Системный анализ структуры и функционирования производственного отдела Белгородского филиала АПХ 'Мираторг'

Системный анализ структуры и функционирования производственного отдела Белгородского филиала АПХ 'Мираторг'

ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение высшего профессионального образования

«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(НИУ «БелГУ»)

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ

КАФЕДРА СОЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Системный анализ структуры и функционирования производственного отдела Белгородского филиала АПХ "Мираторг"

Курсовая работа

студентки дневного отделения 2 курса группы 05001207

специальности «Таможенное дело»

по дисциплине «Основы системного анализа»

Дроботовой Киры Сергеевны

 

 

 

Белгород 2014

Введение

Актуальность данной темы исследования обусловлено тем, что сельское хозяйство, которое зародилось еще несколько столетий назад, активно начало набирать свою популярность в России уже в 16 веке и в настоящем времени играет важную роль как в экономике нашей страны, так и за ее пределами. Поэтому очень важно поддерживать развитие этого сектора на высоком уровне, тем более, что Россия находится на первом месте по количеству и качеству сельскохозяйственных земель. Сельское хозяйство России - отрасль российской экономики <#"827086.files/image001.gif">

Рис. 1. Структура производственного отдела Белгородского филиала АПХ «Мираторг» (a_1,a_2,…a₁₆-элементы системы; L₁,L_2,…L₁₅-связи между элементами)

Изобразим данную структуру с помощью графа. Рис.2 Граф-это математическая модель структуры. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи - как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах. В нашем случае граф является ориентированным, так как все его дуги имеют направление.

Рис.2. Граф, построенный на основе данных о структуре производственного отдела АПХ «Мираторг» (a_1,a_2,…a₁₆-элементы системы (вершины орграфа); L₁,L_2,…L₁₅-связи между элементами)

Матрица смежности вершин орграфа А - это квадратная матрица размером NxN (N - количество вершин в графе), заполненная единицами и нулями по следующему правилу:

[a_ij]:a_ij=1,если есть дуга, ведущая из v_i в v_j;

a_ij=0 в противном случае.

Построим матрицу смежности вершин нашего орграфа. Табл.2

Таблица 2 Матрица смежности вершин

	а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9	а10	а11	а12	а13	а14	а15	а16	P
а1	0	1L1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
а2	0	0	1L2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
а3	0	0	0	1L3	1L4	1L5	1L6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4
а4	0	0	0	0	0	0	0	1L7	1L8	1L9	0	0	0	0	0	0	3
а5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1L10	0	0	1
а6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1L11	0	1
а7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1L12	1
а8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1L13	0	0	0	0	0	1
а9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1L14	0	0	0	0	1
а10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1L15	0	0	0	1
а11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а13	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а14	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а16	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
P	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Pа₁=1; Pа₂=2; Pа₃=5; Pа₄=4; Pа₅=2; Pа₆=2; Pа₇=2; Pа₈=2; Pа₉=2; Pа₁₀=2; Pа₁₁=1; Pа₁₂=1; Pа₁₃=1; Pа₁₄=1; Pа₁₅=1; Pа₁₆=1. Таким образом, а₃- вершина с максимальной степенью. Изолированных вершин нет.

Таблица 3 Матрица смежности дуг орграфа

	L1	L2	L3	L4	L5	L6	L7	L8	L9	L10	L11	L12	L13	L14	L15
L1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L2	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L3	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0
L4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
L5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
L6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
L7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
L8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
L9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
L10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L13	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L14	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Матрица инциденций орграфа - прямоугольная матрица, размерности nЧm, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы дугам орграфа. Элементы r_ij=1, если дуга u_jисходит из i-той вершины. r_ij=-1, если дуга заходит в i-ую вершину и r_ij=0 в остальных случаях. Построим матрицу инцидентности для нашего орграфа. Табл.4

Таблица 4 Матрица инциденций

	l1	l2	l3	l4	l5	l6	l7	l8	l9	l10	l11	l12	l13	l14	l15
а1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а2	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а3	0	1	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а4	0	0	1	0	0	0	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	0
а5	0	0	0	1	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0
а6	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0
а7	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	-1	0	0	0
а8	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	-1	0	0
а9	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	-1	0
а10	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	-1
а11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
а12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
а13	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
а14	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
а15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
а16	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1

Раздел III. Практическая часть. Решение конкретных задач линейного программирования

.1 Задача организации рабочего времени

В процессе функционирования любого предприятия очень важен и необходим процесс планирования, для того чтобы получить максимальную прибыль и минимизировать затраты. Например, производственный отдел Белгородского филиала АПХ «Мираторг» имеет несколько видов работ, которые необходимо выполнить в течении рабочего времени, общий фонд оплаты труда ограничен, материальные затраты, связанные с выполнением каждого вида работ, общий фонд материальных затрат тоже ограничены. Так же известна прибыль, получаемая при выполнении работы каждого вида в течении одного часа. И нужно найти такое распределение рабочего времени, чтобы суммарная прибыль была максимальной. Именно такого рода задачи решаются в теории линейного программирования.

Планирование - важнейший этап экономической и управленческой деятельности. Объектом планирования может быть деятельность подразделения или всего предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец, государства.

Постановка задачи планирования в общем случае выглядит следующим образом:

-   имеются некоторые плановые показатели: X, Y, ...;

-   имеются некоторые ресурсы: R1, R2, ..., за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты;

-   имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.

Задача оптимального планирования заключается в определении значений плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели.

Задача оптимального планирования рабочего времени имеет следующую формулировку: Имеется nразличных видов работ А₁, А_2,…А_n, которые могут выполняться в течении рабочего времени Т. Оплата каждого вида работ составляет u_1, u₂…u_n в час. Общий фонд оплаты труда ограничен величиной U. Материальные затраты, связанные с выполнением каждого вида работ, составляют V_1,V_2,…V_n в час. Общий фонд материальных затрат ограничен величиной V. Прибыль получаемая при выполнении работы каждого вида в течении одно часа, составляет C₁,C₂,…C_n. Требуется найти такое распределение рабочего времени Т, чтобы суммарная прибыль была максимальной.

Нахождение оптимального распределения рабочего времени сводится к решению задачи линейного программирования, общая постановка которой имеет вид:

 - целевая функция

 (i=1,2,…k) - ограничение типа неравенств

  (i=k+1,…m) - ограничение типа неравенств

 (j=1,2…s) условия не отрицательности переменных

Вектор X=(x₁,x₂…x_n),удовлетворяющей ограничениям задачи линейного программирования называется планом(или допустимым решением)

План X^*=(х₁^*,х₂^*…х_n^*), при котором целевая функция достигает своего максимального значения, называется оптимальным планом.

Теорема (о достижимости оптимального значения целевой функции в вершине многогранника решений)

Целевая функция основной задачи линейного программирования достигает своего максимального значения в некоторой вершине многогранника решений.

Если основная задача линейного программирования имеет несколько оптимальных планов, то их линейная комбинация тоже оптимальный план.

Следствие. Оптимальный план(если он существует) может быть найден путем полного перебора вершин.

Таблица 5 Условие задачи

	u	v	C
A1	35	25	30
A2	30	45	25
T	125 час.
U	1000 у.е
V	1500 у.е

 

Решение:

  ₁t₁+U₂ t₂≤1000₁ t₁+V₂ t₂ ≤1500₁ +t₂ ≤125₁t₁+C₂ t₂→max

1)    35t₁+30t₂=1000₁=0; t₂=33,3₂=0; t₁=28,57

)      25t₁+45t₂=1500

t₁=0; t₂=33,3₂=0; t₁=60

3)     30t₁+25t₂=0

t₁=0; t₂=0₂=-6; t₁=5

)       t₁+t₂=125

t₁=0; t₂=125₂=0; t₁=125

Рис.3. Графическое решение задачи планирования рабочего времени. Точка (28,571;0) является оптимальным планом.

Рис.4. Решение задачи организации рабочего времени в Excel

Результаты, полученные разными способами совпадают, значит решение верно. Следовательно, точка оптимально плана (28,571;0)

3.2 Задача о назначении

Производственный отдел Белгородского филиала АПХ «Мираторг» имеет огромный штат сотрудников различной классификации, которые занимают какую-то определенную должность и соответственно выполняют какую-то определенную работу. Но к примеру если директор производственного отдела решит расширить производство или развить другой вид продукции на базе предприятия появятся новые рабочие места и перед начальством будет стоять вопрос о назначении того или иного сотрудника на определенное рабочее место. Такого рода задачи рассматриваются в теории линейного программирования и относятся к типу целочисленных транспортных задач.

Задача о назначениях имеет следующую формулировку:

Для выполнения работ B₁,B₂,…В_n требуется соответственно b₁,b_2,…,b_n работников. Имеющиеся работники по своей квалификации могут быть разбиты на группы А₁,А₂,…А_m, причем количество работников каждой из квалификаций составляет соответственно а₁,а₂,…а_m чел. Необходимо составить распределение работников по работам с учетом возможных дополнительных условий:

-   Несовпадение количества имеющихся и количества требуемых работников и при этом требование непременного выполнения определенных работ (приоритетные работы) или полной загрузки работников некоторой квалификации (приоритетные работники);

-   Запрет на выполнении некоторых работ работниками определенных квалификаций;

-   Ограничения по количеству (не больше или не меньше) на число работников с данной квалификацией, привлекаемых для выполнения некоторых работ.

-   Эффективность выполнения работником каждой из работ зависит от уровня его квалификации. Экспертами составлена таблица, в которой величина c_ij (i=1,…m;j=1,…n) представляет собой выраженная в баллах эффективность выполнения работником, имеющим квалификацию A_i, работы типа B_j. Критерием качества распределения работ является выраженная в баллах суммарная эффективность выполнения работ всеми работниками в соответствии с данным распределением.

Задача о назначениях является дискретным аналогом транспортной задачи линейного программирования. Транспортная задача является частным случаем основной задачи линейного программирования ,следовательно, минимальное значение целевой функции достигается в вершине многогранника решений (опорном плане).

Если опорный план имеет n+m-1 отличных от нуля переменных, то он называется невырожденным, а если меньше - то вырожденным. Учет структуры ограничений транспортной задачи позволил разработать специальные методы построения опорных планов более эффективные, чем универсальные методы, используемые в общей теории линейного программирования. Рассмотрим четыре наиболее часто применяемых на практике метода: метод северо-западного угла, метод минимального элемента, метод двойного предпочтения, метод Фогеля.

Таблица 6 Условие задачи

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	4	5	1	1	6
А2	1	2	1	1	4
А3	2,5	1	3	3	5
bj	4	5	5	2	16 15
Дополнительные условия:		а)для выполнения работы В1 должно быть направлено не более 3 работников квалификации А3 б) для выполнения работы В2 не могут быть привлечены работники квалификации А2

Данная модель является открытой (т.к b_ja_i), следовательно нам нужно преобразовать эту модель в закрытую. Т.к в нашей модели недостаток груза, нам нужно добавить фиктивного поставщика с нулевыми тарифами. Дополнительное условие, что для выполнения работы В₂ не могут быть привлечены работники квалификации А₂ не выполняется, поэтому в клетке (А₂;В₂) ставится штраф -1000.

Таблица 7 Условие задачи после проведенных изменений (описанных выше)

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4	-5	-1	-1	6
А2	-1	-2 1000	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3	-3	5
А4	0	0	0	0	1
bj	4	5	5	2	16 16

Метод северо-западного угла

Метод «северо-западного угла» - метод (правило) получения допустимого начального решения транспортной задачи. Этот метод был предложен Данцигом в 1951 году и назван Чарнесом и Купером «правилом северо-западного угла». Метод состоит в последовательном переборе строк и столбцов транспортной таблицы, начиная с левого столбца и верхней строки, и выписывании максимально возможных отгрузок в соответствующие ячейки таблицы так, чтобы не были превышены заявленные в задаче возможности поставщика или потребности потребителя.

Таблица 8 Решение задачи методом северо-западного угла

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4	-5 2			6(2,-)
А2		-2 1000 3	-1 1		4(1,-)
А3			-3 4	-3  1	5 (1,-)
А4				0 1	1 (-)
bj	4(-)	5(3,-)	5(4,-)	2(1,-)

Значение целевой функции для этого опорного плана:(x) = 4*(-4)+ 2*(-5) + 3*(1000) + 4*(-3)+ 1*(-1) + 1*(-3)+1*0 = 2958

Метод минимального элемента

Сущность метода минимального элемента состоит в последовательном заполнении клеток с минимальными в рассматриваемой части таблицы планирования тарифами. Этот метод, как правило, позволяет найти опорный план транспортной задачи, при котором общая стоимость перевозок груза меньше, чем общая стоимость перевозок при опорном плане, найденном для данной задачи с помощью метода северо-западного угла

Таблица 9 Решение задачи методом минимального элемента

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1  3	-2 1000	-1 1	-1	4 (1,-)
А3	-2,5	-1	-3 3	-3 2	5 (3,-)
А4	0	0	0 1	0	1 (-)
bj	4 (3,-)	5(-)	5(2,1,-)	2(-)

Значение целевой функции для этого опорного плана:

(x) = 1*(-4)+3*(-1)+5*(-5)+1*(-1)+3*(-3)+1*0+2*(-3)=-48

Метод двойного предпочтения

В рамках этого метода сначала находится множество клеток с тарифами, минимальными в своих строках, а затем множество клеток с тарифами, минимальными в своих столбцах. Затем производится последовательное в порядке возрастания тарифов заполнение клеток из пересечения этих множеств. Если при этом не удается построить все m+n-1 компонент опорного плана, то производится последовательное в порядке возрастания тарифов заполнение клеток из первого, а затем второго множества вплоть до нахождения опорного плана. Метод двойного предпочтения использует больше информации об исходных данных рассматриваемой транспортной задачи и, как правило, более эффективен с точки зрения величины значения целевой функции на построенном опорном плане, чем метод минимального элемента.

Таблица 10 Нахождение минимальных тарифов в строках и столбцах

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^	-5 ^<	-1	-1	6
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 ^<	-3 ^<	5
А4	0 <	0 <	0 <	0 <	1
bj	4	5	5	2

Таблица 11 Решение задачи методом двойного предпочтения

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^ 1	-5 ^< 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1 2	-2 1000 <	-1 2	-1	4 (2,-)
А3	-2,5	-1	-3 ^< 3	-3 ^< 2	5 (3,-)
А4	0 < 1	0 <	0 <	0 <	1 (-)
bj	4(3,2,-)	5(-)	5(2,-)	2(-)

Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 1*(-4)+2*(-1)+1*(0)+5*(-5)+2*(-1)+3*(-3)+2*(-3)=-48

Метод аппроксимации Фогеля

При определении опорного плана транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля на каждой итерации по всем столбам и всем строкам находят разность между двумя наименьшими тарифами клеток из этих строк и столбцов. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце таблицы планирования. Среди указанных разностей выбирают максимальную и в этой строке (столбце) заполняют клетку с минимальным в строке (столбце) тарифом. Метод аппроксимации Фогеля, хотя и сравнительно сложен, является наиболее эффективным из рассмотренных методов построения опорных планов транспортной задачи. Как правило, его применение позволяет получить либо опорный план, близкий к оптимальному, либо сам оптимальный план.

Таблица 12 Решение задачи о назначениях методом аппроксимации Фогеля

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1 3	-2 1000	-1 1	-1	4 (1,-)
А3	-2,5	-1	-3 3	-3 2	5 (3,-)
А4	0	0	0 1	0	1 (-)
bj	4(3,-)	5(-)	5(2,1,-)	2(-)
	1,5(3,1,-)	3(-)	2(-)	2(1,-)

Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) =1*(-4)+3*(-1)+5*(-5)+1*(-1)+3*(-3)+1*(0)+2*(-3)=-48

Таким образом, минимальное значение целевой функции F(x)=-48 было получено в ходе решения с помощью метода минимального элемента, двойного предпочтения и метода аппроксимации Фогеля. Максимальное значение целевой функции было получено с помощью метода северо-западного угла F(x)=2958.

Заключение

В результате выполнения курсовой работы получены следующие результаты и выводы:

1.     Описана структура и деятельность производственно отдела АПХ «Мираторг». В результате выявлена необходимость исследования работы отдела с целью совершенствования результатов его деятельности методами системного анализа.

2.      Проведено системное исследование производственного отдела Белгородского филиала АПХ «Мираторг» в рамках которого выделены основные элементы, связи и взаимодействия производственного отдела Белгородского филиала АПХ «Мираторг» рассмотренного в качестве системы. Показано место этой системы в общей классификации систем. Выявлены основные закономерности рассматриваемой системы, построены структурная модель производственного отдела АПХ «Мираторг» в графической и матричной формах.

.        Исследованы задачи управления производственного отдела, в том числе задача планирования рабочего времени и задача о назначении. В рамках задачи о распределении рабочего времени построено графическое решение, а так же построено решение с использованием инструментария электронных таблиц Excel. Полученные результаты совпадают, что свидетельствует о правильности решения задачи. В процессе решения задачи о назначениях было рассмотрено четыре метода: метод северо-западного угла, метод минимального элемента, метод двойного предпочтения, метод Фогеля. Минимальное значение целевой функции было получено с помощью трех методов: метода минимального элемента, метода двойного предпочтения и метода аппроксимации Фогеля.

Список источников и литературы

1.   Антонов А.В. Системный анализ [Текст]/А.В. Антонов Изд. М.: Высшая школа, 2004. - 454с.

2.      Анфилатов В.С. Системный анализ в управлении: Учебное пособие [Текст] / В.С. Анфилатов, А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин - М.: Финансы и статистика, 2002.-368с

3.   Волкова В.Н. Основы теории систем и системного анализа: Учебник для вузов. [Текст]/ В.Н. Волкова, А.А. Денисов. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. - 512с.

4.      Волкова В.Н. Теория систем: Учебник для студентов вузов. [Текст]/ В.Н. Волкова, А.А. Денисов - М.: Высшая школа, 2006. - 511с.

5.   Гайдес М.А., Общая теория систем (системы и системный анализ). [Текст]/ М.А Гайдес - М.Изд. Винница: Глобус-пресс, 2005. - 201с.

6.      Качала В.В. Основы теории систем и системного анализа. Учебное пособие для вузов. [Текст]/ В.В. Качала - М.: Горячая линия - Телеком, 2007.-216с.

7.   Ковшов А.В. Теория систем и системный анализ: Учебное методическое пособие [Текст]/А.В. Ковшов - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2009. - 256с.

8.      Кориков А.М. Системный анализ: Учебное пособие [Текст]/ А.М. Кориков, С.Н. Павлов - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2009. - 184с.

.        Бабинцев В.П. Курсовая работа: написание, оформление, защита. Учебно-методическое пособие для студентов специальности 080204.65 «Государственное и муниципальное управление» [Текст]/Белгород: КОНСТАНТА, 2014.-41с.

10. Прохорова, В.П. Системный анализ: краткий курс лекций [Текст]/ М.Изд.: КомКнига, 2006. - 216с.

11.    Чернышов В.Н. Теория систем и системный анализ : учеб. пособие [Текст]/ В.Н. Чернышов, А.В. Чернышов. - Там бов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та,2008. - 139с.

12. CIA- The World Factbook - Russia

13. Федеральная служба государственной статистики. Основные показатели сельского хозяйства в России

14. Официальный сайт АПХ «Мираторг»

Приложение

Решение функциональной задачи

Рис.5. Структурное представление процесса принятия решения

Рис.6 Процесс принятия решения в виде графа

Таблица 13 Матрица смежности вершин

	а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7
а1	0	1 L1	0	0	0	0	0
а2	1 L2	0	1 L3	0	0	0	0
а3	0	1 L4	0	1 L5	1 L6	0	0
а4	0	0	1 L7	0	0	1 L8	0
а5	0	0	1 L9	0	0	0	1 L10
а6	0	0	0	1 L11	0	0	0
а7	0	0	0	0	1 L12	0	0

Таблица 14 Матрица смежности дуг

	L1	L2	L3	L4	L5	L6	L7	L8	L9	L10	L11	L12
L1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L3	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L4	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0
L5	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0
L6	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
L7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
L8	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
L9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
L10	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
L11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
L12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблица 15 Матрица инциденций

	L1	L2	L3	L4	L5	L6	L7	L8	L9	L10	L11	L12
а1	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
а2	1	-1	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
а3	0	0	1	-1	-1	-1	1	0	1	0	0	0
а4	0	0	0	0	1	0	-1	-1	0	0	1	0
а5	0	0	0	0	0	1	0	0	-1	-1	0	1
а6	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	-1	0
а7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	-1

Таблица 16 Поэтапное решение задачи о назначениях методом северо-западного угла

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4				6 2
А2					4(
А3					5
А4					1
bj	4(-)	5	5	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4	-5 2			6(2,-)
А2					4
А3					5
А4					1
bj	4(-)	5	5	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4	-5 2			6(2,-)
А2		-2 1000 3			4(1)
А3					5
А4					1
bj	4(-)	5(3,-)	5	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4	-5 2			6(2,-)
А2		-2 1000 3	-1 1		4(1,-)
А3					5
А4					1
bj	4(-)	5(3,-)	5(4,-)	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4	-5 2			6(2,-)
А2		-2 1000 3	-1 1		4(1,-)
А3			-3 4		5 (1,-)
А4					1 (-)
bj	4(-)	5(3,-)	5(4,-)	2(1,-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4	-5 2			6(2,-)
А2		-2 1000 3	-1 1		4(1,-)
А3			-3 4	-3 1	5 (1,-)
А4					1
bj	4(-)	5(3,-)	5(4,-)	2(1,-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 4	-5 2			6(2,-)
А2		-2 1000 3	-1 1		4(1,-)
А3			-3 4	-3 1	5 (1,-)
А4				0 1	1 (-)
bj	4(-)	5(3,-)	5(4,-)	2(1,-)

Таблица 17 Поэтапное решение задачи о назначениях методом минимального элемента

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4	-5  5	-1	-1	6 (1)
А2	-1	-2 1000	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3	-3	5
А4	0	0	0	0	1
bj	4	5(-)	5	2
	B1	B2	B4	ai
А1	-4  1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1	-2 1000	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3	-3	5
А4	0	0	0	0	1
bj	4 (3)	5(-)	5	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4  1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1	-2 1000	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3	-3 2	5 (3)
А4	0	0	0	0	1
bj	4 (3)	5(-)	5	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4  1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1	-2 1000	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 3	-3 2	5 (3,-)
А4	0	0	0	0	1
bj	4 (3)	5(-)	5(2)	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4  1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1  3	-2 1000	-1	-1	4 (1,-)
А3	-2,5	-1	-3 3	-3 2	5 (3,-)
А4	0	0	0	0	1 (-)
bj	4 (3,-)	5(-)	5(2)	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4  1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1  3	-2 1000	-1 1	-1	4 (1,-)
А3	-2,5	-1	-3 3	-3 2	5 (3,-)
А4	0	0	0 1	0	1 (-)
bj	4 (3,-)	5(-)	5(2,1,-)	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4  1	-5 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1  3	-2 1000	-1 1	-1	4 (1,-)
А3	-2,5	-1	-3 3	-3 2	5 (3,-)
А4	0	0	0 1	0	1 (-)
bj	4 (3,-)	5(-)	5(2,1,-)	2(-)

Таблица 18 Поэтапное решение задачи о назначениях методом двойного предпочтения

	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4	-5 <	-1	-1	6
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 <	-3 <	5
А4	0 <	0 <	0 <	0 <	1
bj	4	5	5	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^	-5 ^<	-1	-1	6
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 ^<	-3 ^<	5
А4	0 <	0 <	0 <	0 <	1
bj	4	5	5	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^	-5 ^< 5	-1	-1	6 (1)
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 ^<	-3 ^<	5
А4	0 <	0 <	0 <	0 <	1
bj	4	5(-)	5	2
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^	-5 ^< 5	-1	-1	6 (1)
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 ^<	-3 ^< 2	5 (3)
А4	0 <	0 <	0 <	0 <	1
bj	4	5(-)	5	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^	-5 ^< 5	-1	6 (1)
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 ^< 3	-3 ^< 2	5 (3,-)
А4	0 <	0 <	0 <	0 <	1
bj	4	5(-)	5(2)	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^	-5 ^< 5	-1	-1	6 (1)
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 ^< 3	-3 ^< 2	5 (3,-)
А4	0 < 1	0 <	0 <	0 <	1 (-)
bj	4(3)	5(-)	5(2)	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^ 1	-5 ^< 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1	-2 1000 <	-1	-1	4
А3	-2,5	-1	-3 ^< 3	-3 ^< 2	5 (3,-)
А4	0 < 1	0 <	0 <	0 <	1 (-)
bj	4(3,2)	5(-)	5(2)	2(-)
	B1	B2	B3	B4	ai
А1	-4 ^ 1	-5 ^< 5	-1	-1	6 (1,-)
А2	-1 2	-2 - 1000 <	-1 2	-1	4 (2)
А3	-2,5	-1	-3 ^< 3	-3 ^< 2	5 (3,-)
А4	0 < 1	0 <	0 <	0 <	1 (-)
bj	4(3,2,-)	5(-)	5(2,-)	2(-)

Таблица 19 Поэтапное решение задачи о назначениях методом аппроксимации Фогеля

	B1	B2		B3	B4		ai
А1	-4 *	-5 *		-1 **	-1 **		6
А2	-1	-2 1000 **		-1 **	-1 **		4
А3	-2,5 **	-1		-3 *	-3 *		5
А4	0	0		0	0		1
bj	4	5		5	2
	B1	B2		B3	B4		ai
А1	-4	-5 5		-1	-1		6 (1)
А2	-1	-2 1000		-1	-1		4
А3	-2,5	-1		-3	-3		5
А4	0	0		0	0		1
bj	4	5(-)		5	2
	1,5	3(-)		2	2
	B1	B2		B3	B4		ai
А1	-4	-5 5		-1	-1		6 (1)
А2	-1	-2 1000		-1	-1		4
А3	-2,5	-1		-3	-3 2		5 (3)
А4	0	0		0	0		1
bj	4	5(-)		5	2(-)
	1,5	3(-)		2	2
	B1	B2		B3	B4		ai
А1	-4	-5 5		-1	-1		6 (1)
А2	-1	-2 1000		-1	-1		4
А3	-2,5	-1		-3 3	-3 2		5 (3,-)
А4	0	0		0	0		1
bj	4	5(-)		5(2)	2(-)
	1,5	3(-)		2	2(-)
	B1	B2		B3	B4		ai
А1	-4 * 1	-5 5		-1 *	-1*		6 (1,-)
А2	-1 **	-2 1000		-1 *	-1 *		4
А3	-2,5	-1		-3 3	-3 2		5 (3,-)
А4	0	0		0 **	0 **		1
bj	4(3)	5(-)		5(2)	2(-)
	1,5(3)	3(-)		2(1)	2(-)
	B1	B2		B3	B4		ai
А1	-4 1	-5 5		-1	-1		6 (1,-)
А2	-1 * 3	-2 1000 *		-1 *	-1 *		4 (1)
А3	-2,5	-1		-3 3	-3 2		5 (3,-)
А4	0 **	0 **		0 **	0 **		1
bj	4(3,-)	5(2)	2(-)
	1,5(3,1)	3(-)		2(1)	2(-)
	B1	B2		B3	B4		ai
А1	-4 1	-5 5		-1	-1		6 (1,-)
А2	-1 3	-2 1000		-1 1	-1		4 (1,-)
А3	-2,5	-1		-3 3	-3 2		5 (3,-)
А4	0	0		0	0		1
bj	4(3,-)	5(-)		5(2,1)	2(-)
	1,5(3,1)	3(-)		2(1)	2(-)
	B1		B2	B3		B4		ai
А1	-4 1		-5 5	-1		-1		6 (1,-)
А2	-1 3		-2 1000	-1 1		-1		4 (1,-)
А3	-2,5		-1	-3 3		-3 2		5 (3,-)
А4	0		0	0 1		0		1(-)
bj	4(3,-)		5(-)	5(2,1,-)		2(-)
	1,5(3,1,-)		3(-)	2(1,-)		2(-)