Сходимость ряда на концах интервала. Дифференциальные уравнения. Задачи на неопределённый интеграл
Контрольная
работа по высшей математике
1. Ситуационная
(практическая) задача № 1
Написать три первых
члена степенного ряда по заданному общему члену , найти интервал
сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.
Решение.
Подставив
последовательно ,
запишем данный ряд в виде:
Так как среди
коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости
ряда по формуле:
,
где
,
,
.
Следовательно, ряд
сходится при:
Исследуем сходимость
ряда на концах полученного интервала.
При данный
ряд принимает вид:
Сравним ряд с
гармоническим рядом .
Применим второй признак
сравнения:
Так как полученный
предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд расходится,
то ряд также
расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.
При данный
ряд принимает вид:
.
Последний ряд является
знакочередующим рядом.
По признаку Лейбница
знакопеременный ряд сходится, если выполняются два условия:
.
.
,
т.е.
Выполняются два условия
сходимости знакочередующего ряда, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится.
Но знакопеременный ряд сходится
условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .
Ответ. Область
сходимости данного ряда
2. Ситуационная
(практическая) задача № 2
Найти общее решение
дифференциального уравнения и частное решение,
удовлетворяющее начальному условию
Решение.
Дано дифференциальное уравнение 1
порядка. Решаем его по методу Бернулли.
Заменим функцию произведением
двух неизвестных функций и
,
положим .
Тогда:
Подстановка и
в
уравнение дает
.
Преобразуем это
уравнение:
Положим ,
и тогда:
при любом значении .
Из уравнения находим:
При найденном значении линейное
уравнение принимает вид: .
Подставляем значение в
уравнение ,
получим
Зная, что и
,
находим:
Проверка.
,
Подставим значения и
в
заданное уравнение
Получили тождество,
следовательно, найденное решение уравнения правильно.
Находим частное решение
при .
- частное решение при
Ответ: -
общее решение уравнения.
- частное решение при
3. Тестовые задания
ряд сходимость лейбниц
дифференциальный уравнение интеграл
1. Применяя таблицу интегралов и
метод замены переменных, найти неопределённый интеграл:
А. ,
В. ,
Г.
Ответ. А.
. Применяя метод
интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл:
А.,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. А.
3. Применяя метод
интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый
интеграл:
А. ,
Б.
В.
Г.
Ответ. Г.
. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной графиками функций
,
А. 3/2;
Б. 125/6;
В. 9/2;
Г. 9
Ответ. В. 9/2
5. Вычислить:
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. В.
. Выберите сходящийся ряд:
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. А.
7. Выберите абсолютно сходящийся
ряд:
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. Г.
. В точке ряд
А. расходится,
Б. сходится абсолютно,
В. сходится условно,
Г. может, как сходиться,
так и расходиться.
Ответ. А.
расходится
. При каком значении
параметра функция
является
решением уравнения
А. ,
Б.,
В. ,
Г.
Ответ. А.
.
10. Найти общее решение уравнения:
А. ,
Б. ,
В.,
Г.
Ответ. А.