Метрические инварианты многочлена второй степени от трех переменных

Вид работы:

Курсовая работа (т)
Предмет:

Математика
Язык:

Русский
,
Формат файла:
MS Word

747,09 Кб
Опубликовано:

2013-06-02

Все курсовые работы по математике

Скачать курсовую работу Читать текст online Заказать курсовую
*Помощь в написании! Посмотреть все курсовые работы

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.

Метрические инварианты многочлена второй степени от трех переменных

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики

Курсовая работа

Тема: Метрические инварианты многочлена второй степени от трех переменных

Минск 2012

Глава 1. Теория инвариантов уравнения линии второго порядка от трех переменных, определение канонического уравнения

Замечание:

Общее уравнение

Поверхности второго порядка, заданное относительно общей декартовой системы координат, выражает одну из семнадцати поверхностей:

№	Название	Каноническое уравнение
	Эллипсоид
	Мнимый эллипсоид
	Мнимый конус
	Однополосный гиперболоид
	Двуполостный гиперболоид
	Конус второго порядка
	Эллиптический параболоид
	Гиперболический параболоид
	Эллиптический цилиндр
	Мнимый эллиптический цилиндр
	Две мнимые пересекающиеся плоскости
	Гиперболический цилиндр
	Две пересекающиеся плоскости
	Параболический цилиндр
	Две параллельные плоскости
	Две мнимые параллельные плоскости
	Две совпадающие плоскости

В данной работе будем использована теорема, сформулированная в предыдущей курсовой работе, но для трех переменных.

Именно произведем над переменными x, y, z целой рациональной функции F второй степени от этих переменных

(1)

Линейное неоднородное преобразование:

(2)

Пусть

(3)

функция, в которую при этом преобразуется функция F. Тогда имеют место соотношения

(4)

(5)

В самом деле, квадратичная форма, входящая в состав функции F, преобразует в квадратичную форму, входящую в состав функции F’ при однородном преобразовании

(6)

Отсюда следует формула (4)

при t’=1, а неоднородное преобразование (2) получается из однородного:

при t’=1

Из этих соображений получается формула(5). Из соотношений (4) и (5) следует, что при линейном преобразовании (2) над переменными x, y, z целой рациональной функции F, при котором она переходит в функцию F’, имеет место соотношения:

(4’)

(5’)

Определение:

Целая рациональная функция от коэффициентов многочлена второй степени называется ортогональным инвариантом этого многочлена относительно ортогонального преобразования, если она сохраняет свое значение при неоднородных ортогональных преобразованиях переменных.

Теорема:

Функции *

(7)

(8)

(9)

(10)

являются ортогональными инвариантами целой рациональной функции второй степени от трех аргументов:

Доказательство:

Так как определитель ортогонального преобразования равен ±1, то его квадрат равен 1 и инвариантность I3 и K4 следует из соотношений (5’) и (4’).

Для доказательства того, что I2 и I1 также являются ортогональными инвариантами, заметим, что коэффициенты являются инвариантами переноса:

(11)

Это доказывается так же, как и в предыдущей курсовой работе.

Поэтому достаточно доказать, что I2 и I1 являются инвариантами однородного ортогонального преобразования:

(12)

При этом преобразовании имеет место соотношение

Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму

(13)

При ортогональном преобразовании (12) она перейдет в форму

По доказанному дискриминант квадратичной формы является ортогональным инвариантом, значит,

Это равенство верно при всех значениях , следовательно, равны соответствующие коэффициенты при и в левой и правой частях т. е.

Теорема:

Функции

(15)

(16)

Являются инвариантами однородного преобразования. Эти функции K3 и K2 называются «семиинвариантами» (полуинвариантами).

Если же функция

однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к виду

то K3 является ортогональным инвариантом, а если F однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к виду

, (18)

то K2 (и K3) являются ортогональным инвариантом.

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию

Производя однородное ортогональное преобразование (12), получим функцию

По доказанному K4 ―ортогональный инвариант. Используя это по отношению к функции Φ, получим

(тождество относительно λ). Приравнивая коэффициенты при λ и λ2 в левой и правой частях, получим

Предположим теперь, что существует однородное ортогональное преобразование ω1, при котором функция F переходит в функцию(17) семиинвариант K3 имеет значение

(19)

равное его значению, вычисленному по формуле (15). Определитель

не меняется, если над переменными x’ и y’ функции (17) совершить преобразование перенос

Пусть ω―произвольное ортогональное преобразование. Рассмотрим ортогональное преобразование тогда . Далее, представим ортогональное преобразование ω’ в виде произведения однородного ортогонального преобразования ω3 на перенос ω2; тогда .

После однородного ортогонального преобразования ω1 функция F перейдем в функцию (17) и по доказанному K3 не изменится и будем равен его значению, вычисленному по формуле (19).

При преобразовании переноса ω2 функции F’ перейдет в функцию

и по доказанному

наконец, после однородного ортогонального преобразования ω3 функция F’’ перейдет в функцию

и, следовательно,

Аналогично доказывается, что K2 является ортогональным инвариантом, если функция F однородным ортогональным преобразованием может быть приведена к виду

Определение канонического уравнения.

В таблице указаны необходимые и достаточные признаки того, что поверхность второго порядка является поверхностью I, II, III, IV или V групп:

Номер группы	Признак группы
I II III IV V	I3≠0 I3=0 K4≠0 I3=0 K4=0 I2≠0 I3=0 K4=0 I2=0 K3≠0 I3=0 K4=0 I2=0 K3=0 I1≠0

. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью I группы. Тогда, уравнение этой поверхности при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную систему можно привести к виду

где λ1≠0, λ2≠0, λ3≠0. В таком случае

. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью II группы. Тогда её уравнение при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду

Где λ1 и λ2 ―отличные от нуля корни характеристического уравнения (λ3=0) и . Находим

. Пусть поверхность второго порядка является поверхностью III группы. Тогда её уравнение при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к виду

В данной таблице даны необходимые и достаточные признаки каждого из семнадцати классов поверхностей второго порядка

№		Название поверхности				Признак
1		Эллипсоид				I2>0 I1I3>0 K4<0
2		Мнимый эллипсоид				I2>0 I1I3>0 K4>0
3		Мнимый конус				I2>0 I1I3>0 K4=0
4		Однополосный гиперболоид				I3≠0, K4>0 и или I2≤0 или I1I3≤0
5		Двуполостный гиперболоид				I3≠0, K4<0 и или I2≤0 или I1I3≤0
6		Конус второго порядка				I3≠0, K4=0 и или I2≤0 или I1I3≤0
7		Эллиптический параболоид				I3=0, K4<0
8		Гиперболический параболоид				I3=0, K4>0
9		Эллиптический цилиндр				I3=0, K4=0 I2>0 I1K3<0
10		Мнимый эллиптический цилиндр				I3=0, K4=0 I2>0 I1K3>0
11		Две мнимые пересекающиеся плоскости				I3=0, K4=0 I2>0 K3=0
12		I3=0, K4=0 I2<0 K3≠0
13		Две пересекающиеся плоскости				I3=0, K4=0 I2<0 K3=0
14		Параболический цилиндр				I3=0, K4=0 I2=0 K3≠0
15		Две параллельные плоскости				I3=0, K4=0 I2=0 K3=0 K2<0
16		Две мнимые параллельные плоскости				I3=0, K4=0 I2=0 K3=0 K2>0
17		Две совпадающие плоскости				I3=0, K4=0 I2=0 K3=0 K2=0
	Место центров		Признак место центров	Номер класса	Признак класса		Поверхность	Название	Каноническое уравнение
	Точка		I₃≠0	1.	I₂>0, I₁I₃>0, K₄<0			Эллипсоид
				2.	I₂>0, I₁I₃>0, K₄>0			Мнимый эллипсоид
				3.	I₂>0, I₁I₃>0, K₄=0			Мнимый конус
				4.	K₄>0 и или I₂≤0 или I₁I₃≤0			Однополосный гиперболоид
				5.	K₄<0 и или I₂≤0 или I₁I₃≤0			Двуполостный гиперболоид
				6.	K₄=0 и или I₂≤0 или I₁I₃≤0			Конус второго порядка
	Нет центра		I₃=0, K₄≠0	7.	K₄<0			Эллиптический параболоид
				8.	K₄>0			Гиперболический параболоид
	Прямая		I₃=0, K₄=0, I₂≠0	9.	I₂>0, I₁K₃<0
				10.	I₂>0, I₁K₃>0			Мнимый эллиптический цилиндр
				11.	I₂>0, K₃=0			Две мнимые пересекающиеся плоскости
				12.	I₂<0, K₃≠0			Гиперболический цилиндр
				13.	I₂<0, K₃=0			Две пересекающиеся плоскости
	Нет центра			14.	I₃=0, K₄=0 I₂=0, K₃≠0			Параболический цилиндр
	Плоскость I₃=0,K₄=0,I₂=0,K₃=0 15. K₂<0 Две параллельные плоскости
	16. K₂>0 Две мнимые параллельные плоскости
				17.	K₂=0			Две совпадающие плоскости

Глава 2. Применение теории инвариантов,уравнения линии второго порядка от трех переменных

Пример 1

Определить вид поверхности второго порядка:

Решение

I₁=7, I₂=0, I₃=-36, K₄=36

Характеристическое уравнение:

Его коэффициенты: +1, -7, 36. Здесь имеются две перемены знака: при переходе от +1 к -7 и от -7 к 36; значит, уравнение имеет два положительных корня и один отрицательный. Кроме того,

;

следовательно, данная поверхность― однополостный гиперболоид.

Пример 2

Определить вид и расположение поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат уравнением

Находим

I₁=7, I₃=-36, K₄=36

Так как I₁I₃>0 K₄<0, то уравнение выражается однополостный гиперболоид. Далее I₂=0.

Характеристическое уравнение:

имеет корни 𝛌₁=3, 𝛌₂=6, 𝛌₃=-2

;

Пример 3

Находим

₁=5, I₂=6, I₃=0, K₄=0, K₃=-12

I₂>0, I₁K₃<0

имеет корни 𝛌₁=2, 𝛌₂=3, 𝛌₃=0

Пример 4

I₁=1, I₂=-6, I₃=0, K₄=0, K₃=0

Так как I₃=0, K₄=0 I₂>0 K₃=0 то данное уравнение определяет пару пересекающихся плоскостей. Что бы найти уравнения этих плоскостей, разложим левую часть данного уравнения на линейные относительно x, y, z множители: