100мм.рт.ст= 13300 Па 75
мм.рт.ст= 9975 Па
Результаты моделирования для аорты.
Рис.2.1. Изменение давления в аорте.
Рис.2.2. Изменение давления в аорте за один период пульса
Результаты моделирования для
бедренной артерии (правой)
Рис.2.3. Изменение давления в бедренной артерии (правой)
Рис.2.4. Изменение давления в бедренной артерии (правой) за один период
пульса
Результаты моделирования для наружной
сонной артерии (левой)
Рис.2.5. Изменение давления в наружной сонной артерии (левой)
Рис.2.6. Изменение давления в наружной сонной артерии (левой) за один
период пульса
Текст m-файла моделирования с подробными комментариями вынесен в
приложение (Приложение А).
3.
Использование модели кровообращения О. Франка для определения гидравлического
сопротивления периферической части системы кровообращения
3.1 Модель
кровообращения О. Франка
Модель Франка - это простейшая модель кровообращения, позволяющая
установить связь между ударным объемом крови (объем выбрасываемый желудочком за
1 систолу), гидравлическим сопротивлением сосуда X0 и изменением давления в кровеносном
сосуде.
Эта модель рассматривает артериальную часть системы кровообращения, как
упругий, эластичный резервуар. Так как кровь находится в упругом резервуаре то
её объем в любой момент времени зависит от давления P по следующему отношению:
(3.1)
где
k - коэффициент упругости, характеризующий эластичность или упругость
резервуара;0 - объем резервуара, если внутреннее давление не
превышает давления окружающей среды, т.е. давления снаружи.
Продифференцировав
(3.1), получим:
(3.2)
В упругий резервуар (артерии) поступает кровь из сердца, объемная
скорость кровотока равна Q. От
упругого резервуара кровь оттекает с объемной скоростью кровотока Q0 в периферическую систему (артериолы, капилляры).
Предполагаем, что гидравлическое сопротивление периферической стенки постоянно.
Это моделируется “жесткой” трубкой на выходе упругого резервуара.
Можно составить достаточно очевидное уравнение:
Q = + Q0, (3.3)
показывающее, что объемная скорость кровотока из сердца равна сумме
скорости возрастания объема упругого резервуара и скорости оттока крови из
упругого резервуара.
Уравнение Пуазейля:
Q = (3.4)
где Р1 и Р2 - давление на входе и выходе сосуда;
l -
длина сосуда;- радиус сосуда;
η - вязкость крови
X = (3.5)
На основании (3.4) и (3.5) можно записать для периферической части
системы:
Q0 = , (3.6)
где
p - давление в упругом резервуаре;
pв - венозное давление, оно может быть принято равным
нулю, тогда вместо (3.6) имеем
Q0 = . (3.7)
Подставляя
(3.2) и (3.7) в (3.3), получаем
Q = k + или
Q dt = k dp + d t. (3.8)
Проинтегрируем
(3.8). Пределы интегрирования по времени соответствуют периоду пульса от 0 до Тп.
Этим временным приделам соответствуют одинаковые давления - минимальное
диастолическое давление pд:
∫Тп
Q dt =k Рд∫Pд dp + 0∫Тп
p dt. (3.9)
Интеграл
с равными пределами равен нулю, поэтому из (3.9) имеем
∫Тп
Q dt = 0∫Тп
p dt. (3.10)
Интеграл
в левой части уравнения (3.10) равен объему крови, который выталкивается из
сердца за одно сокращение, - ударный объем. Он может быть найден
экспериментально. Интеграл в правой части уравнения (3.10) соответствует
площади фигуры, ограниченной прямой и осью времени. Используя указанные
значения интегралов, можно вычислить по (3.10) гидравлическое сопротивление
периферической системы кровообращения.
Во
время систолы (сокращения сердца) происходит расширение упругого резервуара,
после систолы, во время диастолы - отток крови к периферии, Q =
0. Для этого периода из (3.8) имеем
=k dp + dt или = - . (3.11)
Проинтегрировав
(3.11), получаем зависимость давления в резервуаре после систолы от времени:
(3.12)
На
основании (3.7) получаем зависимость объемной скорости оттока от времени:
(3.13)
Qc = pc/X0 -
объемная скорость кровотока из упругого резервуара в конце систолы (начале диастолы).
Зависимости
(3.12), (3.13) представляют собой экспоненты.
Хотя
данная модель весьма грубо описывает реальное давление, она чрезвычайно проста
и верно отражает процесс к концу диастолы.
3.2
Использование регрессионных процедур для определения гидравлического
сопротивления периферической части системы кровообращения
Таблица 3.1.Результаты расчетов для аорты
P, Па
|
t, сек
|
Yi
|
18660 18067 16406 14322
12624 11970
|
0.0300 0.1140 0.1980 0.2820
0.3660 0.4500
|
19325 17521 15885 14401
13057 11837
|
b1= 9.9042; b2=
-1.1670
Таблица 3.2. Результаты расчетов для бедренной артерии (правой)
P, Па
|
Yi
|
15938 15541 14533 13304 12332 11993
|
0.6900 0.7740 0.8580 0.9420 1.0260 1.1100
|
16221 15231 14301 13429
12609 11839
|
b1= 10.2113; b2=
-0.7497
Таблица 3.3. Результаты расчетов для наружной сонной артерии (левой)
P, Па
|
t, сек
|
Yi
|
13297 12959
12108 11075 10260
9979
|
0.7500 0.8340 0.9180 1.0020
1.0860 1.1700
|
13532 12698 11916 11182
10493 9847
|
b1= 10.0805; b2=
-0.7569
Текст m-файла, использованного при расчетах вынесен в
приложение (Приложение Б).
3.3 Оценка
результатов
Оценка результатов проводится по критерию Фишера (F- критерий)
Этот критерий предназначен для сравнения двух дисперсий с разными числами
степеней свободы.
F=S12/S22
Полученное значение F
сравнивают с Fкрит
α=1-Р
где Р - вероятность
Если F≤Fкрит, то на уровне значимости α (с вероятностью Р) гипотеза об
однородности дисперсий принимается, если неравенство не выполняется, то
гипотеза отвергается на уровне значимости α.
При проверки модели на адекватность сравниваются остаточную дисперсию с
дисперсией воспроизводимости
где
r - число опытов, по которым рассчитывают модель;
yi -
действительное значение выходных коэффициентов;
y’- рассчитанное
по модели значение выходных коэффициентов;
k - число
коэффициентов модели.
Остаточная
дисперсия характеризует точность модели
F1 - остаточная дисперсия, характеризующая работу модели;
n - число
параллельных опытов;
уi -
значение выходной переменной измеренное i - ом опыте;
- среднее
значение выходной переменной для всех параллельных опытов.
В
параллельных опытах на вход процессов подают одни и те же значения, измеряют
значения входных переменных с целью определения воспроизводимости (точности
эксперимента).
Дисперсия
воспроизводимости характеризует точность эксперимента
F = .
Если
FFкр, то отличие между остаточной дисперсией и дисперсией
воспроизводимости незначимы, то есть модель имеет точность, незначимо
отличающуюся от точности эксперимента.
В
этом случае с вероятностью Р или на уровне α делают вывод об адекватности модели экспериментов.
Подбор
порядка модели начинают с простой модели - линейной. В том случае, если она
оказывается неадекватной, то порядок увеличивают.
Адекватности
модели эксперименту добиваются постепенным повышением порядка аппроксимирующего
полинома.
Результаты
проверки:
3. Расчет остаточной дисперсии
Sost =
407520 - для аорты= 115190 - для бедренной артерии правой= 81164 - для наружной
сонной артерии левой
. Расчет дисперсии воспроизводимости
Svospr
= 156770 - для аорты
Svospr
= 68693 - для бедренной артерии правой
Svospr
= 30882 - для наружной сонной артерии левой
. Расчет F
F =
2.5994 - для для аорты
F =
1.6769 - для бедренной артерии правой
F =
2.6282 - для наружной сонной артерии левой
Текст m-файла, использованного при расчетах вынесен в приложение
(Приложение В).
Критическое значение (с уровнем значимости α = 0,05) Fкр = 5,4. Видно, что рассчитанные
значения F для всех предложенных в задании
артерий удовлетворяет условию F≤Fкр. Исходя из этого можно утверждать,
что все расчеты, произведенные выше верны.
Заключение
Исследование структуры системы кровообращения и механических процессов, происходящих
в отдельных ее элементах, дает возможность строить различные математические
модели функционирования системы в целом, подобные приведенным ранее, и решать с
помощью этих моделей некоторые теоретические и практические задачи. Например,
предсказывать реакцию системы на перегрузки или падение внешнего давления,
анализировать гипотезы о механизмах регуляции, изучать распространение
метаболитов, кислорода, лекарственных веществ и индикаторов в организме и т.д.
Термин "моделирование" означает здесь в сущности решение
достаточно сложной системы уравнений ЭВМ. Для проведения такого исследования
необходимо знать эти уравнения, граничные и начальные условия и числовые
значения определяющих параметров.
Физическое моделирование системы кровообращения, к которому, кроме
экспериментов на гидравлических устройствах, нужно отнести еще и опыты,
поставленные на животных одного вида с целью применить результаты к животным
других видов, выдвигает ряд совершенно иных проблем, главная из которых -
установление взаимосвязи между параметрами модели и реального объекта.
Поскольку деятельность сердечно-сосудистой сиcтемы и деятельность других физиологических систем тесно
связаны друг с другом, то может быть поставлен вопрос об основных универсальных
принципах этой связи. Ряд исследователей склоняется к мысли, что эволюция
развития животных могла привести к некоторой оптимальной (в термодинамическом
смысле) организации физиологических систем, такой, что, например, связь между
процессами кроветворения и, дыхания и кровообращения определяется условием
оптимального снабжения тканей кислородом. Постулируя оптимальность такого рода,
можно провести расчеты некоторых заранее неочевидных соотношений между
параметрами системы и сопоставить затем результаты с опытными данными для проверки
исходной гипотезы.
В ходе работы были выполнены следующие действия:
1. Собран теоретический материал о кровеносной системе в целом и о
сосудах, приведенных в задании;
2. Собран теоретический материал, касающийся уравнения пульсовой
волны, на основании которого, с использованием программного продукта МАТLAB 7.0.1, были произведены
соответствующие расчеты.;
. Смоделированы пульсовые волны в сосудах, основываясь на данных
собранных в научной литературе и сети Интернет;
. Представление результатов моделирования в виде графиков (текст m-файла вынесен в приложение);
. Собран теоретический материал, касающийся использования модели
кровообращения О.Франка; Произведена оценка результатов. В этом пункте делается
выводы о точности и правильности расчетов. Полученные данные: F = 2.5994, F = 1.6769, F=2.6282
- для аорты, бедренной и наружной сонной артерий соответственно. Видно, что
исследования верны, а наиболее точные измерения были произведены для наружной
сонной артерий.
. Итогом курсовой работы являются полученная модель пульсовой волны с
наглядными графиками и расчеты, произведенные на основании этих графиков.
Список
использованных источников
1. Бегун П.И. Афонин П.Н. Моделирование в биомеханике: Учеб.
пособие.-М.: Высш. шк., 2004.-390 с., ил.
2. И.Ф. Образцов, И.С. Адамович, А.С. Барер.
"Проблемы прочности в биомеханике", издательство "Высшая
школа", Москва 1988 год
. Привес М.Г. Лысенков Н.К. Бушкович В.И. Анатомия
человека
. http://ru.wikipedia.org
. http://health.rin.ru
Приложение
А
Текст m-файла моделирования пульсовой волны
Аорта
Pmax=18662 %
систолическое давление
Pmin=11970 %
диастолическое давление
Po=(Pmax-Pmin)/2 % амплитуда давления в пульсовой волне
Pa=Po+Pmin % давление среды вокруг кровеносного
сосуда
z=0.01 %
константа
f=1.2 %
частота пульса
w=2*pi*f % круговая частота колебаний
E=920000 %
модуль упругости
h=0.0023 %
толщина стенок сосуда
ro=600 %
плотность вещества стенок сосуда
d=0.025 %
диаметр
t=0:pi/70:1*pi % время
x=0.01 %
расстояние от сердца
v=sqrt(E*h/ro*d) % скорость пульсовой волны
P=Pa+Po*exp(-z*x)*(cos(w*(t-x/v))) % уравнение
пульсовой волны
plot(t,P) % построение графика пульсовой волны
Бедренная артерия (правая)
Pmax=15960
Pmin=11970
Po=(Pmax-Pmin)/2
Pa=Po+Pmin
z=0.02
f=1.2
w=2*pi*f
E=1100000
h=0.001
ro=600
d=0.007
t=0:pi/70:1*pi
x=0.55
v=sqrt(E*h/ro*d)
P=Pa+Po*exp(-z*x)*(cos(w*(t-x/v)))
plot(t,P)
Наружная сонная артерия (левая)
Pmax=13300
Pmin=9975
Po=(Pmax-Pmin)/2
Pa=Po+Pmin
z=0.01
f=1.2
w=2*pi*f
E=900000
h=0.0015
ro=600
d=0.004
t=0:pi/70:1*pi
x=0.15
v=sqrt(E*h/ro*d)
P=Pa+Po*exp(-z*x)*(cos(w*(t-x/v)))
plot(t,P)
Приложение
Б
Текст m-файла МНК
Аорта
t=0.03:0.084:0.45 %
значения времени после систолы
P=Pa+Po*exp(-z*x)*(cos(w*(t-x/v)))=(log(P))'=[1 1 1 1 1 1;
t]'=((X'*X)^(-1))*(X'*Y) % формула расчета коэффициента b1=B(1)=B(2)
Бедренная артерия (правая)
t=0.69:0.084:1.11=Pa+Po*exp(-z*x)*(cos(w*(t-x/v)))=(log(P))'=[1
1 1 1 1 1; t]'=((X'*X)^(-1))*(X'*Y)1=B(1)=B(2)
Наружная сонная артерия (левая)
t=0.75:0.084:1.17=Pa+Po*exp(-z*x)*(cos(w*(t-x/v)))=(log(P))'=[1
1 1 1 1 1; t]'=((X'*X)^(-1))*(X'*Y)1=B(1)=B(2)
Приложение
В
Текст m-файла проверки по F-критерию:
Аорта
Deyst=exp(b1+b2*t)% значение выходной переменной
объекта, измеренное в i-том опыте
sum=0
for i=1:6 % цикл
от одного до шести с шагом 1
Sost=sum/3 % остаточная дисперсия
yi=random('Normal',0,383,1,6) % среднее значение выходного параметра
рассчитанное по параллельным опытам
sum=0;i=1:6(i)=P(3)-yi(i)=sum+m(i)=sum/6=0;i=1:6=m(i)-sr;=sum+(m(i)-sr)^2;
Svospr=sum/5 % дисперсия воспроизводимости
q=Sost/Svospr % критерий Фишера
Бедренная артерия (правая)
Deyst=exp(b1+b2*t)
sum=0i=1:6=sum+(P(i)-Deyst(i))^2=sum/3=random('Normal',0,348,1,6)=0;i=1:6(i)=P(3)-yi(i)=sum+m(i)=sum/6=0;i=1:6=m(i)-sr;=sum+(m(i)-sr)^2;=sum/5=Sost/Svospr
Наружная сонная артерия (левая)
Deyst=exp(b1+b2*t)
sum=0i=1:6=sum+(P(i)-Deyst(i))^2=sum/3=random('Normal',0,290,1,6)=0;i=1:6(i)=P(3)-yi(i)=sum+m(i)=sum/6=0;i=1:6=m(i)-sr;=sum+(m(i)-sr)^2;=sum/5=Sost/Svospr
Похожие работы на - Моделирование процессов в системе кровообращения человека
|