Анализ электрической цепи системы управления

Анализ электрической цепи системы управления

Задание

Для электрической цепи, соответствующей номеру варианта необходимо выполнить следующие задания (указаны в содержании):

Рис. 1 - Электрическая схема системы управления

электрический цепь управление четырехполюсник

Таблица 1

Провести анализ электрической цепи системы управления. Обозначить узлы схемы и токи ветвей, указать входной и выходной сигналы;

Определить передаточную функцию четырехполюсника;

Определить и представить графически амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики;

По полученному дифференциальному уравнению построить структурную схему системы управления;

Определить реакцию исследуемой системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях:

Определить устойчивость системы управления, используя критерий устойчивости Михайлова решение представить графически.

1. Анализ электрической цепи: обозначение узлов, токов; определение входного и выходного сигналов

Составим модель объекта:

Рис. 2

Сопротивления реактивных элементов:

Эквивалентное сопротивление параллельно включенных индуктивностей:

Эквивалентное сопротивление параллельно включенных сопротивлений:

Входное сопротивление цепи:

Ток в цепи:

Напряжение на выходе цепи:

2. Определение передаточной характеристики четырёхполюсника

Определим передаточную характеристику:

3. Определение АЧХ И ФЧХ

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи - модуль передаточной функции.

Рис. 3

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) цепи - аргумент передаточной функции.

Для ФЧХ цепи необходимо разделить передаточную функцию на действительную и мнимую часть, умножим на комплексно-сопряженное к знаменателю выражение:

Рис. 4

4. Построение структурной схемы системы управления

Определим передаточную функцию четырехполюсника в области изображений, выразив входное и выходное напряжение цепи через ток:

Данное выражение сопоставимо с полученным ранее выражением для частотной функции исследуемого четырехполюсника пи выполнении замены сомножителя jω на оператор p.

Структурная схема четырехполюсника:

Рис. 6

Структурная схема исследуемого четырехполюсника может быть представлена в виде двух последовательно соединенных блоков:

Рис. 7

5. Определение реакции исследуемой системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях

Передаточная характеристика исследуемого четырехполюсника:

При единичном ступенчатом воздействии Uвх=1/p выходное напряжение равно:

Воспользуемся теоремой разложения для перехода в область времени:

, где

(p) - числитель передаточной характеристики;

производная от выражения, стоящего в знаменателе знаменатель передаточной характеристики;(p) - знаменатель передаточной характеристики;- k-й корень производной от полинома N(p).

Производная от полинома знаменателя:

Графическая иллюстрация:

Рис. 8

6. Определение устойчивости системы управления (критерий устойчивости Михайлова)

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Рис. 9

Запишем характеристический полином:

Перейдем к функции частоты:

Построим годограф Михайлова

Критерий устойчивости по Михайлову:

Чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол , где n - порядок характеристического уравнения. Заметим, что для устойчивых систем кривая Михайлова начинается при ω = 0 на вещественной положительной полуоси.

Рис. 10

(F(w)) - мнимая составляющая полинома F(w)(F(w)) - мнимая составляющая полинома F(w)

В данном случае, на основании критерия устойчивости Михайлова, можно утверждать, что исследуемая система является устойчивой - годограф начинается на положительной действительной полуоси и уходит в бесконечность во втором квадранте, что соответствует второй степени полинома.