Теория вероятностей и математическая статистика
1. Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в
случайных явлениях. Случайное явление - это такое явление, которое при
неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько
по-иному. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов,
сопровождающих явление.
Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать природу и
структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию
системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы
на вид этой реакции. Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей.
Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически
независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений,
входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются,
нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается
практически уже не случайным.
Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для
исследования массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать
исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний
суммарный результат массы однородных случайных явлений.
. Статистическое определение вероятности
Не всегда элементарные события равновероятны. Например, когда студент
идет на экзамен, четыре элементарных события - оценка 2, 3, 4, 5 -
равновероятными не являются. В подобных случаях наряду с классическим
используют статистическое определение вероятности. В качестве статистической
вероятности события принимается относительная частота его реализации при
большом числе испытаний. Если проводится n испытаний и при этом событие А
реализовалось m раз, то относительная частота появления события А есть
3. Классическое определение вероятностей
Когда мы хотим дать количественную оценку вероятности какого либо
события, мы разлагаем все события, которые могут произойти на элементарные
события. В случае, когда мысленно проводятся механические испытания, все
элементарные события равно возможны, т.е. нет преимуществ в реализации одних
элементарных событий перед другими. Тогда количественной оценкой вероятности
события А будет являться классическое определение вероятности данного события.
Определяется эта вероятность как отношение числа элементарных событий,
благоприятствующих наступлению события А к общему количеству элементарных
событий:
4. Аксиоматическое определение вероятности
В
современном математическом подходе вероятность задаётся аксиоматикой
Колмогорова
<https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0>.
Предполагается, что задано некоторое пространство элементарных событий
<https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B9>.
Подмножества этого пространства интерпретируются как случайные события.
Объединение (сумма) некоторых подмножеств (событий) интерпретируется как
событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из этих событий. Пересечение
(произведение) подмножеств (событий) интерпретируется как событие,
заключающееся в наступлении всех этих событий. Непересекающиеся множества
интерпретируются как несовместные события (их совместное наступление
невозможно). Соответственно, пустое множество означает невозможное событие.
Вероятностью
называется числовая функция
,
заданная на множестве событий, обладающая следующими свойствами:
Неотрицательность:
,
Аддитивность:
вероятность наступления хотя бы одного (то есть суммы) из попарно несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий; другими словами, если 
при 
, то
.
Конечность (ограниченность
единицей): 
,
.