
10,74
|
26,56
|
26,56
|
11,43
|
0,69
|
26
|
11,43
|
28,01
|
28,01
|
10,83
|
-0,61
|
27
|
10,83
|
26,74
|
26,74
|
11,36
|
0,53
|
28
|
11,36
|
27,85
|
27,85
|
10,89
|
-0,46
|
29
|
10,89
|
26,88
|
26,88
|
11,30
|
0,41
|
30
|
11,30
|
27,73
|
27,73
|
10,95
|
-0,36
|
31
|
10,95
|
26,98
|
26,98
|
11,26
|
0,31
|
32
|
11,26
|
27,64
|
27,64
|
10,98
|
-0,27
|
33
|
10,98
|
27,07
|
27,07
|
11,22
|
0,24
|
34
|
11,22
|
27,57
|
27,57
|
11,01
|
-0,21
|
35
|
11,01
|
27,13
|
27,13
|
11,20
|
0,18
|
36
|
11,20
|
27,51
|
27,51
|
11,04
|
-0,16
|
37
|
11,04
|
27,18
|
27,18
|
11,18
|
0,14
|
38
|
11,18
|
27,47
|
27,47
|
11,05
|
-0,12
|
39
|
11,05
|
27,21
|
27,21
|
11,16
|
0,11
|
40
|
11,16
|
27,44
|
27,44
|
11,07
|
-0,09
|
41
|
11,07
|
27,24
|
27,24
|
11,15
|
0,08
|
42
|
11,15
|
27,41
|
27,41
|
11,08
|
43
|
11,08
|
27,26
|
27,26
|
11,14
|
0,06
|
44
|
11,14
|
27,39
|
27,39
|
11,09
|
-0,05
|
45
|
11,09
|
27,28
|
27,28
|
11,13
|
0,05
|
46
|
11,13
|
27,38
|
27,38
|
11,09
|
-0,04
|
47
|
11,09
|
27,29
|
27,29
|
11,13
|
0,04
|
48
|
11,13
|
27,37
|
27,37
|
11,10
|
-0,03
|
49
|
11,10
|
27,30
|
27,30
|
11,12
|
0,03
|
50
|
11,12
|
27,36
|
27,36
|
11,10
|
-0,02
|
51
|
11,10
|
27,31
|
27,31
|
11,12
|
0,02
|
52
|
11,12
|
27,35
|
27,35
|
11,10
|
-0,02
|
53
|
11,10
|
27,31
|
27,31
|
11,12
|
0,02
|
54
|
11,12
|
27,35
|
27,35
|
11,10
|
-0,01
|
55
|
11,10
|
27,32
|
27,32
|
11,12
|
0,01
|
56
|
11,12
|
27,35
|
27,35
|
11,11
|
-0,01
|
57
|
11,11
|
27,32
|
27,32
|
11,12
|
0,01
|
58
|
11,12
|
27,34
|
27,34
|
11,11
|
-0,01
|
59
|
11,11
|
27,33
|
27,33
|
11,11
|
0,01
|
60
|
11,11
|
27,34
|
27,34
|
11,11
|
-0,01
|
Решение будет закончено, когда цена достигнет
равновесия и разница между Pn
- Pn-1 станет
бесконечно малой величиной ε, т.е.
Pt практически будет
равна Pt-1:
*=Pt=Pt-1
Значение цены P*
называют равновесной ценой.
Задание 3
Найти решение оптимизационной задачи, используя
информационную технологию поиска решений.
Вариант 3. На заводе выпускают изделия четырех
типов. От реализации 1 ед. каждого изделия завод получает прибыль
соответственно 1, 2, 3, 1 д.е. На изготовление изделия расходуются ресурсы трех
типов: энергия, материалы, труд. Данные о технологическом процессе представлены
в таблице:
Ресурсы
|
Затраты
ресурсов на единицу изделия
|
Затраты
ресурсов, ед.
|
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
|
Энергия
|
2
|
1
|
3
|
1
|
12
|
Материалы
|
1
|
2
|
1
|
2
|
8
|
Труд
|
3
|
3
|
1
|
3
|
15
|
Спланируйте производство изделий так, чтобы
прибыль от их реализации была наибольшей.
Оптимизационные модели отражают в математической
форме смысл экономической задачи. В общем виде математическая постановка задачи
линейного программирования (ЗЛП) состоит в определении наибольшего или
наименьшего значения целевой функции при заданных ограничениях:
Вектор Х, компоненты которого
удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, называют планом или
допустимым решением ЗЛП.
Microsoft Excel
обеспечивает решение задач линейного и нелинейного программирования
ограниченной размерности. Модель задачи задается в диалоговом окне Поиск
решения. Модель использует целевую функцию, которая записывается в виде формулы
в отдельной ячейке. Для целевой функции указывается максимизация, минимизация
или равенство фиксированному значению. В процессе поиска решений изменяются
значения в указанных ячейках, соответствующих переменным при соблюдении
ограничений.
Поиск оптимальной производственной
программы по критериям максимума суммарной прибыли. Ограничение - расход
ресурсов на выпуск продукции. Задача относится к категории оптимизационных,
поскольку допускает множество решений. Выбор оптимального решения выполняется с
помощью целевой функции - максимума прибыли. Коэффициенты целевой функции -
прибыль на единицу продукции. Ограничения - запас ресурсов, необходимых для
изготовления продукции. Дополнительное ограничение на объем выпуска каждого
вида продукции (или некоторых их них) - целые числа.
Ресурсы
|
Затраты
ресурсов на единицу изделия
|
Затраты
ресурсов, ед.
|
Потребности
|
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
|
|
Энергия
|
2
|
1
|
3
|
1
|
12
|
11
|
Материалы
|
1
|
2
|
1
|
2
|
8
|
7
|
Труд
|
3
|
3
|
1
|
3
|
15
|
9
|
Доход
|
1
|
2
|
3
|
1
|
|
|
Результаты
|
0
|
2
|
3
|
0
|
|
|
Цель
|
13
|
|
|
|
|
|
Microsoft
Excel 11.0 Отчет по результатам
|
|
|
|
Рабочий
лист: [расчеты.xls]задание 3
|
|
|
|
Отчет
создан: 27.02.2013 19:47:12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Целевая
ячейка (Максимум)
|
|
|
|
|
|
Ячейка
|
Имя
|
Исходное
значение
|
Результат
|
|
|
|
$B$8
|
Цель
I
|
13
|
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменяемые
ячейки
|
|
|
|
|
|
Ячейка
|
Имя
|
Исходное
значение
|
Результат
|
|
|
|
$B$7
|
Результаты
I
|
0
|
0
|
|
|
|
$C$7
|
Результаты
II
|
2
|
2
|
|
|
|
$D$7
|
Результаты
III
|
3
|
3
|
|
|
|
$E$7
|
Результаты
IV
|
0
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничения
|
|
|
|
|
|
Ячейка
|
Имя
|
Значение
|
Формула
|
Статус
|
Разница
|
|
$G$3
|
Энергия
Потребности
|
11
|
$G$3<=$F$3
|
не
связан.
|
1
|
|
$G$4
|
Материалы
Потребности
|
7
|
$G$4<=$F$4
|
не
связан.
|
1
|
|
$G$5
|
Труд
Потребности
|
9
|
$G$5<=$F$5
|
не
связан.
|
6
|
|
$B$7
|
Результаты
I
|
0
|
$B$7=целое
|
связанное
|
0
|
|
$C$7
|
Результаты
II
|
2
|
$C$7=целое
|
связанное
|
0
|
|
$D$7
|
Результаты
III
|
3
|
$D$7=целое
|
связанное
|
0
|
|
$E$7
|
Результаты
IV
|
0
|
$E$7=целое
|
связанное
|
0
|
|
$B$7
|
Результаты
I
|
0
|
$B$7>=0
|
связанное
|
0
|
|
$C$7
|
Результаты
II
|
2
|
$C$7>=0
|
не
связан.
|
2
|
|
$D$7
|
Результаты
III
|
3
|
$D$7>=0
|
не
связан.
|
3
|
|
$E$7
|
Результаты
IV
|
0
|
$E$7>=0
|
связанное
|
0
|
Вывод: производить следует изделия II
и III, ни один ресурс не
является дефицитным, запас трудовых ресурсов значительно превышает потребности.
Задание 4
экономический планирование
равновесный цена
Даны коэффициенты прямых затрат aij
и конечный продукт Yi
для трехотраслевой экономической системы.
Вариант
|
aij
|
Yi
|
3
|
0,2
|
0,1
|
0,2
|
100
|
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
300
|
|
0,1
|
0,1
|
0,5
|
200
|
Требуется определить: коэффициенты полных
затрат, вектор валового выпуска, условно чистую продукцию. Заполнить схему
межотраслевого баланса.
Модель межотраслевого баланса
(модель Леонтьева или модель «затраты - выпуск»)
Указанная модель относится к самым простым
вариантам моделей межотраслевого баланса. Алгебраически она сводится к решению
системы линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат
на производство продукции. Рассматривая схему межотраслевого баланса в стоимости
выражения по столбцам, можно заметить, что итог материальных затрат любой
потребляющей отрасли и её условно чистой продукции равен валовой продукции этой
отрасли.
Схема межотраслевого баланса
Производящие
отрасли
|
Потребляющие
отрасли
|
Конечный
продукт, Yi
|
Валовый
продукт, Xi
|
1
|
73.50
|
70.94
|
123.08
|
100
|
367.52
|
2
|
73.50
|
212.82
|
123.08
|
300
|
709.40
|
3
|
36.75
|
70.94
|
307.69
|
200
|
615.38
|
Условно
чистая прибыль
|
183.76
|
354.70
|
61.54
|
600.00
|
|
Валовый
продукт
|
|
|
|
|
1692.31
|
Вывод можно записать в виде:
(1)
- условно чистая продукция, равная
сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода отрасли j;
- конечная продукция.
Соотношение (1) охватывает систему
из n уравнений,
отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей. Рассматривая схему по
строкам, замечаем, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме
материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции
данной отрасли:
(2)
Уравнения (2) называются уравнениями
распределения продукции отраслей материального производства по направлениям
использования. Балансовый характер таблицы заключается в том, что:
Основу экономико-математической
модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица прямых затрат.
Коэффициент прямых затрат показывает, сколько необходимо единиц продукции
отрасли i для
производства единиц продукции отрасли j, если
учитывать только прямые затраты:
(3)
Подставляя (3) в балансовое
соотношение (2), получим:
(4)
или в матричной форме:
=AX+Y (5)
С помощью этой модели можно
выполнять три вида плановых расчетов:
· задавая для каждой отрасли величины
валовой продукции, можно определить величины конечной продукции:
=(E-A)X (6)
· задавая величины конечной продукции
всех отраслей, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли:
=(E-A)-1Y (7)
· задавая для ряда отраслей величины
валовой продукции, а для всех остальных отраслей - объемы конечной продукции,
можно определить величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой
продукции вторых.
В формулах (6) и (7) символ Е обозначает
единичную матрицу порядка n,
а матрицу (Е-А)-1 - матрицу, обратную (Е-А). Обозначим обратную матрицу через
В=(Е-А)-1, тогда систему уравнений (7) можно переписать в виде X=BY.
Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они
показывают, сколько всего нужно произвести продукции отрасли i
для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции отрасли j.
1
|
0
|
0
|
|
73.5043
|
70.9402
|
123.077
|
|
Xij
|
0
|
1
|
0
|
|
73.5043
|
212.821
|
123.077
|
|
|
0
|
0
|
1
|
|
36.7521
|
70.9402
|
307.692
|
|
|
|
|
|
|
183.761
|
354.701
|
553.846
|
1092.31
|
сумма
Xij
|
0.8
|
-0.1
|
-0.2
|
|
183.761
|
354.701
|
61.5385
|
600.00
|
Zj
|
-0.2
|
0.7
|
-0.2
|
|
|
|
|
1692.31
|
Zj+Xij
|
-0.1
|
-0.1
|
0.5
|
|
|
|
|
|
|
|
1.41026
|
0.29915
|
0.68376
|
обратная
матрица
|
|
0.51282
|
1.62393
|
0.8547
|
|
|
0.38462
|
0.38462
|
2.30769
|
|
|
|
|
|
|
|
367.521
|
Xi
|
|
|
|
709.402
|
|
|
|
|
615.385
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1692.31
|
|
сумма
Xi
|
|
|
Литература
1. Бережная
Е. В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем;
Уч. Пособие - М.: Финансы и статистика, 2006.
2. Левин
А.Г., Горбунов Е.А., Орехов Н.А./ Под ред. Н.А Орехова. Математические методы и
модели в экономике : Уч. пособие - М:.ЮНИТИ, 2004.
. Маркин
Ю.П. Математические методы и модели в экономике : Уч. пособие - М:. Высшая
школа, 2007.