Изучение систем счисления
Департамент общего и
профессионального образования Брянской области
Государственное бюджетное
образовательное учреждение
среднего
профессионального образования
«Клинцовский
педагогический колледж»
РЕФЕРАТ
на тему: Изучение систем
счисления
Кокушиной Елены Николаевны
Отделение дошкольной и специальной подготовки
Преподаватель: Т.Д. Вахнюх
Клинцы
Счет появился тогда, когда человеку потребовалось
информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.
Счет появился тогда, когда человеку потребовалось
информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.
|
|
Первыми
понятиями математики были "меньше", "больше" и
"столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми
другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и
сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы
обмен между племенами состоялся.
|
Самым простым инструментом счета были пальцы на руках
человека
С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки,
то и до 10.
Одна из таких систем счета впоследствии и стала
общеупотребительной - десятичная.
В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли
пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног.
Таким образом, они могли, казалось бы, считать лишь до
двадцати.
Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать
значительно больших чисел.
человек - это 20, 
человека - это два раза по 20 и т.д.
|
До сих пор
существуют в Полинезии племена, которые для счета используют 20-ую систему
счисления Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счетной
машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Способов счета было
придумано немало. В разных местах придумывались разные способы передачи
численной информации: Для запоминания чисел использовались камешки, зерна,
ракушки, разноцветные шнуры с завязанными на них узлами и т.д. Археологами
найдены такие "записи" при раскопках культурных слоев, относящихся
к периоду палеолита (10 - 11 тыс. лет до н. э.) Этот способ записи чисел
называют единичной ("палочной”, “унарной”) системой счисления
|
  
|
Любое число в ней образуется повторением одного знака -
единицы
Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем
многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.
=
Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной,
поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.
Появились специальные обозначения для «пятерок», «десяток»,
«сотен» и т.д.
Римская нумерация
|
  
|
Это нумерация,
известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в
повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на
циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме. В ней
имеются узловые числа: один, пять и т.д.
|
Остальные числа получались путем прибавления или вычитания
одних узловых чисел из других
|
|
Например,
четыре записывается как IV, т. е. пять минус один, восемь - VIII (пять плюс
три), сорок - XL (пятьдесят минус десять), девяносто шесть - XCVI (сто
минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.
|
Из арабского языка заимствовано и слово "цифра"
(по-арабски "сыфр"), означающее буквально
"пустое место"
Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и
этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский
термин "нуль" (nullum - ничто).
Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения.
Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI
веке.
, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским
цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом
соответствии с числом углов, которые образуют фигуры
система счисление цифра число
Система счисления - совокупность правил наименования и
изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.
Количество цифр (знаков), используемых для представления
чисел называют основанием системы счисления.
Сегодня мы настолько сроднились с 10-ной системой счисления,
в которой десять цифр.
Так что не представляем себе иных способов счета. До наших
дней сохранились следы счета шестидесятками: До сих пор мы делим час на 60
минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делят на 360, то есть 6*60
градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на шестьдесят секунд.
В сутках 24 часа, а в году 365 дней.
Таким образом,
• время (часы и минуты) мы считаем в 60-ной системе,
• сутки - в 24-ной,
• недели в 7-ной.
Системы счисления подразделяются на позиционные и
непозиционные.
Позиционные
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует
величина, не зависящая от её места в записи числа Древнегреческая,
кириллическая, римская
Непозиционные
Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину
числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей
число (Десятичная, двоичная и т.д.)
В римской записи числа важно не собственное положение цифры,
а где она стоит относительно другой цифры:
Записи XII и IX. Здесь в обоих случаях цифра "I"
стоит на 2-ом месте справа,
Но в одном случае ее нужно прибавлять к 10, а в другом
вычитать!
Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления,
т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа
зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число
Например, в числе 53 цифра "5" в разряде десятков
дает числу вклад в 50 единиц (5*10).
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует
величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.
Позиционные системы счисления результат длительного
исторического развития непозиционных систем счисления.
Запись чисел в десятичной системе счисления
Десятичной записью натурального числа x называется его
представление в виде: 
, где коэффициенты an, an-1, …, a1, a0 принимают
значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 
Запишем числа 4836, 2250, 10344 в десятичной системе
счисления:
,
,
Чтобы показать, что число записано в системе счисления,
отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы
счисления указывают в качестве нижнего индекса слева от числа (1001012,
2346, 3В16).
Как перевести целое число из десятичной системы в
любую другую позиционную систему счисления?
Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с
основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q,
записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от
такого деления, нужно снова разделить с остатком на q, и т.д., пока последнее
полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в
новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных
одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.
Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную и
восьмеричную:
В двоичную В восьмеричную
|
75
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
37
|
2
|
|
|
|
|
|
75
|
8
|
|
|
|
1
|
18
|
2
|
|
|
|
|
3
|
9
|
8
|
|
|
|
0
|
9
|
2
|
|
|
|
|
1
|
1
|
8
|
|
|
|
1
|
4
|
2
|
|
|
|
|
1
|
0
|
|
|
|
|
0
|
2
|
2
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
0
|
1
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7510=10010112 7510=1138
Выполнение действий над числами
Для выполнения арифметических операций в системе счисления с
основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для
P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.
|
+ 0 1 0
0 1 1 1 10
|
|
0
1 0 0 0 1 0 1
|
|
+ 0 1
2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7
10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6
6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16
|
|
0
1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6
10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24
31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61
|
|
+
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
0
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
|
2
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
|
3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
|
4
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
|
5
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
6
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
7
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
8
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
|
9
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
|
A
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
|
B
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
1A
|
|
C
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
17
|
18
|
19
|
1A
|
1B
|
|
D
|
D
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
1A
|
1B
|
1C
|
|
E
|
E
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
1A
|
1B
|
1C
|
1D
|
|
F
|
F
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
1A
|
1B
|
1C
|
1D
|
1E
|
|
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
2
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
A
|
C
|
E
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
1A
|
1C
|
1E
|
|
3
|
0
|
3
|
6
|
9
|
C
|
F
|
12
|
15
|
18
|
1B
|
1E
|
21
|
24
|
27
|
2A
|
2D
|
|
4
|
0
|
4
|
8
|
C
|
10
|
14
|
18
|
1C
|
20
|
24
|
28
|
2C
|
30
|
34
|
38
|
3C
|
|
5
|
0
|
5
|
A
|
F
|
14
|
19
|
1E
|
23
|
28
|
2D
|
32
|
37
|
3C
|
41
|
46
|
4B
|
|
6
|
0
|
6
|
C
|
12
|
18
|
1E
|
24
|
2A
|
30
|
36
|
3C
|
42
|
48
|
4E
|
54
|
5A
|
|
7
|
0
|
7
|
E
|
15
|
1C
|
23
|
2A
|
31
|
38
|
3F
|
46
|
4D
|
54
|
5B
|
62
|
69
|
|
8
|
0
|
8
|
10
|
18
|
20
|
28
|
30
|
38
|
40
|
48
|
50
|
58
|
60
|
68
|
70
|
78
|
|
9
|
0
|
9
|
12
|
1B
|
24
|
2D
|
36
|
3F
|
48
|
51
|
5A
|
63
|
6C
|
75
|
7E
|
87
|
|
A
|
0
|
A
|
14
|
1E
|
28
|
32
|
3C
|
46
|
50
|
5A
|
64
|
6E
|
78
|
82
|
8C
|
96
|
|
B
|
0
|
B
|
16
|
21
|
2C
|
37
|
42
|
4D
|
58
|
63
|
6E
|
79
|
84
|
8F
|
9A
|
A5
|
|
C
|
0
|
C
|
18
|
24
|
30
|
3C
|
48
|
54
|
60
|
6C
|
78
|
84
|
90
|
9C
|
A8
|
B4
|
|
D
|
0
|
D
|
1A
|
27
|
34
|
41
|
4E
|
5B
|
68
|
75
|
82
|
8F
|
9C
|
A9
|
B6
|
C3
|
|
E
|
0
|
E
|
1C
|
2A
|
38
|
46
|
54
|
62
|
70
|
7E
|
8C
|
9A
|
A8
|
B6
|
C4
|
D2
|
|
F
|
0
|
F
|
1E
|
2D
|
3C
|
4B
|
5A
|
69
|
78
|
87
|
96
|
A5
|
B4
|
C3
|
D2
|
E1
|
Список использованной литературы
1.http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/arifmeticheskie-operatsii-v-pozitsionnykh-sistemakh-schisleniya
2.http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/52ea4dd9-00c0-3776-9dbf-154c0740de48/1012000A.htm
.
Л.П. Стойлова. Математика. 3-е изд., Москва, 2005.