Определение реакции опор стальной балки

Определение реакции опор стальной балки

Задание 1. Используя схему и числовые данные определить равнодействующую системы сил

Дано:

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил.

Определяем равнодействующую геометрическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси . Складываем проекции всех векторов на оси х и у. Проведем необходимые построения и вычислим равнодействующую аналитически.

Пользуясь формулами получаем:

Спроецируем это векторное равенство на оси прямоугольных координат и найдем проекции равнодействующей:

Следовательно, проекции равнодействующей равны:

Отсюда находим

 H

Для определения угла a между равнодействующей и осью х имеем:

cosα =  = 0.999

sinα =  = 0.04

Так как и косинус, и синус этого угла положительны, то угол лежит в первой четверти. Находим α= 2,6°.

Задание 2

Для заданной стальной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать из условий прочности необходимый размер двух двутавров, приняв для стали [] = 160 МПа;

Дано :

F₁ = 20 кH;

F₂ = 1 кH;

M = 2 кH*м;

Решение:

Количество узлов: 4

Длины участков:= 1 (м)= 2 (м)= 3 (м)

Опоры:

Точка A -

Сосредоточенные силы:= -20 (кН)= 1 (кН)

Изгибающие моменты:= 2 (кН*м)

Распределенные нагрузки:= 15_a = 19 (кН)_max = 15 (кН*м)_max = 15 (кН*м)

. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

. На балку наложена связь в точке A (слева) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (RA, HA, MA). 3. Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки:

ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM_A = 0.

ΣF_x = 0: H_A = 0

ΣF_y = 0: R_A - P₁ + P₂ = 0;

ΣM_A = 0: M_A - 1*P₁ + 3*P₂ + M₁ = 0;

. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные :

H_A = 0 (кН)

R_A = P₁ - P₂ = 20 - 1 = 19.00 (кН)

M_A = 1*P₁ - 3*P₂ - M₁ = 1*20 - 3*1 - 2 = 15.00 (кН*м)

5. Сделаем проверку, составив дополнительное моментное уравнение относительно свободного конца балки:

равнодействующий напряжение сечение балка

- 6*R_A + M_A + 5*P₁ - 3*P₂ + M₁ = - 6*19.00 + 15.00 + 5*20 - 3*1 + 2.00 = 0

Эпюры

Принимаем расположение двутавра:

Оптимальный номер двутавра по ГОСТу 8239-89 (по условию прочности на изгиб при пределе прочности 160 МПа): № 16

Параметры двутавра по ГОСТ 8239-89:_x = 109 см³_y = 14,5 см³_x = 873 см⁴_y = 58,6 см⁴

Задание 3

Защемленный в стене двухступенчатый брус нагружен осевыми силами. Массой бруса пренебречь.

а) Определить нормальные силы и напряжения в поперечных сечениях по всей длине бруса;

б) Построить эпюры нормальных сил и напряжений по длине бруса;

в) Определить перемещение свободного конца бруса, если Е = 2·10⁵ МПа.

ДАНО: F₁ = 14 кН; F₂ = 16 кН; F₃ = 10 кН; А₁ 2,1 см²; А₂ = 1,9 см²;

Основные размеры заданы на исходном чертеже

НАЙТИ: Ni ; σi ; ∆l.

Решение:

1. Разбиваем брус на участки: АВ; BC; СD

. Определяем значения нормальной силы N на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I,

N₁ = F₁ = 14 кН;

Участок ВС, сечение II-II,

₂ = F₁+ F₂ = 14+16= 30 кН;

₃ = F₁+ F₂ - F₃ = 14+16-10= 20 кН.

Строим эпюру нормальных сил.

3. Вычисляем значения нормальных напряжений на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I,

σ₁=N₁/А₁= = 66.7 Н/мм2;

σ₁=66.7 МПа;

Участок ВС, сечение II-II,

σ₂=N₂/А₂=  = 157.9 Н/мм2;

σ₂=157.9 МПа;

Участок CD, сечение III-III,

σ₃=N₃/А₂ =  = 105.3 Н/мм2;

σ₃=105.3 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений.

. Определяем продольную деформацию бруса:

Участок АВ, ,

∆l₁ = N₁·l₁/А₁·E = 14·10³·0,5·10³/2.1·10²· 2·10⁵ = 0.16 мм ;

∆l₁ = 0,16 мм;

Участок ВB₁,

∆l₂ = N₂·l₂/А₁·E = 30·10³·0,3·10³/2.1·10²· 2·10⁵ =0.2 мм;

∆l₂ = 0.2 мм

Участок В₁ C,

∆l₂ = N₂·l₂/А₁·E = 30·10³·0,5·10³/1,9·10²· 2·10⁵ =0,38 мм;

∆l₂ = 0,38 мм

Участок CD, сечение III-III,

∆l₃ = N₃·l₃/А₂·E = 20·10³·0,4·10³/1,9·10²· 2·10⁵ = 0,21 мм;

∆l₃ = 0,21мм;

∆l =∆l₁+∆l₂ + ∆l₃ + ∆l₄ = 0,16 + 0,2 + 0,38 + 0,21 = 0,95 мм.

Ответ: ∆l =0,95 мм. Стержень растянут.

Задание 4

Для стального вала постоянного поперечного сечения

.        Определить значение моментов М₁, М_2, М₃, М₄;

.        Построить эпюру крутящих моментов;

.        Определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, приняв поперечное сечение вала - круг

Дано:

Р₁ = 50 кВт

Р₃ = 15 кВт

Р₄ = 25 кВт

w = 18 рад/сек

w =   n = = 30*18/3.14 = 172 об/мин

Считать [τ_к] = 30МПа

[φ₀] =0,02 рад/м - угол закручивания

G = 8*10⁴ Мпа

Решение

Определяем внешние моменты:

М₁ = 9550 = 9550 = 2776 Hм = 2,8 кНм;

М ₃ = 9550 = 9550 = 832,8 Hм = 0,83 кНм;

М₄ = 9550 = 9550 = 1388 Hм = 1,4 кНм;

Запишем уравнение статики:

ΣМ = М₁ + М₃ - М₂ + М₄ = 0

И из него найдем величину момента М₂:

М₂ = М₃ + М₁ + М₄ = 832,8 +2776 +1388 = 4996,8 Hм = 5 кНм;

Прежде всего строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов по участкам следующие:

Т₁ = -М₁ = -2,8кНм;

Т₂ = -М₁ - М₃ = -2,8 - 0,83 = - 3,63 кНм;

Т₃ = -М₁ - М₃ + М₂ = -3,63 + 5 = 1,37 кНм.

Строим эпюры:

Вал разбивается на три участка I, II, III.

Находим полярный момент сопротивления вала, требуемый по условию прочности:

W_p =  =  = 121 10^-6 м³ = 121 см³

Диаметр сплошного вала определяем с помощью формулы:

W_p  0.2d_c³ = 121 cм³,

откуда

d_c³ =  = 8.46 см  9 см = 90 мм.

Затем рассчитываются диаметры по участкам вала из условия жесткости, т.е. с использованием формулы

d_жест =

d_жест2 =  = 0,1068 м = 107 мм

d_жест1 =  = 0,0837 м = 84 мм

В качестве окончательных следует выбрать наибольшие значения диаметров, рассчитанные из условия жесткости. Таким образом, окончательный размер диаметра вала таков: d₁ = 107 мм.

Из стандартного ряда : d₁ = 120 мм

Задание 5

На вал жестко насажены шкив и колесо,

Определить силы F₂ .F_2r = 0.4 F₁ если значение силы F₁ задано

Дано:

F₁ = 280 Н

Решение

Представим физическую систему:

Задачу решаем в следующей последовательности:

. изображаем на рисунке тело, равновесие которого рассматривается, с действующими на него активными и реактивными силами и выбираем систему осей координат;

. из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось, определяем значения сил F₂, F_r2;

. составляем шесть уравнений равновесия;

. решаем уравнения и определяем реакции опор;

. проверяем правильность решения задачи.

.        Изображаем вал со всеми действующими на него силами, а также оси координат

Рассмотрим систему сил, действующую в системе

Определяем составляющие нагрузки со стороны шкива

Р₁ = (2F₁ + F₁) = 3 F₁ = 3*280 = 840 Н = 0.84 кН

.        Определяем F₂ и F_r2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось:

F₁ - F₂ = 0₂ =  =  = 507.5 H_r2 = 0.4F₂ = 0.4*507.5 = 203 H

3.      Составляем шесть уравнений равновесия:

ΣY = -Р₁ - F₂ + A_y + B_y = 0 (1)

ΣX = -F_2r + A_х + B_х = 0 (2)

ΣМ_yС = -Р₁ * 32 + А_у* 20 - В_у * 10 = 0 (3)

ΣМ_yВ = - Р₁ * 42 + А_у* 30 - F₂ * 10 = 0 (4)

ΣМ_xC = А_x* 20 - В_x * 10 = 0 (5)

ΣМ_хВ = А_x* 30 + F_2r * 10 = 0 (6)

Рассмотрим уравнения (3) и (4)

-840 * 32 + А_у* 20 - В_у * 10 = 0

- 840 * 42 + А_у* 30 - 507,5 *10 = 0

Из последнего уравнения:

А_у = 40355/30 = 1345 Н

Из первого уравнения:

+ 26900 = 10*В_у ⇒ В_у = 20/10 = 2 Н

Рассмотрим уравнения (5) и(6)

А_x* 20 - В_x * 10 = 0

А_x* 30 + 203* 10 = 0

Из последнего уравнения А_х= 2030/30 = 67,7 Н

Из первого уравнения: 1353,3 = 10*В_у ⇒ В_у = 1353/10 = 135,3 Н

Проверку произведем по уравнениям (1) и (2):

ΣY = -840 - 507,5 + 1345 + 2 = 0

ΣX = -203 + 67,7 + 135,3 = 0

Расчеты произведены верно. Окончательно реакции опор А и В:

А =  =  = 1346,7 Н

В =  =  = 135,3 Н

Ответ: А = 1346,7 Н

В = 135,3 Н

F₂ = 507,5 H

F_2r = 203 H