О существовании и единственности решений некоторых классов гиперболических уравнений
Таразский Инновационно Гуманитарный Университет
О СУЩЕСТВОВАНИИ
И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ некоторых классов ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
А.
Дунбаева
Г.
Ахмедиева
Б.
Омарова
А.
Турганбекова
г.
Тараз
Формулировка результатов
Известно, что в случае неограниченной области
свойства решений эллиптических уравнений исследованы достаточно полно. Для
гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа этим вопросам посвящено
гораздо меньше работ [1-4].
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(1)
В дальнейшем предположим, что
коэффициенты удовлетворяют
условию:
i) -
непрерывные функции в .
Теорема 1. Пусть выполнено условие i). Тогда для
уравнения (1) при любой существует
единственное решение .
Теорема 2. Пусть выполнено условие i). Тогда для
любого решения уравнения
справедлива оценка
,
где с>0 -
постоянное число.
На положим
Нетрудно проверит, что оператор допускает
замыкание и его обозначим через .
Вспомогательные леммы и утверждения
Лемма 2.1. Пусть выполнено условие i). Тогда для
всех выполняется
неравенство
Доказательство. Лемма доказывается
точно также как лемма 1. работы
Далее, в этом пункте доказывается
существования резольвенты дифференциального оператора
в
Для этого, сперва, рассмотрим
оператор
определенный на множестве функции и
удовлетворяющих следующим требованиям:
,
Здесь и -правые и левые концы интервалов .
Лемма 2.2. Пусть выполнено условие i). Тогда при
существует
непрерывный обратный ,
определенный в пространстве и справедливы следующие оценки
гиепрболический уравнение эллиптический дифференциальный
а) , б) ,
в) а при ;
г)
где - постоянное число не зависящее от и .
Доказательство. Повторяя
выкладки и рассуждения использованные в работах [1-4], получаем
доказательство леммы 2.2.
Возьмем набор неотрицательных
функции из таких, что
, supp
Через К обозначим оператор,
определенный равенством
,
Лемма 2.3. Пусть, выполнено условие i). Тогда для
любой функции справедливо
следующее равенство
(2.1)
где
(суммы без указания пределов берутся
по всем целым j)
Доказательство. Пусть и
рассмотрим действия оператора K на f
(2.2)
Так как , то сумма
(2.7) конечна. Поэтому следующее вычисления законны:
Здесь учитывалось, что . Лемма 2.3
доказана.
Лемма 2.4. Пусть выполнено условие i). Тогда
найдется такое, что .
Доказательство. Проведем оценку
нормы оператора :
Здесь мы возпользовались тем
что на только . Отсюда и в
силу неравенства Гельдера получаем, что
где , из
последнего неравенства, пользуясь леммой 2.2. имеем:
(2.3)
Последнее неравенство при достаточно
больших положительных доказывает
лемму.
Лемма 2.5. Пусть выполнено условие i). Тогда
оператор при
достаточно больших непрерывно
обратим и справедливо неравенство.
(2.4)
Доказательство. Оператор ограничен
со своим обратным. Поэтому множество плотно в . Из
равенства (2.11) при получаем,
что и . Отсюда
имеем что является
решением уравнения .
Единственность следует из леммы 2.2 лемма 2.5 доказана.
Лемма 2.6. Пусть выполнены условия
леммы 2.5. и пусть такое, что . Тогда
справедлива оценка:
(2.5)
где непрерывная функция в .
Доказательство. Из представления
(2.5) видно, что оператор ограничен
(или неограничен) вместе с оператором .
Поэтому будем заниматься оценкой
нормы последнего оператора . Для любого имеем:
Не трудно проверить, что на только . Учитывая
это в силу неравенства Гельдера имеем:
Лемма 2.6 доказана.
Лемма 2.7. Пусть выполнены условия
леммы 2.6. Тогда справедливы следующие оценки:
а) ; б) ;
в) .
Доказательство. Согласно леммы 2.6.
Отсюда и из леммы 2.2 получаем, что
Далее, в силу леммы 2.4 имеем:
Точно также, пользуясь леммой
2.3.
находим
Лемма 2.7 доказана.
Доказательство теорем 1-2
Применяя преобразования Фурье по х к
уравнению (1) получаем:
(3.1)
где
Отсюда нетрудно заметить, что задача
о решении уравнения (1) перейдет в задачу о решении уравнения (3.1).
Следовательно, по лемме 2.5.:
(3.2)
дает решение уравнения (3.1).
Теперь, используя обратный оператор , имеем:
(3.3)
Из (3.3) используя свойствами
преобразования Фурье, получаем, что
Отсюда, в силу леммы, находим:
(3.4)
- постоянное число.
Найдем
Далее, мы имеем
Откуда, в силу леммы 2.4
(3.5)
- постоянное число.
Аналогично найдем :
Тогда можно записать, что
Отсюда и из леммы 2.7. имеем:
(3.6)
где - постоянное число не зависящее от u и f.
Находим также :
Так как преобразование Фурье не
зависит от у, то справедливо равенство:
Таким образом, учитывая лемму 2.4
имеем:
(3.7)
Теорема 2 полностью доказана.
Список литературы
1.
Муратбеков М.Б. // Дифференциальные уравнения, 1991, т.27, №16 С. 2127-2137.
.
Кальменов Т.Ш., Муратбеков М.Б. //Спектральные свойства оператора смешанного
типа. Издательство «Ғылым»
Алматы,
1997.
.
Муратбеков М.Б., Ахмеджанов М.А. // Математический журнал, 2005, т.5. №2(16),
С. 57-65.
.
Муратбеков М.Б., Отелбаев М.О. // Известия вузов
сер.
матем. 1989, №3, С. 44-47.