Принятие решений в условиях риска. Выбор варианта производимого товара
Российский
Экономический Университет им. Г.В. Плеханова
Инженерно-экономический
факультет
Кафедра
технологических инноваций
Курсовая
работа
По
дисциплине
«Методы
оптимизации»
На тему:
«Принятие
решений в условиях риска. Выбор варианта производимого товара»
Выполнил:
Студент гр. 7461-2 ИЭФ
Левчук Игорь
Преподаватель:
Кулаго А.Е.
Москва
Содержание
Введение
. Принятие решений в условиях
риска
.1. Математическая модель ЗПР в
условиях риск
.2 Критерий ожидаемого выигрыша.
Необходимость введения отклонения от ожидаемого выигрыша
.3 Нахождение оптимального решения
по паре критериев (М,Ϭ)
. Задача принятия решений в условиях
риска. Выбор производимого товара
Заключение
Список литературы
Введение
Целью курсовой работы является решение задачи
принятия решений в условиях риска. Для решения этой задачи будут использоваться
математические методы. В качестве примера рассматриваем фирму, производящую
различные товары в летний сезон. Необходимо определить производство каких
товаров является наиболее оптимальным при определенных погодных условиях.
Рассмотрим также, как влияет склонность к риску предпринимателя на конечное
решение.
.Принятие решений в условиях риска
.1 Математическая модель ЗПР условиях риска
Построение реализационной структуры задачи принятия
решения сводится к заданию функции реализации F(x,
y). Формально
функция реализации есть функция двух переменных x
и y, но эти переменные
входят в нее неравноправно, что является отражением неравноправия управляющей
системы и среды. Дело в том, что управляющая система всегда имеет определенную
цель, поэтому ее поведение носит целенаправленный характер; что касается среды,
ее поведение может носить как целенаправленный, так и случайный характер.
Принятие решения в условиях риска характеризуется тем, что поведение среды
носит случайный характер, причем в этой случайности имеются закономерности
стохастического типа. В общем случае это проявляется в том, что существует
некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают те или иные
состояния среды. При этом принимающий решение имеет определенную информацию о
вероятностях появления состояний среды, которая по своему характеру может быть
весьма разнообразной. Скажем, если имеется всего три возможных состояния среды A,
B, C,
то дополнительная информация о появлении этих состояний может заключаться,
например, в сообщении о том, что состояние A
является наименее вероятным, а состояние C
- наиболее вероятным; или что вероятность A
больше, чем вероятность C;
или что вероятность C составляет
более 50% и т.п.
Изучение математической модели ЗПР в условиях
риска предполагает, кроме задания функции реализации, задание некоторой
дополнительной информации о вероятностях состояний среды. Наиболее простой для
анализа случай - когда эта дополнительная информация представлена в виде
вероятностной меры на множестве состояний среды. Если множество состояний среды
Y конечно, Y
= {1, . . . , m}, то вероятностная
мера на нем может быть задана вероятностным вектором, то есть вектором y
= (y1, . . . , ym),
где yi
≥
0 и∑yi=1 (здесь yi
есть вероятность наступления состояния j
= 1, . . . , m). Считаем, что
оценочная структура ЗПР задается в виде оценочной функции.
В данной курсовой работе предметом изучения
будут задачи принятия решений, в которых целевая функция (функция выигрыша)
представлена в виде таблицы - матрицы выигрышей ‖||aij||
(i= 1, …n;
j = 1, …m)
и, кроме того, принимающему решение (игроку) известен вероятностный вектор у =(y1,
. . . , ym). Такая
задача принятия решения (также можно назвать игрой с природой) задается
следующей таблицей:
Состояния
среды Альтернативы
|
y1 1
|
… …
|
yj j
|
… …
|
ym m
|
1
|
a11
|
|
a1j
|
|
a1m
|
…
|
|
|
|
|
|
i
|
a1i
|
|
aji
|
|
ami
|
…
|
|
|
|
|
|
n
|
a1n
|
|
ajn
|
|
amn
|
При выборе альтернативыi,
игрок знает, что он получит один из выигрышей ai1,
. . . , aimс
вероятностями y1, . . . , ym,
соответственно. Таким образом, исходом для принимающего решение при выборе им
альтернативыi будет являться
случайная величина
عi
=[ai1,…,aim;
y1,…,ym].Следовательно,
сравнение двух альтернатив i1
и i2 сводится здесь к
сравнению соответствующих им случайных величин عi1
и
عi2.
В качестве примера приведем выбор варианта
продаваемого товара. Фирма А может выставить на продажу один из товаров T1
или Т2, а фирма В - один из товаров Т1*, Т2*,Т3*. Товары Т1 и Т1* являются
конкурирующими (например, тетради и блокноты), товары Т1 и Т3*- сопутствующими
(например, тетради и ручки); остальные пары товаров являются практически
нейтральными. Прибыль (в некоторых денежных единицах) фирмы А зависит от
сочетания товаров, выставляемых на продажу обеими фирмами. . Известно, что
фирма В выставляет на продажу товар Т3* в 3 раза реже, чем Т1*и в 4 раза реже,
чем Т2*. Какой товар следует выставить на продажу фирме А?
|
Т1*
|
Т2*
|
Т3*
|
Т1
|
8
|
18
|
40
|
Т2
|
18
|
15
|
14
|
Рассмотрим эту задачу как задачу принятия
решения для фирмы А, при этом вышестоящая таблица будет матрицей выигрышей. В
качестве состояний среды здесь выступают виды товаров, выставляемых на продажу
фирмой В. Вероятности этих состояний могут быть найдены из указанного
соотношения частот следующим образом. Пусть х - доля случаев, в которых
выставляется на продажу товар Т3*. Тогда для товара Т1* доля случаев, в которых
он выставляется на продажу, составляет 3х, а для товара Т2*-4х. Так как х + 3х
+ 4х = 1, то х = 1/8, откуда вероятности состояний Т1*, Т2*, Т3*равны, соответственно
3/8, 4/8 и 1/8. Получаем в итоге задачу принятия решения в условиях риска,
заданную таблицей :
|
3/8
1
|
4/8
2
|
1/8
3
|
Т1
|
8
|
40
|
Т2
|
18
|
15
|
14
|
.2 Критерий ожидаемого выигрыша. Необходимость
введения отклонения от ожидаемого выигрыша
Итак, принятие решения в условиях риска сводится
к сравнению между собой случайных величин. Как известно из теории вероятностей,
наиболее естественной числовой характеристикой случайной величины عявляется
ее математическое ожидание (МО), обозначаемое далее через Мع. Если для задачи принятия решений в условиях риска в качестве
критерия для сравнения альтернатив взять математическое ожидание
соответствующей случайной величины (или просто говоря ожидаемый выигрыш), то
оптимальной следует считать альтернативу, максимизирующую ожидаемый выигрыш.
Для описанного выше примера имеем: МعТ1
= 8*3/8 + 18*4/8 + 40 *1/8= = 17, МعТ2
=18*3/8+15*4/8+14*1/8= 16. Таким образом, здесь оптимальной по указанному
критерию будет альтернатива Т1.
Можно ли согласиться с тем, что альтернатива Т1
лучше, чем Т2? Как известно из теории вероятностей, математическое ожидание Мع случайной величины ع представляет собой число, к которому приближается среднее
значение этой случайной величины при большом числе испытаний. Таким образом, в
игре с природой ориентация на математическое ожидание выигрыша есть фактически
ориентация на средний выигрыш, который получится при многократном повторении
этой игры (в предположении, что условия игры не изменятся). Разумеется, если в
действительности игра повторяется многократно, то критерий среднего выигрыша
(скажем, в экономических задачах - средней прибыли) можно считать оправданным.
Однако разумно ли ориентироваться на этот критерий при единичном испытании?
Вернемся к примеру .Здесь МعТ1
= 20,5, МعТ2
= 20.Безусловно, выигрыш в 17 денежных единиц лучше, чем выигрыш в 16денежных
единиц, однако при выборе альтернативы Т1 мы ведь получим не 17 денежных
единиц, а один из выигрышей: 8, 18 или 40; точно также при выборе альтернативы
Т2 мы получим не 16, а один из выигрышей 18, 15 или 14. Составим таблицу, в
которой указаны отклонения возможных выигрышей от их ожидаемых значений и
вероятности этих отклонений.
|
3/8
|
4/8
|
1/8
|
Т1
|
-9
|
1
|
23
|
Т2
|
2
|
-1
|
-2
|
Из этой таблицы видно, что альтернативы Т1 и Т2,
имея близкие значения ожидаемых выигрышей, по-разному ведут себя в плане
возможных отклонений от ожидаемых выигрышей. Отсюда можно сделать следующий
вывод: для задачи принятия решений в условиях риска критерий ожидаемого
выигрыша не является адекватным и должен быть трансформирован с учетом
возможных отклонений случайной величины от ее среднего значения. В теории
вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от ее среднего
значения (меры "разброса") обычно берется дисперсияDع или среднеквадратичное отклонение (СКО) Ϭ =√Dع. Напомним, что формально дисперсия определяется как
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ожидаемого
значения:Dع=M(ع-Mع)2.
Технически удобней здесь использовать
среднеквадратичное отклонение Ϭ, так как при изменении масштаба измерения
Ϭ изменяется пропорционально.
Для задач принятия решений в условиях риска
будем рассматривать в качестве показателя риска среднеквадратичное отклонение Ϭ.
.3 Нахождение оптимального решения по паре
критериев (М,Ϭ)
принятие решение риск ожидание
Сказанное выше можно подытожить следующим
образом для задач принятия решений в условиях риска выбор альтернативы ع приводит к случайной величине عi,
которая может быть охарактеризована парой показателей (Мi,Ϭi),
где Mi-Mعi
- ожидаемый выигрыш и Ϭi
=√Dعi-
показатель риска. Теперь мы можем приступить к решению основной задачи -
построению адекватного критерия сравнения альтернатив.
Фактически здесь получается задача
2-критериальной оптимизации, где в качестве частных критериев выступают M
и Ϭ. Рассмотрим два метода решения данной задачи
)Наиболее заманчивым является
"соединение" указанных двух критериев в единый (обобщенный) критерий.
Попробуем в качестве обобщенного критерия взять
q(M,Ϭ)=M-λϬ
где λ
- некоторая постоянная; фактически критерий представляет собой взвешенную сумму
частных критериев M и Ϭ с
весовыми коэффициентами 1 и −λ.
При λ>
0 оценка случайной величины с помощью обобщенного критерия будет меньше, чем ее
среднее значение, что является характерным для осторожного человека, то есть не
склонного к риску человека. Напротив, при λ<
0 оценка критерия будет больше, чем ее среднее значение, что характеризует
человека, склонного к риску. Наконец, при λ
= 0 оценка критерия случайной величины совпадает с ее средним значением (то
есть возможные отклонения случайной величины от ее среднего значения
игнорируются) - это характеризует человека, безразличного к риску. В качестве
основного мы будем далее рассматривать случай, когда принимающий решение не
склонен к риску, то есть λ> 0.
В чем же будет содержательный смысл обобщенного
критерия при λ> 0?В этом
случае увеличение критерия q
может происходить как за счет увеличения λ,
так и за счет уменьшения λ. Таким
образом, для человека не склонного к риску, критерий отражает стремление к
увеличению ожидаемого выигрыша и уменьшению риска отклонения от него. При этом
показатель λ характеризует
субъективное отношение принимающего решение к риску: чем больше λ,
тем в большей степени он несклонен рисковать; таким образом, λ
можно
рассматривать как субъективный показатель меры несклонности к риску
(субъективный показатель осторожности).
Учет риска отклонения от ожидаемого значения
выигрыша при использовании критерия производится следующим образом. Ожидаемый
выигрыш уменьшается или увеличивается (в зависимости от того- имеется несклонность
или склонность к риску) на величину, равную произведению показателя риска Ϭ
(представляющего собой объективную характеризацию меры риска), на субъективный
показатель λ, характеризующий
отношение принимающего решение к риску.
Что можно сказать о мере склонности или
несклонности к риску по величине показателя λ?
Например: большая ли несклонность к риску у человека, для которого λ
= 3? Для ответа на этот вопрос воспользуемся известным в теории вероятностей
неравенством Чебышева. Пусть принимающий решение не склонен к риску. Так как
оценкой случайной величины ع служит число M
−
λϬ,
то "неприятность" для принимающего решение наступает тогда, когда ع<M-λϬ.
Оценим вероятность этого события. В этом случае выполняется M-ع>λϬ,
следовательно |ع −
M| >λϬ.
В силу неравенства Чебышева вероятность последнего соотношения будет меньше,
чем Dع/(λϬ)2 = Ϭ2/(λ2Ϭ2)
= 1/λ2.
Итак, вероятность того, что случайная величина ع примет значение, меньшее ее оценки M-λϬ,
не превосходит 1/λ2.
Мы можем предположить, если λ=
3, то вероятность того, что случайная величина "неопустится" ниже
оценки M
−
3Ϭ, будет не менее 1 − 1/9, то есть почти90%. Такую степень риска
можно считать невысокой, то есть значение λ=
3 соответствует "достаточно большой степени осторожности"(или"
достаточно высокой несклонности к риску").
Далее нужно выяснить - как устанавливается
предпочтение альтернатив по обобщенному критерию . Будем считать, что
принимающий решение не склонен к риску (λ>
0). Как мы установили выше, в этом случае он стремится увеличить ожидаемый
выигрыш и уменьшить риск, то есть критерий
M
будет здесь позитивным, а критерий Ϭ - негативным. Пусть(ai)
- некоторое множество альтернатив, каждая из которых характеризуется парой
показателей (Mi, Ϭi).
Зафиксируем какие-то две альтернативы ai1
= (Mi1, Ϭi1)
и ai2 = (Mi2,
Ϭi2). Находим
критерии q1и q2.
Возможны два случая.
а) Альтернативы ai1
и ai2сравнимы по
Парето. Пусть, например,ai1>ai2.
Тогда Mi1 ≥ Mi2
и Ϭi1 ≤ Ϭ2(причем
хотя бы одно неравенство строгое), значит Mi1-λϬi1>Mi2-λϬi2,
то есть q(ai1)>q(ai2).
Таким образом, в этом случае независимо от меры несклонности принимающего
решение к риску (то есть от значения показателя λ>
0) альтернатива ai1будет
более предпочтительной, чем альтернатива ai2(этот
факт записывается в виде ai1
ai2).
b) Альтернативы ai1
и ai2 несравнимы по
Парето. Пусть, например,Mi1
>Mi2, тогда Ϭi1
>Ϭi2(то есть больший
ожидаемый выигрыш здесь всегда сопровождается большим риском). Условие Mi1-λϬi1>Mi2-λϬi2
равносильно тому, что λ<(Mi1-Mi2)/(Ϭi1-Ϭi2).
Таким образом, в этом случае
1 ai2;
λ<(Mi1-Mi2)/(Ϭi1-Ϭi2)
ai 2 ai
1; λ>(Mi1-Mi2)/(Ϭi1-Ϭi2)
При решении многокритериальной задачи принятия
решений основная проблема при определении оптимальной альтернативы состоит в
выборе одной альтернативы из множества оптимальных по Парето альтернатив. Эта
проблема легко решается (в случае конечного Парето-оптимального множества),
если произведено полное ранжирование Парето-оптимальных альтернатив по
предпочтению. Так как любые две Парето-оптимальные альтернативы не сравнимы по
Парето, то для них выполнено условие b).
В этом случае предпочтение между альтернативами ai1
и ai2 будет зависеть от
того, выполняются ли вышестоящие условия. В то же время, предпочтения между
Парето-оптимальными альтернативами будут носить "единообразный"
характер, когда одно из условий выполнено для всех i1,
i2,при которых
альтернативы ai1 и ai2оптимальны
по Парето. Формально это обстоятельство можно выразить следующим образом.
Положим
λ’=min{(Mi1-M12)/(Ϭi1-Ϭi2)};
λ*=max{(Mi1-Mi2)/(Ϭi1-Ϭi2),
где операторы min и max распространяются на такие пары индексов(i1,
i2), для которых
альтернативы ai1, ai2оптимальны
по Парето и Mi1 >Mi2(а,
следовательно, Ϭi1
>Ϭi2). Назовем λ’
нижней границей несклонности к риску, λ*-
верхней границей несклонности к риску (всегда выполняется λ’<λ*).
Нf основании b),
получаем для человека, не склонного к риску, следующее
) Если у принимающего решение его субъективный
показатель несклонности к риску меньше нижней границы (λ<λ’),
то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному
критерию q совпадает с
ранжированием по показателю ожидаемого выигрыша M
(то есть более предпочтительной будет та альтернатива, для которой больше
ожидаемый выигрыш);
) Если у принимающего решение его субъективный
показатель несклонности к риску больше верхней границы (λ>λ*),
то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по
обобщенному критерию q
совпадает с ранжированием по показателю риска Ϭ (более предпочтительной
будет та альтернатива, для которой меньше риск).
Таким образом, для принятия решений в условиях
риска применение обобщенного критерия сводит проблему нахождения оптимального
решения к проблеме установления для принимающего решение его меры несклонности
(или склонности) к риску. В связи с этим возникает законный вопрос: существует
ли эта мера вообще? Заметим, что этот вопрос относится не к математике, а к
психологии, так как склонность (или несклонность) к риску является
субъективно-психологическим качеством человека. Многие психологи отвечают на
этот вопрос утвердительно; при этом предлагается определять показатель
склонности (или несклонности) индивидуума к риску из наблюдений за тем, как
этот индивидуум принимает решения в рискованных ситуациях - как естественных,
так и искусственных. В заключение обсуждения использования обобщенного критерия
для задач принятия решений в условиях риска сделаем несколько замечаний.
Согласно а) максимальное значение обобщенного
критерия q всегда достигается
на Парето-оптимальной альтернативе. Это позволяет найти одну (или несколько)
оптимальных по Парето альтернатив по значениям критерия q.
Конечно, если число альтернатив невелико, то задача нахождения какой-то
Парето-оптимальной альтернативы может быть легко решена непосредственно. Однако
дело существенно осложняется, когда имеется большое число альтернатив
(несколько сотен и более). В этом случае удобством характеризации каждой
альтернативы одним числом - величиной обобщенного критерия - не следует
пренебрегать.
Основной недостаток критерия qсостоит
в том, что он базируется на предположении постоянства меры несклонности к риску
для данного лица, принимающего решение (что означает постоянство локального
коэффициента замещения между критериями M
и Ϭ. Вместе с тем, для большинства людей их мера склонности (или
несклонности) к риску меняется в зависимости от величины ожидаемого выигрыша и
степени риска. Долю оптимизма здесь привносит то обстоятельство, что для
установления ранжирования альтернатив достаточно знать не точное значение
показателя λ, а некоторый
содержащий его интервал.
Типичным примером проявления несклонности к
риску является участие во всякого рода страхованиях. Обратный пример-
проявление склонности к риску - покупка лотерейного билета, стоимость которого
больше ожидаемого (то есть среднего) выигрыша в этой лотерее.
Следует сказать, что, как правило, бизнесмены
при решении серьезных деловых вопросов предпочитают не рисковать (то есть
проявляют несклонность к риску). Хотя нередко среди бизнесменов встречается и
противоположный тип.
) Рассмотрим теперь для Задачи принятия решений
в условиях риска методы нахождения оптимального решения, основанные на
отношении доминирования по Парето). Будем считать, что принимающий решение не
склонен к риску; тогда критерий ожидаемого выигрыша будет позитивным, а
критерий риска - негативным. Предположим, что требуется выбрать одну
(оптимальную) альтернативу из заданного множества допустимых альтернатив (ai),
каждая из которых характеризуется парой показателей (Mi,Ϭi).
Изобразим на координатной плоскости точки с координатами (Mi,Ϭi)
(рис.1). Содержательно условие доминирования по Парето ai1>ai2
означает, что для альтернативы ai1
получается такой же (или больший) ожидаемый выигрыш, что и для альтернативы ai2,
но с меньшим (или таким же) риском. Например, a2>a3,
a9>a3,
a4>a5,
a8>a9
и т.д. В данном примере множество Парето-оптимальных альтернатив есть {a1,
a4, a7,
a8}; окончательный
выбор оптимальной альтернативы должен производится из этого множества. Здесь
есть два подхода:1-й подход заключается в том, что рациональный анализ
заканчивается указанием множества Парето-оптимальных альтернатив и
окончательный выбор оптимальной альтернативы из этого множества производит
принимающий решение на основе неформальных дополнительных соображений.
Рассмотрим теперь вкратце 2-й подход, когда производятся некоторые процедуры
сужения множества Парето-оптимальных альтернатив.
Рис.1
а) Субоптимизация связана с выбором одного
критерия и назначением нижних границ по остальным критериям. Для нашей задачи
более "осязаемым" является критерий ожидаемого выигрыша, поэтому
логичным является проведение субоптимизации следующим образом: назначить нижнюю
границу по критерию M и
оптимизировать (в данном случае - минимизировать) оставшийся критерий Ϭ.
Например, если взять в качестве нижней границы критерия ожидаемого выигрыша
значение M6, то оптимальной
будет альтернатива a4, так как
среди альтернатив, удовлетворяющих условию Mi
≥
M6, она является
наименее рискованной.) Лексикографическая оптимизация предполагает упорядочение
критериев по относительной важности. Пусть, например, M
- важнейший критерий. Так как максимальное значение по критерию M
имеет единственная альтернатива a8,
то она и будет являться оптимальной. Здесь наглядно проявляется недостаток
метода лексикографической оптимизации: учет фактически одного (важнейшего)
критерия. Указанный недостаток связан с необходимостью введения жесткого
приоритета критериев и может быть снят за счет ослабления "жесткости"
приоритетов следующим образом. Назначим некоторую "уступку"δ1
по важнейшему критерию и на первом шаге отберем те альтернативы, для которых
оценка по первому (важнейшему) критерию отличается от максимальной оценки не
более, чем на δ1. После этого
назначаем "уступку"δ2
для 2-го по важности критерия и среди отобранных на первом шаге альтернатив выбираемте,
для которых оценка по 2-му критерию отличается от максимальной не более, чем на
δ2
и т.д.
Например, в нашем случае возьмем в качестве
"уступки" по критерию ожидаемого выигрыша величину δ1.
Тогда результатом выбора на первом шаге будут альтернативы {a7,
a8, a9}.
Среди них наилучшей по 2-му критерию является альтернатива a7
- она и будет оптимальной. Таким образом, несколько снизив требования по
критериюM, мы значительно
улучшили оценку по критерию Ϭ (то есть некоторое уменьшение ожидаемого
выигрыша привело к существенному снижению риска).
Недостаток изложенного метода
"последовательных уступок" состоит в необходимости получения
дополнительной информации от принимающего решение о величине
"уступки" по каждому критерию(кроме последнего).
. Задача принятия решений в условиях риска.
Выбор производимого товара
Фирма Х может выпускать продукцию одного из
следующих пяти видов: зонтики(з), куртки(к), плащи(п), сумки(с), шляпы(ш).
Глава фирмы должен принять решение - какой из этих видов продукции выпускать в
течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет
лето - жарким, дождливым или умеренным, и определяется нижестоящей таблицей.
Выбор какого варианта производства будет оптимальным?
|
Д
|
Ж
|
У
|
З
|
85
|
34
|
26
|
К
|
60
|
22
|
57
|
п
|
64
|
19
|
30
|
с
|
37
|
40
|
Ш
|
50
|
30
|
45
|
При отсутствии дополнительной информации о
состояниях среды эта задача будет задачей выбора решения в условиях
неопределенности, и ее решение возможно при принятии какой-либо гипотезы о
поведении среды. Если принимающий решение имеет информацию о вероятностях
наступления холодной, теплой и умеренной зимы, то указанная задача становится
задачей принятия решения в условиях риска. В нашем случае необходимая
дополнительная информация может быть взята из статистических данных (наблюдений
за погодой в данной местности). Предположим, что вероятность холодной, теплой и
умеренной зимы равна, соответственно, 0.2; 0.5; 0.3. Тогда получаем задачу
принятия решений в условиях риска, заданную таблицей
0,20,50,3
|
|
|
|
З
|
85
|
34
|
26
|
К
|
60
|
22
|
57
|
п
|
64
|
29
|
30
|
с
|
60
|
37
|
40
|
Ш
|
50
|
30
|
45
|
Найдем ожидаемые выигрыши, соответствующие
альтернативамз = 85·0.2+34·0.5+26·0.3 = 41,8; MС = 60*0.2+37·0.5+40·0.3 =
42,5;к = 60·0.2+22·0.5+57·0.3 = 40,1; Mш = 50·0.2+30·0.5+45·0.3 = 38,5;п =
64·0.2+29·0.5+30·0.3 = 36,3;
Далее, определим дисперсии случайных величин عп,
в, عш, عС,
عб, (здесь
удобно использовать следующее свойство дисперсии: Dع=Mع2-(Mع)2).
DعЗ=7225*0,2+1156*0,5+676*0,3-1747,24=478,56
DعК=3600*0,2+484*0,5+3249*0,3-1608,01=328,69
DعП=4096*0,2+841*0,5+900*0,3-1317,69=192,01
Dعс=3600*0,2+1369*0,5+1600*0,3-1806,25=78,25
DعШ=2500*0,2+900*0,5+2025*0,3-1482,25=75,25
Среднеквадратичные отклонения рассматриваемых
случайных величин таковы:
ϬЗ=√478,56 = 21,9;
ϬК=√328,69=18,1;
ϬП=√192,01=13,9;
ϬС =√78,25=8,8;
ϬШ =√75,25=8,7;
Составим таблицу значений критериев М и Ϭ
для каждой альтернативы.
|
М
|
Ϭ
|
З
|
41,8
|
21,9
|
К
|
40,1
|
18,1
|
П
|
36,3
|
13,5
|
С
|
42,5
|
8,8
|
Ш
|
38,5
|
8,7
|
Представим рассматриваемые альтернативы точками
на координатной плоскости переменных (М,Ϭ)(рис.2), находим
Парето-оптимальное множество{с,ш,к}. Окончательный выбор оптимальной
альтернативы должен производиться из этого множества. Сужение
Парето-оптимального множества (в идеале - до одного элемента)может быть
произведено только при наличии дополнительной информации о соотношении
критериев М и Ϭ; в частности, такое сужение может быть произведено
методом субоптимизации или методом лексикографической оптимизации - как это
схематично ранее.
Рис.2
Попробуем найти оптимальное решение
при помощи обобщенного критерия q. Здесь
q(з) =
41,8-21,9λ,
q(К) = 40,1 -
18,1λ,
q(П) = 36,3 -
13,5λ,
q(С) = 42,5 -
8,8λ,
q(Ш) = 38,5 -
8,7λ,
Для установления ранжирования
Парето-оптимального множества {с, ш,к}по обобщенному критерию q найдем
вначале нижнюю и верхнюю границы меры несклонности к риску. Имеем:
(Мк-МШ)/(Ϭк-ϬШ)=(40,1-38,5)/(18,1-8,7)=0,17
(Мк-Мс)\(Ϭк-Ϭс)=(40,1-42,5)/(18,1-8,8)=-0,26
отсюда λ’=
min(-0,26;0,17;40) = -0,26, λ* = max(-0,26;0,17;40) =40. Таким
образом, интервал (-∞,+∞) разбивается на три интервала:( -∞,-0,26)
- зона склонности к риску (зона малой осторожности); (40, +∞) - зона
большой несклонности к риску (зона большой осторожности); [-0,26,40] - зона
неопределенности.
Получаем:
)Если для принимающего решение его
мера несклонности к риску -∞ ≤ λ < -0,26, то для
него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив совпадет с их
ранжированием по величине ожидаемого выигрыша: СКШ (знаком обозначается
предпочтение по величине обобщенного критерия q); при этом
оптимальной будет альтернатива С;
) Если для принимающего решение его
мера несклонности к риску
λ >40,
то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив совпадет с их
ранжированием по показателю риска: ШСК ; при этом оптимальной будет
альтернатива Ш .
Рассмотрим теперь случай, когда мера
несклонности принимающего решение к риску попадает в зону неопределенности.
Возьмем, например,
λ
= 2. Тогда q(к) =
40,1-21.9 · 2 = -3,7; q(С) = 42,5 - 8,8 · 2 = 34,9; q(Ш) = 38,5 −8,7
· 2 = 21.1. Получаем ранжирование СШК . Таким образом, в этом случае
предпочтение для пары (К,Ш) определяется по величине ожидаемого выигрыша, а для
пары (Ш,С) - по величине риска.
Заключение
Проведя исследования, я установили,
что если предприниматель склонен к риску, то лучшей альтернативой для него
будет выпуск сумок.
Если же предприниматель осторожен,
он старается минимизировать риски, то лучшая альтернатива - шляпы. Однако,
стоит заметить, что разница в величине отклонения с сумками минимальна.
В случае, когда предприниматель
безразличен к риску, лучшей альтернативой для выпуска являются также сумки.
Список литературы
1)Розен
В.В., Математические модели принятия решений в экономике, Москва, Высшая школа,
2002.
)Орлов
А.И., Теория принятия решений, Москва, Март, 2004.
3)Балабанов
И.Т. Риск-менеджмент. - Москва. Финансы и статистика, 2001.
)Лапуста
М.Г., Шаршукова Л.Г. Риски в предпринимательской деятельности. - Москва,
ИНФРА-М, 2003.
)Ступаков
В.С., Токаренко Г.С. Риск-менеджмент. - Москва.: Финансы и статистика, 2005.
)Шапкин
А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций.
- Москва, Дашков и Ко, 2004.
7)
Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю., Моделирование рисковых ситуаций в
экономике и бизнесе, Москва, Финансы и статистика, 2000
8)
http://nto.immpu.sgu.ru/sites/default/files/3/__17007.pdf
)http://www.elitarium.ru/2010/06/29/prinjatie_reshenijj_neopredelennost.html