Автоматизированное проектирование аналоговых фильтров
Курсовой проект
Автоматизированное
проектирование аналоговых фильтров
Введение
Основным содержанием курсовой работы по курсу «Моделирование
объектов и процессов компьютеризации» является изучение и закрепление на
практике изученного теоретического материала, касающегося методов
проектирования аналоговых активных фильтров на резистивно-емкостных
электрорадиоэлементах (ARC-фильтров), находящих широкое применение при
разработке электронных аналоговых и цифровых схем, систем автоматического управления
и т.п.
Курсовая работа выполняется на персональном
компьютере с использованием системы автоматизации схемотехнического
проектирования ALLTED (ALL TEchnologies Designer) [1,2].
1.
Методические указания к расчету аналоговых фильтров на операционных усилителях
При проектировании аналоговых фильтров обычно задаются
требования к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ). Общепринятый способ
задания таких требований для различных типов фильтров показан на рис. 1. При
этом требования к фазовой характеристике не оговариваются. В этом случае обычно
задаются частоты среза для фильтра нижних (ФНЧ) и верхних (ФВЧ) частот или
граничим: частоты полосы пропускания для полосового фильтра (ПФ) и полосы
задерживания для заграждающего фильтра (ЗФ), неравномерность коэффициента
передачи аф в полосе пропускания, граничные частоты полосы
задерживания f1 и f2, минимальное затухание вф
в полосе задержания.
o Фильтр нижних частот (полоса пропускания 0ffc, полоса задерживания f1f¥);
o Фильтр нижних частот (полоса пропускания ¥³f³fc, полоса задерживания f2³f³0);
o Фильтр полосовой (полоса пропускания fHffB, полосы задерживания f1 ³ f ³0, f2f¥);
o Фильтр заграждающий (полосы пропускания 0ffН, fBf ¥, полоса задерживания f1f f2).
Основная задача, возникающая при проектировании аналоговых
фильтров, - синтез оптимальной принципиальной схемы и расчет величин элементов
по заданным требованиям к его АЧХ. Синтез можно разбить на два основных этапа.
На первом этапе решается задача аппроксимации-отыскание
аналитической аппроксимирующей функции, которая с требуемой точностью
воспроизводит заданную по условиям характеристику. При этом на аппроксимирующую
функцию накладываются ограничения в виде необходимых и достаточных условий
физической реализуемости.
На втором этапе решается задача реализации-отыскание
совокупности цепей, имеющих характеристики, достаточно близкие к
аппроксимирующей функции. В связи с тем, что любой физически осуществимой
функции соответствует множество электрических схем, синтез неоднозначен.
Так как реализация функций высоких порядков затруднительна,
функцию раскладывают на сомножители, обычно не выше второго порядка, которые и
реализуют простейшими развязанными звеньями с активными элементами, например
операционными усилителями (ОУ). При каскадном соединении таких звеньев удается
получить результирующую схему с требуемыми свойствами, так как ее коэффициент
передачи равен произведению коэффициентов передачи исходных звеньев.
Рис. 1. Задание требований к АЧХ фильтров:
аппроксимация фильтр аналоговый частота
1.1
Нормирование характеристик и электрических величин
Порядок величин, характеризующих параметры элементов
электрических цепей, колеблется от 10-12 Ф (для емкостей) до 106…107
Ом (для сопротивлений). Рабочие частоты колеблются в диапазоне от нескольких до
миллионов герц. Таким образом, числовые значения электрических величин могут
оказаться неудобными для практического использования. С другой стороны,
свойства различных функций к операции синтеза не зависят от абсолютной величины
коэффициентов этих функций. Поэтому целесообразно отделить рассмотрение свойств
функций и техники синтеза (проектирования) от конкретных значений
коэффициентов. Это достигается нормированием величин.
Вычисления можно упростить, если все функции сопротивления
разделять на некоторую величину R0, что эквивалентно изменению
параметров пассивных элементов R, L и C следующим образом:
R'н=, L'н=, C'н=CR0.
Этот процесс называется изменением уровня (нормированием)
сопротивлений. При таком преобразовании передаточные функции цепи,
представляющие собой отношения напряжений или токов, не изменяются. После
реализации для восстановления уровня сопротивлений необходимо параметры R и L
умножить, а С - разделить на R0. При проектировании фильтров
величину R0 можно выбирать произвольно (обычно в пределах 1…100 к0
м).
Для того чтобы сделать расчеты универсальными и упростить
вычисления, используют также и нормирование частоты путем деления текущей частоты
f на частоту f0. В качестве нормирующей частоты f0 в
фильтрах нижних и верхних частот выбирают частоту среза fc, а в
полосовых и заграждающих-частоту, равную соответственно протяженности полосы
пропускания или задерживания. Осуществив нормирование, решают задачу
аппроксимации и реализации в нормированной частоте. При таком преобразовании
частоты сопротивления R'н не изменяются, индуктивное сопротивление
уменьшается, а емкостное сопротивление увеличивается в w0 раз (w0=2pf0). Чтобы эти сопротивления восстановить, т.е.
вернуться к требуемому частотному диапазону, необходимо величины L'н
и C'н умножить на w0, т.е.
LH = L’H w0 = (L/R0)w0,H = C’H w0 = C R0w0 (1)
При этом Rн=R'н=R/R0.
Таким образом, если нормирующими коэффициентами являются R0
и f0, а Rн, Lн и Сн представляют
собой нормированные значения параметров пассивных компонентов, полученных в
результате синтеза цепи, то их действительные значения после восстановления
уровня сопротивлений и частоты на основании выражения (1) составят:
R=RHR0; C=CH/(R0
2pf0); L=LHR0/(2pf0); (2)
Очевидно, что нормированные значения элементов являются
безразмерными.
В дальнейшем все расчетные формулы приведены для нормирования
значений параметров элементов R и C.
При денормировании значений параметров компонентов величину R0
следует выбирать таким образом, чтобы значения R, C и L, рассчитанные с помощью
формул (2), в рабочей области частот удовлетворяли условиям: Rвх>>R>>Rвых;
Rвх>>>>Rвых; Rвх>>wL>>Rвых, где Rвх,
Rвых - соответственно входные и выходные сопротивления используемых
активных усилительных элементов (например, операционных усилителей).
2.
Аппроксимация амплитудно-частотных характеристик фильтров
Рассмотрим вопросы аппроксимации амплитудно-частотной
характеристики фильтров нижних частот. Аппроксимация АЧХ фильтров верхних
частот, полосовых и заграждающих фильтров основана на аппроксимации
низкочастотных фильтров-прототипов.
2.1
Изоэкстремальная (эллиптическая) аппроксимация амплитудно-частотной
характеристики ФНЧ по Золотареву-Кауэру
При аппроксимации по Золотареву-Кауэру передаточная функция
ФНЧ является дробно-рациональной и имеет вид
(10)
Здесь Zi-нули, лежащие на оси j; pWk - полюсы, которые располагаются в левой части комплексной
плоскости на полуовале эллипса аналогично полюсам равноволновой функции (рис.
2, б). Такая функция называется изоэкстремальной. Ее модуль в пределах 0£F£1 аналогично равноволновой функции непериодически колеблется n+1
раз между чередующимися максимальным и минимальным значениями (рис. 4, а). На
частоте среза F=1 модуль снижается до минимального допустимого значения.
Рис. 2. Аппроксимация АЧХ по Золотареву-Кауэру
На интервале 1£F£F1 он монотонно снижается. На
интервале F1£F£¥ функция вновь приобретает непериодический
волнообразный характер, причем наибольшее по абсолютной величине ее значение не
превышает некоторой гарантированной величины.
Необходимая степень n функции, обеспечивающей неравномерность аф
и затухание вф, определяется по формуле
(11)
Коэффициент b представляет
собой отношение эллиптических интегралов K(q,p/2) и K (90°-q,p/2), где q=arcsin (1/F1) - модульный угол
(табл. 1).
Таблица 1. Значения кооэфициента b при различных значениях модульного угла q
q,…°
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
40
|
45
|
b
|
0,411
|
0,502
|
0,577
|
0,647
|
0,714
|
0,782
|
0,851
|
0,923
|
1,0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q,…°
|
50
|
55
|
60
|
65
|
70
|
75
|
80
|
85
|
|
b
|
1,083
|
1,175
|
1,279
|
1,4
|
1,565
|
1,732
|
1,992
|
2,435
|
|
Если рассчитанное значение q отличается от
приведенных в табл. 1, необходимо выбрать ближайшее большее значение.
Выбор минимального порядка передаточной функции по заданным аф,
вф и F1 можно осуществить также с помощью табл. 2, в
которой приведены значения максимально допустимой частоты затухания F1
для различных фильтров. При заданных аф и вф необходимо
найти наименьший порядок n, которому соответствует частота затухания F1,
не превосходящая заданного значения.
Таблица 2: Нормирование Значения
частоты затухания F1 эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра
N
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
aф =0.5дБ
|
40
|
8.4892
|
2.7115
|
1.6284
|
1.2726
|
1.127
|
1.0611
|
1.0299
|
1.0147
|
|
50
|
|
3.9043
|
2.0692
|
1.4847
|
1.241
|
1.1254
|
1.0668
|
1.0361
|
1.0196
|
60
|
|
5.6793
|
2.6832
|
1.7766
|
1.4014
|
1.2198
|
1.1243
|
1.0715
|
1.0416
|
aф =1дБ
|
40
|
7.0448
|
2.4162
|
1.5155
|
1.2187
|
1.0989
|
1.046
|
1.0217
|
|
|
50
|
|
3.4606
|
1.9082
|
1.4072
|
1.1989
|
1.1013
|
1.0526
|
1.0277
|
|
60
|
|
5.0212
|
2.4608
|
1.6716
|
1.3435
|
1.1855
|
1.1031
|
1.0582
|
1.0332
|
aф =3дБ
|
40
|
5.0558
|
1.9802
|
1.3466
|
1.1393
|
1.0589
|
1.0254
|
|
|
|
50
|
8.93
|
2.7986
|
1.6615
|
1.2885
|
1.1353
|
1.0657
|
1.0324
|
|
|
60
|
|
4.0347
|
2.116
|
1.5071
|
1.2533
|
1.1325
|
1.071
|
1.0386
|
|
В табл. 3 приведены координаты нулей и полюсов передаточной
функции, аппроксимирующей АЧХ по Золотареву-Кауэру.
Постоянный множитель Н в выражении (10) выбирается из
следующих соображений:
а) при нечетных n необходимо выбрать Н из условия К(0)=1;
б) при четных n - из условия К(0)=10
При равных порядках аппроксимирующих функций аппроксимация по
Золотареву-Кауэру обеспечивает наиболее крутой спад АЧК в переходной области от
полосы пропускания к полосе задерживания, т.е. наибольшую избирательность при
малых расстройках. Кроме того, в полосе задерживания некоторые частоты
полностью подавляются (нули передачи). Но при больших расстройках
избирательность фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту, может
оказаться лучше. Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает лучшую избирательность
(при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Однако
фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Баттерворту, наиболее
линейна. Наименее линейна фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного
по Золотареву-Кауэру. Таким образом, реализация одних и тех же требований к АЧХ
(при сравнительно небольших расстройках) осуществляется проще всего при
аппроксимации по Золотареву-Кауэру (наименьшее n), а сложнее всего по
Баттерворту (наибольшее n).
Таблица 3. Координаты полюсов и нулей передаточных функций
эллиптических ФНЧ Золотарева-Кауэра
n
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
Bф =40дБ, aф =0.5дБ
|
Нули
|
±j11.5175
|
±j3.1031
|
±j1.7295
±j3.8476
|
±j1.3126
±j1.88
|
±j1.1434
±j1.3607 ±j3.1513
|
±j1.0692
±j1.1652 ±j1.7041
|
±j1.0335
±j1.0783 ±j1.2967 ±j3.0105
|
±j1.0166
±j1.0383 ±j1.1375 ±j1.6657
|
±j1.0081
±j1.0187 ±j1.0656 ±j1.2822 ±j2.9774
|
Полосы
|
-0.7087 ±j1.0098
|
-0.6591
|
-0.1357 ±j1.0212
|
-0.47
|
-0.0324 ±j1.0065
|
-0.4302
|
-0.0079 ±j1.0017
|
-0.4208
|
-0.0019 ±j1.0004
|
|
|
-0.2903 ±j1.0305
|
-0.4537 ±j0.4926
|
-0.0661 ±j1.0122
|
-0.1526 ±j0.8797
|
-0.0161 ±j1.0034
|
-0.0409 ±j0.9715
|
-0.0039 ±j1.0009
|
-0.0103 ±j0.9931
|
|
|
|
|
-0.2757 ±j0.7505
|
-0.3853 ±j0.412
|
-0.0803 ±j0.9414
|
-0.1483 ±j0.8428
|
-0.0206 ±j0.9859
|
-0.041 ±j0.9613
|
|
|
|
|
|
|
-0.2562 ±j0.6876
|
-0.3689 ±j0.394
|
-0.0797 ±j0.9216
|
-0.1469 ±j0.8336
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.2508 ±j0.6726
|
-0.3649 ±j0.3897
|
bф =40дБ, aф =1дБ
|
Нули
|
±j9.6423
|
±j2.7583
|
±j1.6057
±j3.5147
|
±j1.2538
±j1.7643
|
±j1.1131
±j1.3057 ±j2.9582
|
±j1.0528
±j1.1358 ±j1.6258
|
±j1.0246
±j1.0623 ±j1.2562 ±j2.8513
|
±j1.0118
±j1.0294 ±j1.115 ±j1.5974
|
±j1.0055
±j1.0138 ±j1.053 ±j1.2458 ±j2.8279
|
n
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
Полюсы
|
-0,5456 ±j 0,9004
|
-0,5237
|
-0,1051
±j 0,9938
|
-0,3853
|
-0,0237
±j 0,9994
|
-0,3576
|
-0,0054
±j 0,9999
|
-0,3515
|
-0,0012
±j 1,0
|
|
|
-0,2273
±j 0,9766
|
-0,3644
±j 0,4791
|
-0,0499
±j 0,9982
|
-0,1182
±j 0,8755
|
-0,0113
±j 0,9998
|
-0,0295
±j 0,9717
|
-0,0026
±j 1,0
|
-0,0068
±j 0,9936
|
|
|
|
|
-0,2191
±j 0,741
|
-0,3158
±j 0,4106
|
-0,0601
±j 0,9404
|
-0,1155
±j 0,8458
|
-0,0143
±j 0,9865
|
-0,0296
±j 0,9642
|
|
|
|
|
|
|
-0,2059
±j 0,6888
|
-0,3048
±j 0,3961
|
-0,0598
±j 0,925
|
-0,1147
±j 0,8389
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,2025
±j 0,677
|
-0,3023
±j 0,3929
|
bф=40дБ, aф=3дБ
|
Нули
|
±j
6,981
|
±j
2,2451
|
±j
1,418 ±j 2,9906
|
±j
1,166 ±j 1,5809
|
±j
1,0693 ±j 1,2196 ±j 2,6357
|
±j
1,03 ±j 1,0912 ±j 1,4958
|
±j
1,013 ±j 1,0388 ±j 1,1906 ±j 2,5753
|
±j
1,0057 ±j 1,0169 ±j 1,0796 ±j 1,4806
|
±j
1,0025 ±j 1,0073 ±j 1,034 ±j 1,1853 ±j 2,654
|
Полюсы
|
-0,3194 ±j 0,7826
|
-0,3225
|
-0,0592 ±j 0,9666
|
-0,2509
|
-0,0116 ±j 0,9938
|
-0,2382
|
-0,0022 ±j 0,9988
|
-0,2358
|
-0,0004 ±j 0,9998
|
|
|
-0,1337 ±j 0,9193
|
-0,227 ±j 0,4712
|
-0,0264 ±j 0,9857
|
-0,8663 ±j 0,8813
|
-0,0051 ±j 0,9973
|
-0,014 ±j 0,9764
|
-0,001 ±j 0,9995
|
-0,0027 ±j 0,9954
|
|
|
|
|
-0,1314 ±j 0,742
|
-0,2036 ±j 0,4203
|
-0,0311 ±j 0,9466
|
-0,0653 ±j 0,8622
|
-0,0063 ±j 0,9896
|
-0,0141 ±j 0,9723
|
|
|
|
|
|
|
-0,1258 ±j 0,7056
|
-0,1991 ±j 0,4109
|
-0,031 ±j 0,9375
|
-0,065 ±j 0,8584
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,1246 ±j 0,6985
|
-0,1982 ±j 0,4091
|
bф=50дБ, aф=0,5дБ
|
Нули
|
±j
19,5627
|
±j
4,4894
|
±j
2,207 ±j 5,0846
|
±j
1,541 ±j 2,3026
|
±j
1,2645 ±j 1,563 ±j 3,8147
|
±j
1,1379 ±j 1,2767 ±j 1,9727
|
±j
1,0727 ±j 1,1421 ±j 1,4582 ±j 3,5283
|
±j
1,0395 ±j 1,0758 ±j 1,2195 ±j 1,89
|
±j
1,0212 ±j 1,0405 ±j 1,114 ±j 1,4052 ±j 3,4491
|
|
-0,7114 ±j 1,006
|
-0,6414
|
-0,1521 ±j 1,0196
|
-0,427
|
-0,0437 ±j 1,0075
|
-0,3751
|
-0,013 ±j 1,0024
|
-0,3601
|
-0,0039 ±j 1,0007
|
|
|
-0,3025 ±j 1,0261
|
-0,4411 ±j 0,4606
|
-0,081 ±j 1,0125
|
-0,1734 ±j 0,8408
|
-0,0239 ±j 1,0043
|
-0,0574 ±j 0,9533
|
-0,0071 ±j 1,0013
|
-0,0177 ±j 0,9861
|
|
|
|
|
-0,2848 ±j 0,7055
|
-0,3556 ±j 0,3625
|
-0,1014 ±j 0,9135
|
-0,1657 ±j 0,784
|
-0,0322 ±j 0,9744
|
|
|
|
|
|
|
-0,2563 ±j 0,6199
|
-0,3309 ±j 0,3366
|
-0,1 ±j 0,8793
|
-0,1625 ±j 0,7669
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,2466 ±j 0,5952
|
-0,3237 ±j 0,3291
|
bф=50дБ, aф=1дБ
|
Нули
|
±j
16,4981
|
±j
3,9746
|
±j
2,0334 ±j 4,6409
|
±j
1,4579 ±j 2,1523
|
±j
1,2201 ±j 1,491 ±j 3,585
|
±j
1,1123 ±j 1,2366 ±j 1,8799
|
±j
1,0578 ±j 1,1188 ±j 1,3889 ±j 3,3535
|
±j
1,0306 ±j 1,0618 ±j 1,1906 ±j 1,8141
|
±j
1,016 ±j 1,0322 ±j 1,0966 ±j 1,3631 ±j 3,2924
|
Полюсы
|
-0,5478 ±j 0,897
|
-0,5077
|
-0,1193 ±j 0,9898
|
-0,3479
|
-0,0331 ±j 0,9963
|
-0,3095
|
-0,0093 ±j, 9996
|
-0,2991
|
-0,0026 ±j 0,9999
|
|
|
-0,2378 ±j 0,9711
|
-0,353 ±j 0,4471
|
-0,0626 ±j 0,996
|
-0,1363 ±j 0,835
|
-0,0176 ±j 0,9992
|
-0,043 ±j 0,9528
|
-0,005 ±j 0,9998
|
-0,0126 ±j 0,9866
|
|
|
|
|
-0,2271 ±j 0,6949
|
-0,2899 ±j 0,3606
|
-0,0779 ±j 0,9112
|
-0,1511 ±j 0,7864
|
-0,0235 ±j 0,9748
|
-0,0432 ±j 0,9369
|
|
|
|
|
|
|
-0,2068 ±j 0,6202
|
-0,2725 ±j 0,3384
|
-0,0771 ±j 0,8826
|
-0,1289 ±j 0,7724
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,2002 ±j 0,5995
|
-0,2676 ±j 0,3323
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2
Аппроксимация амплитудно-частотной характеристики фильтров верхних частот
Ранее были рассмотрены вопросы аппроксимации АЧХ фильтров
нижних частот. Применяя преобразование частоты, полученными данными можно
воспользоваться для аппроксимации ФВЧ, полосовых и заграждающих фильтров,
которая выполняется следующим образом. По исходным данным к этим фильтрам
строится низкочастотный прототип. Затем, в зависимости от выбранной или
заданной аппроксимации, описанным способом определяют координаты полюсов и нулей
низкочастотного прототипа и, выполняя обратное преобразование находят
координаты нулей и полюсов исходного фильтра.
Низкочастотный прототип ФВЧ имеет такую же неравномерность аф
коэффициента передачи в полосе пропускания и ту же частоту среза fс,
что и исходный ФВЧ. Нормирующей частотой является частота среза. Нормированная
граничная частота полосы задерживания НЧ-прототипа, на которой необходимо
обеспечить требуемое затухание bф (см. рис. 2.а.), определяется как
F1=1/F2, где F2=f2/fc-нормированная
граничная частота полосы задерживания фильтра высоких частот (см. рис. 1, б).
При переходе к высокочастотной функции необходимо в
низкочастотной передаточной функции заменить переменную p на 1/p, при этом
каждый полюс p'K низкочастотного прототипа преобразуется в полюс pK=1/p'K
и нуль в начале координат (ZK=0), а каждый его Z'K-в нуль
ZK=1/Z'K и полюс в начале координат (pK=0):
3.
Каскадная реализация активных фильтров
Реализация передаточных функций, обеспечивающих необходимое
АЧХ, чаще всего осуществляется по методу каскадно-развязанного включения звеньев
1-го и 2-го порядков. При такой реализации передаточная функция должна быть
представлена в виде произведения сомножителей 1-го и 2-го порядка Ki(p):
(12)
Рис. 5. Каскадное соединение звеньев
Каждый из сомножителей Ki в выражении (4) реализуется
соответствующим звеном. Если звенья не влияют друг на друга. то схема обладает
требуемой передаточной функцией n-го порядка.
Передаточную функцию K(p) можно разложить на сомножители, используя
различные комбинации постоянных множителей Hi, нулей и полюсов.
Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной функцией
, (13)
где B(p) - полином первой степени или единица; s-постоянное число.
Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с
передаточной функцией
, (14)
где В(р) - полином второй или меньшей степени. В зависимости от
вида полинома В(р) передаточные функции второго порядка и реализующие их звенья
подразделяются в соответствии с табл. 2; b и g - постоянные
коэффициенты.
Таблица 2. Виды передаточных функций второго порядка и типы
звеньев
Вид
передаточной функции
|
Наименование
звена
|
НЧ-низкочастотное
|
|
ВЧ-высокочастотное
|
|
П-полосовое
|
|
Д-дробное звено, с нулями передачи,
заграждающее звено
|
|
К - корректирующее
|
|
Для четного порядка n>2 каскадная схема содержит n/2
звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (14). Если порядок
n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка с
передаточными функциями типа (14) и одно звено первого, порядка с передаточной
функцией типа (13).
Для звеньев второго порядка, описываемых функцией (14),
определим:
собственную частоту
(15)
и добротность
(16)
Для обеспечения коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания
равного единице (0 дБ) необходимо соблюдать условие
(17)
Так как операционные усилители обладают большим входным и малым
выходным сопротивлениями, то звенья, построенные с их применением, практически
не влияют друг на друга. Поэтому в дальнейшем рассматриваются вопросы
реализации передаточных функций фильтров с помощью звеньев, содержащих
операционные усилители.
3.1
Звенья фильтров верхних частот первого порядка
Звено ФВЧ 1-го порядка должно реализовать передаточную
функцию вида
, (23)
где НВ=H/s, q=1/s, H и s параметры передаточной функции
НЧ-прототипа (18).
Схема звена с неинвертирующим усилителем (рис. 9) имеет
передаточную функцию
(24)
Рис. 9. Звено ФВЧ первого порядка с положительным
коэффициентом усиления
Сравнение (23) и (24) дает возможность получить формулы для
расчета: R1=1/cq, К=НВ
Значения емкости при этом, как и раньше, задаются от 1 до 10.
На рис. 10 показана схема звена ФВЧ первого порядка,
построенного на операционном усилителе в инвертирующем включении. Его
передаточная функция
.
Задавшись значением С, определяем нормированные значения
сопротивлений: R1=1/cq, R2=R1Hв.
Рис. 10. Звено ФВЧ первого порядка на инвертирующем ОУ
3.2
Реализация передаточных функций второго порядка для фильтров
верхних частот Баттерворта и Чебышева
Нормированную передаточную функцию фильтра верхних частот можно
подучить из передаточной функции нормированного НЧ-прототипа с помощью замены
переменной р на 1/р. Следовательно, функция фильтров верхних частот Баттерворта
и Чебышева будет содержать сомножители второго порядка:
, (27)
где b=b/g, a=1/g, HB=H/g, H,b и g-нормированные коэффициенты звена фильтра нижних частот второго
порядка (НЧ-прототипа).
Коэффициент усиления фильтра верхних частот представляет собой
значение его АЧХ при бесконечном значении частоты w. Следовательно, для звеньев второго
порядка, описываемых функцией (27), коэффициент усиления K=HB=H/g.
3.3
Реализация передаточных функций второго порядка эллиптических фильтров
Золотарева-Кауэра и с нулями передачи на мнимой оси
Вследствие того, что передаточные функции эллиптических
фильтров содержат комплексно-сопряженные нули на оси jW, в их состав входят
сомножители второго порядка вида
, (35),
где Н*=Нв=Н(aн/gн) - в случае ФВЧ; H*=Hn=-в случае полосового фильтра; H, aH и gH-параметры передаточной функции вида (35)
НЧ-прототипа второго порядка.
Таким образом, типовая передаточная функция эвена второго порядка
эллиптических и заграждающих фильтров имеет вид (35). Схемы реализации этой функции
необходимо выбирать в зависимости от соотношения между коэффициентами a и g. Так, схема, изображенная на рис. 20.а, имеет передаточную
функцию
, (36)
что дает возможность реализовать только те функции, у которых в
(35) g>a.
Приравняв (36) к (35), получим следующие расчетные соотношения:
(37)
Передаточная функция для схемы на рис. 20.б имеет вид функции (35)
при
В данном случае, очевидно, что в (5) должно быть a>g. Параметры схемы рассчитываются с помощью следующих формул:
а
б
Рис. 20. Схемы на основе ИНУН с положительным коэффициентом
усиления, реализующие два нуля на мнимой оси
Если в схеме на рис. 20, а принять R®¥, то из анализа выражения (36) легко видеть, что в этом
случае a=g=1/a2. Расчетные формулы можно подучить из (37):
Рассмотренные схемы используют неинвертирующий усилитель и их
целесообразно применять при добротностях звеньев Q£10.
На рис. 21 изображена схема, которая реализует функцию (35) при
H*=-KR4/R5; a=R5/R1R2R4C2C2; b=1/R2C2; g=k/R2R3C1C2.
Если задаться нормированными значениями C1, C2,
R5, а также K³1, то
остальные параметры рассчитываются следующим образом:
(38)
Если выбрать C1=C2, то приемлемое значение
сопротивления
5= (39)
Если добротность Q£10,
то сопротивления, рассчитанные по (38) и (39), будут иметь приемлемые значения.
Однако если Q>10, получается нежелательный разброс значений сопротивлений. В
этом случае нужно выбирать C1, C2 и R5 таким
образом, чтобы сохранялся небольшой разброс значений. Например, можно выбрать
значение емкости C2 относительно большим по сравнению с C1
для того, чтобы значение сопротивления R2 входило в диапазон
значений сопротивлений R1 и R3.
Рассмотренная схема применяется при любых соотношениях между
коэффициентами a и g в выражении (35).
Рис. 21. Универсальное звено второго порядка, реализующее два нуля
на мнимой оси
4.
Расчет аналогового фильтра верхних частот по Золотареву-Кауэру
Заданием на курсовую работу является расчет фильтра верхних
частот с аппроксимацией Золотарева-Кауэра со следующими требованиями:
FC = 1000 Гц,
f1 = 830 Гц,
АФ = 3 дБ,
ВФ = 50 дБ.
ФНЧ
|
АФ =
3 дБ, ВФ = 50 дБ, n= 5.
|
Нули
|
Полюсы
|
±j
1,3294
|
-0,2220
|
±j
1,9123
|
-0,0352
± j 0,9798
|
|
-0,1380
± j 0,6909
|
На рисунке справа показана АЧХ фильтра верхних частот (полоса
пропускания ¥³f³fc, полоса задерживания f2³f³0);
В случае ФНЧ нормирующей частотой является частота среза,
т.е.
При аппроксимации по Золотареву-Кауэру передаточная функция
ФНЧ является дробно-рациональной и имеет вид
(10)
Постоянный множитель H
выбирается из следующих соображений:
а) при нечетных n необходимо выбрать Н из условия К(0)=1;
б) при четных n - из условия К(0)=10
Низкочастотный прототип ФВЧ имеет такую же неравномерность аф
коэффициента передачи в полосе пропускания и ту же частоту среза fс,
что и исходный ФВЧ. Нормирующей частотой является частота среза т.е.:0=fc=1000
Нормированная граничная частота полосы задерживания НЧ-прототипа,
на которой необходимо обеспечить требуемое затухание bф (см. рис.
2.а.), определяется как F1=1/F2, где F2=f2/fc-нормированная
граничная частота полосы задерживания фильтра высоких частот (см. рис. 1, б):
2=f2/fc=830/1000=0,83
1=1/F2=1/0,83=
1,2048192771084337349397590361446
N
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
aф
=3дБ
|
50
|
8.93
|
2.7986
|
1.6615
|
1.2885
|
1.1353
|
1.0657
|
1.0324
|
|
|
Из таблицы находим что n =5 т.е. нечетное:
При переходе к высокочастотной функции необходимо в низкочастотной
передаточной функции заменить переменную p на 1/p.
Представим передаточную функцию в виде произведения сомножителей
1-го и 2-го порядка Ki(p), т.е. звеньев 1-го и 2-го порядков:
Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной
функцией
, в данном случае таковой является
Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с
передаточной функцией
В данном случае таких передаточных функции две:
Если порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2
звеньев второго порядка и одно звено первого.
Произведем замену p на 1/p:
Расчет звеньев фильтра верхних частот первого порядка
Звено ФВЧ 1-го порядка должно реализовать передаточную функцию
вида:
.
На рис. 10 показана схема звена ФВЧ первого порядка, построенного
на операционном усилителе в инвертирующем включении. Его передаточная функция
.
Задавшись значением С (от 1 до 10), определяем нормированные
значения сопротивлений: R1=1/cq, R2=R1Hв.
Выбираем С=1:1=1/4,5=0,222; R2=0,222*1,126=0,25.
Рис. 10. Звено ФВЧ первого порядка на инвертирующем ОУ
Расчет звеньев фильтра верхних частот второго порядка
Звено ФВЧ 2-го порядка должно реализовать передаточную функцию
вида:
.
Типовая передаточная функция звена второго порядка эллиптических и
заграждающих фильтров имеет вид:
Рассчитаем добротность 1-го и 2-го звена:
Схема используемая при добротности звеньев Q£10 приведена ниже.
Задав нормированные значениями C1, C2, R5,
а также K³1, рассчитываем остальные параметры
следующим образом:
Для 2-го звена:
Выбираем C1=1, C2=1, K=2 и соответственно R5=1:
Для 3-го звена:
Выбираем C1=C2=1, K=2 и соответственно R5=1:
Схема спроектированного фильтра высоких частот
Нормированные значения элементов:
Проведем денормализацию:
R=RHR0; C=CH /(R0 2pf0); L=LHR0 /(2pf0);
Текст
программы для allted
OBJECTSEARCH PRAM;CIRCUIT KURSOVOI;Ein (1,0) =
1;C11 (2, 3)= 159;R11 (1, 2)= 0.222;R12 (3, 4)= 0.25;Q1 (0,3,4,0)=
k140ud12.oulm;C21 (5, 6)= 159;C22 (9, 7)= 159;R21 (4, 5)= 0.54;R22 (6, 7)=
14.28;R23 (5,10)= 0.13;R24 (8, 9)= 0.23;R25 (4, 8)= 1.0;Q21 (0, 5, 6,0)=
k140ud12.oulm;Q22 (0, 8, 9,0)= k140ud12.oulm;Q23 (7,0,10,0)= k140ud12.oulm;C31
(11,12)= 159;C32 (15,13)= 159;R31 (10,11)= 2.23;R32 (12,13)= 1.8;R33 (11,16)=
0.552;R34 (14,15)= 0.91;R35 (10,14)= 1.0;Q31 (0,11,12,0)= k140ud12.oulm;Q32
(0,14,15,0)= k140ud12.oulm;Q33 (13,0,16,0)=
k140ud12.oulm;&;;;;method=140;LSERR=0.01, OPERR=1.0e-3, INCR=0.01;K1=
V16/UEin;T1=FIXA (DB.K1,0.001);T2=FIXA (DB.K1,0.00083);ERROR=F1 (-3, - 50/T1,
T2);R11 (0. 1,15.0);R12 (0. 1,2.5);R21 (0. 001,5.0);R22 (10. 0,28.0);R23 (0.
1,1.5);R24 (0. 1,0.6);R25 (3. 0,15.0);R31 (0. 75,5.0);R32 (0. 05,8.0);R33 (0.
05,2.2);R34 (0. 05,0.2);R35 (2. 0,6.0);
# AC analysislfreq=0.0001, ufreq=0.0025;
# AC OUTPUT variablesDB.K1;MA.K1;PH.K1; END;