Решение систем линейных уравнений. Теория вероятности
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ОМСКИЙ
ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) РОССИЙСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Контрольная
работа по дисциплине «Математика»
Вариант
6
Омск,
2011 г.
ЗАДАЧА 1
уравнение матрица квадратическое
отклонение
В декартовой прямоугольной системе координат
даны вершины пирамиды А1В1С1D1. Найдите:
а) длину ребра А1В1;
б) косинус угла между векторами;
в) уравнение ребра А1В1;
г) уравнение грани А1В1С1;
д) уравнение высоты, опущенной из
вершины D1 на грань А1В1С1;
е) координаты векторов , , , и
докажите, что они образуют линейно независимую систему;
ж) координаты вектора , где - середины
ребер А1D1 и В1С1, соответственно;
з) разложение вектора по базису
если A1(3, 0, -1), B1(-1, -2, -4),
C1(-1, 2, 4), D1(7, -3, 1).
Решение.
а) найдем координаты вектора по формуле:
= XВ- XА; YВ- YА; ZВ- ZА, где (ХА, YА, ZА) -
координаты точки А1, (ХВ, YВ, ZВ) -
координаты точки В1.
Итак, =
Тогда = .
Итак, длина отрезка (или длина
вектора ) равна . Это и есть
искомая длина ребра.
б) координаты вектора = уже
известны, осталось определить координаты вектора : =.
Угол между векторами и вычислим по
формуле:=,
где скалярное произведение векторов иравно
(,)=(-4)´(-4)+(-2)´2+(-3)´3=16+(-4)+(-9)=16-4-9=3,
=, =
Итак, cos==.
в) координаты точки А1(3,0,-1)
обозначим соответственно Х0 = 3, У0 = 0, Z0=-1, а координаты точки В1
(-1,-2,-4) через Х1=-1, У1 = -2, Z1=-4 и воспользуемся уравнением прямой в
пространстве, проходящей через две точки:
.
Следовательно, уравнение ребра А1В1
имеет вид
или
г) обозначим координаты векторов и через
Х1=-4,У1= -2, 1=-3 и
Х2=-4, У2=2, 2=3,
соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой
Так как данный вектор
перпендикулярен грани А1 В1 С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости,
проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору , которое
имеет вид:
А .
Подставим координаты точки А1 (Х0=3,
У0=0, 0=-1) и
координаты перпендикулярного вектора А=0, В=24, С=-16 в это уравнение:
(Х-3)+24(У-0)-16(+16) = 0.
Раскроем скобки и приведем подобные члены 24Y-16Z-256=0. Итак, уравнение грани
А1 В1 С1 имеет вид:
Y-16Z-256=0 или 3Y-2Z-32=0.
д) вектор является
направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1.
Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным
направляющим вектором: , где -
координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение: или
е) координаты вектора ==.
Обозначим =,=, .
Чтобы доказать, что векторы образуют
линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель
третьего порядка, составленный из координат этих векторов,
отличен от 0. Определитель третьего
порядка равен
=- +=
=
Вычислим определитель
=-4- (-2)+(-3) =
=-4(2*2 -)+2(2(-4) -43) -3((-4) (-3) -42) =
=-413+2(-20) - 34=-52 - 40-
12 = -104.
Так как данный определитель отличен
от 0, то вектора образуют
линейно независимую систему.
ж) сначала найдем координаты точек М
и N, соответственно. Координаты точки
М = = = ===.
Получаем вектор =.
з) обозначим через координаты
вектора в базе .
Тогда = = .
Так как: =++=
=++=
=,
то приравнивая соответствующие координаты,
получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1)
Решим данную систему уравнений с
помощью формул Крамера. Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений
с тремя неизвестными:
Тогда = z, где:
Для системы (1) определитель:
=(-4)-(-4)+4=
=(-4)*13+4*(-13)+4*0=-52-52+0=-104;
=(-6)*13+4*(-3)+4*(-4.5)=-78-12-18=-108;
=(-4)- (-6)+4=
=(-4)*
(-3)+6*(-13)+4*(-4.5)=12-78-18=-84;
=(-4)- (-4)+ (-6)=
=(-4)*4.5+4*(-4.5)-6*0=-18-18-0=-36.
По формулам Крамера
Итак, разложение вектора по базису () имеет вид
=
ЗАДАЧА 2
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
Решение.
а) Метод Крамера состоит в решении
системы линейных уравнений по формулам Крамера ,
где (Подробности смотрите в пункте з)
задачи 1.
=1-1+1=1*(-3+2)-1(3+1)+1(-2-1)=
=1*(-1)-1*4+1(-3)=-1-4-3=-8
=6-1+1=6*(-3+2)-1(0+1)+1(0-1)=
=6*(-1)-1*1+1(-1)=-6-1-1=-8
=1-6+1=1*(0+1)-6(3+1)+1(-1-0)=
=1*1-6*4+1(-1)=1-24-1=-24
=1-1+6=1*(1-2)-1(-1-1)+6(-2-1)=
=1*(-1)-1*(-2)+6(-3)=-1+2-18=-17
Так как ; то
Ответ:
б) Найдем определитель главной
матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:
1
1 1 -1 1 -1 1 2 -3
|
=
-8
|
|
Определитель главной матрицы системы уравнений
не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное
решение. Найдем его.
Достроим главный определитель системы уравнений
еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.
|
1
1 1 6 -1 1 -1 0 1 2 -3 1
|
|
Теперь последовательно, при помощи элементарных
преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 ×
3) до
треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной
диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые
находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям
матрицы.
1
1 1 6 0 2 0 6 0 1 -4 -5
|
|
|
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые
находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям
матрицы.
1
1 1 6 0 2 0 6 0 0 -4 -8
|
|
|
Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые
находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям
матрицы.
1
1 0 4 0 2 0 6 0 0 -4 -8
|
|
|
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые
находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям
матрицы.
1
0 0 1 0 2 0 6 0 0 -4 -8
|
|
|
Приведем все коэффициенты на главной диагонали
матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки
находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.
Числа
получившиеся правее единичной матрицы и будут решением системы уравнений.
Ответ: X=1; Y=3; Z=2.
|
в) решение системы в этом случае
равно =, где = - обратная матрица для матрицы =, - столбец
свободных членов, -
определитель этой матрицы.
Составим матрицу состоящую из
коэффициентов при неизвестных данной системы:
А = .
Вычислим ее определитель
=1-1+1=
=.
Вычислим алгебраические дополнения
для всех элементов матрицы А:
Тогда = и ==
=== =.
Ответ:
ЗАДАЧА 3
В ящике 18 одинаковых бутылок пива
без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом
выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них :
а) только пиво сорта «Жигулевское»;
б) ровно одна бутылка этого сорта.
Решение. Общее число возможных
элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно
извлечь 3 бутылки Жигулевского из 18 бутылок, то есть - число
сочетаний из 18 элементов по 3.
а) подсчитаем число исходов,
благоприятствующих интересующему нас событию. Это число исходов ровно числу
способов, которыми можно извлечь 3 бутылки Жигулевского из 12 бутылок, то есть
искомая вероятность равна отношению
числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
б) подсчитаем число исходов,
благоприятствующих данному событию: две бутылки Жигулевского можно выбрать из
18 бутылок: способами,
при этом одну бутылку нужно выбирать из четырех: способами. Следовательно, число
благоприятствующих исходов равно
Искомая вероятность равна отношению
числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных
исходов
.
Ответ: а) б)
ЗАДАЧА 4
В двух одинаковых коробках находятся
карандаши «Конструктор». Известно, что ⅓ карандашей в первой коробке и ¼ во второй
имеют твердость ТМ. Наугад выбирается коробка, из нее наугад извлекается один
карандаш. Он оказывается твердости ТМ. Какова вероятность того, что он извлечен
из первой коробки?
Решение: Обозначим через А событие -
«карандаш имеет твердость ТМ». Возможны следующие гипотезы о происхождении
этого карандаша: «карандаш
из первой коробки», «карандаш
из второй коробки». Так как доля первой коробки составляет ⅓, то
вероятности этих гипотез равны соответственно:
Искомую вероятность того, что взяли
карандаш с твердостью ТМ, находим по формуле полной вероятности:
.
Ответ:
ЗАДАЧА 5
Задан закон распределения дискретной
случайной величины X:
X
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
p
|
0,16
|
0,25
|
0,25
|
0,16
|
0,10
|
p
|
0,03
|
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и
среднее квадратическое отклонение s данной случайной
величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её
график;
г) закон распределения случайной величины Y,
если её значения заданы функциональной зависимостью y = 4½x½
- 1.
Решение:
а) так как сумма всех вероятностей
должна равняться единице, то получим уравнение
Отсюда ;
б) математическое ожидание М это
сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:
Дисперсия D=
Среднее квадратическое отклонение = ;
в) если <
если - 2<<
если - 1<<
если 0< 0,41+0,25=0,66
если 1< 0,66+0,16=0,82
если 2< 0,82+0,10=0,92
если 3<0,92+0,05=0,97
если х >4, то F(x)=Р( Х < х )=0,97+0,03=1
Итак, функция распределения может
быть записана так: (x) =
График этой функции приведен на
рисунке:
г) сначала найдем значения случайной
величины Y.
По условиям задачи
Поэтому
Составим таблицу вида.
Y
|
7
|
3
|
-1
|
3
|
7
|
11
|
15
|
P
|
0,25
|
0,25
|
0,16
|
0,10
|
0,05
|
0,03
|
Чтобы получить закон распределения случайной
величины Y, необходимо:
) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;
) сложить вероятности, соответствующие
совпадающим значениям данной таблицы.
Итак, закон распределения случайной величины Y :
Y
|
-1
|
3
|
7
|
11
|
15
|
Р
|
0,12
|
0,41
|
0,26
|
0,14
|
0,04
|
ЗАДАЧА 6
Известно, что вероятность рождения мальчика
равна 0,51, а девочки 0,49. Какова вероятность того, что 300 новорожденных
окажется:
а) 150 мальчиков;
б) от 150 до 200 мальчиков?
Решение:
а) воспользуемся локальной теоремой
Лапласа. Вероятность того, что в n =300 испытаниях, в каждом из которых
вероятность появления события равна равна к=150 раз (безразлично, в
какой последовательности) приближенно равна
Так как
то
Значение функции находим в
таблице Брадиса:
Итак,
Отметим, что таблица функции приведена
только для положительных значений. Если же значение получилось
отрицательным, то знак минус можно просто опустить в силу четности функции ;
б) воспользуемся интегральной
теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =300 независимых испытаниях событие
наступит от К1=150 до К2 =200 раз приближенно равна:
Так как ,
то
Значение функции также
находим в специальной таблице Брадиса. В таблице Для отрицательных значений х
используют эту же таблицу, учитывая, что является нечетной функцией, то есть Итак, . Отсюда
Ответ: