Частные производные. Экстремумы функций

Частные производные. Экстремумы функций

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: искусственный интеллект

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Минск 2013

Задача 1.

Дана функция . Показать что

Решение:

Найдем частные производные  и .

Получаем:

Задача 2.

Дана функция  и две точки А(х₀ , y₀) и В (х₁,_,y₁). Требуется:

) вычислить значение z₁функции в точке В;

) вычислить приближенное значение  функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;

) составить уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке

Решение:

1)     

)       

Найдем частные производные  и .

)        уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке

Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке имеет вид:

Найдем частные производные ,  и .

Искомое уравнение касательной плоскости имеет вид

Так как в условии задачи координаты точки С не заданы, следовательно уравнение касательной плоскости может быть найдено только в общем виде.

Ответ:

1)     

)       

Задача 3.

Исследовать на экстремум функции двух переменных.

Решение:

В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Получили одну стационарную точку (0;0)

найдем все вторые частные производные от функции и составим дискриминант :

Так как дискриминант больше нуля и А>0, то функция z имеет минимум в точке (0;0)

Ответ: функция z имеет минимум в точке (0;0).

Задача 4.

Дана функция , точка  и вектор а. Найти:

) grad z в точке ;

) производную в точке  в направлении вектора а.

Решение:

1)      Согласно определению

2)      Производную по направлению вектора  в точке А находим по формуле

Где ,  - направляющие косинусы:

Получаем:

Частные производные в точке А уже найдены. Окончательно получаем:

Ответ:

1)     

)       

Задача 5.

Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа.

Решение:

Составляем функцию Лагранжа:

Имеем:

Получаем:

Находим:

производный функция лагранж

и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

в этой точке условный минимум,

в этой точке условный максимум,

Ответ: ,