Методи виявлення оптимальних і неоптимальних режимів ліній зв’язку в інформаційних системах
Методи
виявлення оптимальних і неоптимальних режимів ліній зв’язку
в інформаційних системах
Даниліна Г.В.,Доровський Д.В.
к.т.н., доц.,Доровська І.О. аспірант
Розглядаються характеристики
оптимального і неоптимального режимів. Головною метою є встановлення
взаємозв’язків цих основних характеристик поміж собою, а також порівняльний
аналіз цих характеристик для оптимального і неоптимального режимів. В
результаті доказано теореми про взаємозв‘язки середньої тривалості
обслуговування повідомлень і ймовірності того, що лінія буде зайнята, про
взаємозв‘язки обсягів пам‘яті n*
i n0
буферних пристроїв ліній зв‘язку, що функціонують в оптимальному і
неоптимальному режимах, запропоновано відносно простий спосіб лінійної
двупараметричної інтерполяції нормованої середньої тривалості обслуговування в
оптимальному режимі.
Вступ. В роботі Б.С.Цибакова [1]
приведені асимптотичні формули для ймовірності втрат пакетів. Ці асимптотичні
формули показують, що вона зменшується за ступеневим законом в залежності від
розміру буферу та за показовим законом в залежності від пропускної спроможності
каналу.
В роботі В.С.Заборовського [2]
розглядається вплив характеристик трафіку на мережеву продуктивність,
застосування теорії сплесків для аналізу властивостей трафіку.
Метою даної роботи є встановлення
взаємозв’язків основних характеристик режимів використання лінії зв’язку поміж
собою, а також порівняльний аналіз цих характеристик для оптимального і
неоптимального режимів. Для досягнення мети як вихідні дані використовуються
відомі співвідношення для характеристик одноканальних систем масового
обслуговування [3].
Постановка задачі. Основними
характеристиками режиму використання лінії зв’язку є середня тривалість обслуговування
повідомлення в системі, ймовірність того, що лінія буде зайнята
обслуговуванням повідомлень, середня тривалість обслуговування повідомлення без
очікування в черзі, якщо лінія вільна і повідомлення зразу ж поступає на
обслуговування, середня тривалість очікування повідомленням
обслуговування в черзі, коефіцієнт використання лінії зв’язку, обсяг n
пам’яті буферного пристрою, коефіцієнт V
варіації тривалості обслуговування.
Обґрунтування і побудова
математичної моделі. Сформулюємо встановлені закономірності у вигляді
стверджень теорем.
Теорема 1. Середня тривалість
обслуговування
повідомлення одноканальною лінією зв’язку і ймовірність P
того, що лінія буде зайнята обслуговуванням повідомлення, пов’язані прямим і
зворотнім перетворенням такого виду
де - середня
тривалість очікування обслуговування повідомленням в черзі.
Доведення. Середня тривалість
обслуговування визначається формулою
(3)
де середня тривалість
обслуговування повідомлення без очікування в черзі
(4)
-середня довжина повідомлення,
-середня пропускна здатність лінії
зв’язку,
-середній коефіцієнт використання
пропускної здатності лінії зв’язку.
Врахуємо, що, як показано
раніше, ймовірність того, що
лінія буде зайнята обслуговуванням попереднього повідомлення, пов’язана з співвідношенням
(5)
З (5) знайдемо, що .
Підставляючи значення в формулу
(3) отримаємо (1). розв’язуючи рівняння (1) відносно отримаємо
зворотне перетворення (2), що і треба було довести.
Наслідок 1. З граничного
співвідношення можна дати
формальне визначення власної середньої тривалості обслуговування .
Тобто, власна середня
тривалість обслуговування є середня
тривалість обслуговування у випадку коли лінія вільна і обслуговує тільки одне
повідомлення.
Наслідок 2. З граничного
співвідношення можна
визначити, що , тому для
значень справедлива нерівність .
Наслідок 3. З нерівності слідує, що
власна середня тривалість обслуговування тобто повинні бути
Наслідок 4. З співвідношення
(2) можна формально визначити значення середньої затримки в обслуговуванні
повідомлення .
В табл.1 наведені результати
розрахунків в
залежності від .
Табл. 1. Результати
розрахунків функцій і
0.10.20.30.40.5
|
|
|
|
|
|
0.20.40.60.81.0
|
|
|
|
|
|
1.01251.06671.2251.8
|
|
|
|
|
|
0.3090.36740.43650.47210.5
|
|
|
|
|
|
0.44720.63240.77450.89441.0
|
|
|
|
|
|
1.8092.7214.4369.47
|
|
|
|
|
|
На рис. 1 показано графік
залежності від . Аналізуючи
дані табл. 1 і графік рис. 1 можна зробити висновок, що необхідність
забезпечення мінімуму середніх витрат приводить до суттєвого збільшення
імовірності того, що
лінія буде зайнята, коефіцієнту використання пропускної здатності
лінії, середньої тривалості очікування повідомленням
обслуговування в черзі (зірочкою позначені параметри оптимального режиму).
Рис. 1. Графік залежності
Перейдемо до розгляду
взаємозв’язків між обсягами пам’яті буферних пристроїв для оптимального і неоптимального
режимів.
Теорема 2. Обсяги пам’яті
буферних пристроїв при роботі лінії зв’язку в оптимальному і неоптимальному
режимах пов’язані співвідношенням
, (6)
де - обсяг
пам’яті буферного пристрою в оптимальному режимі,
- обсяг пам’яті буферного пристрою
в неоптимальному режимі,
- середній коефіцієнт використання
пропускної здатності лінії зв’язку в неоптимальному режимі,
- коефіцієнт збільшення обсягів
пам’яті буферного пристрою в оптимальному режимі.
Доведення. Середнє число повідомлень,
що чекають в черзі обслуговування, пов’язано з співвідношенням .
Очевидно, що обсяг пам’яті
буферного пристрою в середньому повинен бути рівним для того,
щоб не було втрат повідомлень.
Врахуємо те, що в оптимальному
режимі середній коефіцієнт використання лінії зв’язку збільшується до значення . Тому обсяг
пам‘яті n*
буферного пристрою лінії, що функціонує в оптимальному режимі, повинен бути
збільшеним до значення
Коефіцієнт збільшення обсягу
пам’яті буферного пристрою лінії, що функціонує в оптимальному режимі,
З цього співвідношення
отримаємо (6), що і треба було довести.
Наслідок 1. При
Тому при малих має місце
особливо велика різниця в обсягах пам’яті буферних пристроїв.
Наслідок 2. При
Тому при великих ~1 обсяг
пам’яті буферного
пристрою лінії зв’язку, що функціонує в оптимальному режимі, повинен бути
приблизно вдвічі більшим обсягу пам’яті .
На рис. 2. показано графік
залежності Можна
зробити з аналізу цього графіку головний висновок про те, що оптимальний режим
роботи лінії зв’язку потребує більших ніж вдвічі обсягів пам’яті буферних
пристроїв порівняно з неоптимальними режимами.
Рис. 2. Графік залежності
Розглянемо як впливає
коефіцієнт варіації тривалості
обслуговування повідомлень без очікування в черзі на середню тривалість
обслуговування в режимах, що порівнюються. Припустимо, що математичне
сподівання і дисперсія
s2
тривалості обслуговування відомі.
Теорема 3. Якщо коефіцієнт
варіації розподілу
тривалості обслуговування повідомлення, що не чекає обслуговування в черзі,
підкоряється умові тоді в
неоптимальному режимі обслуговування повідомлення для середньої тривалості
обслуговування повідомлення справедлива складна нерівність
(7)
Доведення. В 1951 р. Кендал у
роботі [
] довів,
що математичне сподівання часу перебування повідомлень в одноканальній системі
(8)
Введемо, як і раніше, власну
характеристику одноканальної лінії зв’язку - середню тривалість обслуговування повідомлення,
що не затримується в черзі, а зразу ж поступає на обслуговування
Підставимо значення і в формулу
(8), після необхідних проміжних перетворень отримаємо
Аналіз граничних співвідношень
(10)
показує, що для справедлива
складна нерівність (7), що і треба було довести.
Наслідок 1. Так як з
порівняння співвідношень (9) і (10) можна зробити висновок, що при середня
тривалість обслуговування скорочується на величину
Наслідок 2. Максимальне
значення має місце
при бо
Цей випадок характеризує
детерміновану тривалість обслуговування.
Наслідок 3. При як слідує з
граничного співвідношення (10),
Цей випадок характеризує
добре відомий експоненціальний розподіл тривалості обслуговування, у якому
затримка обслуговування максимальна.
З наслідків 1-3 можна зробити
головний висновок про те, що при експоненціальному розподілі тривалості
обслуговування затримка повідомлення в системі обслуговування найбільша. При мають місце
менші затримки.
Теорема 4. Якщо коефіцієнт
варіації розподілу
тривалості обслуговування повідомлення, що не чекає обслуговування в черзі,
підкоряється умові тоді в
оптимальному режимі обслуговування повідомлення для середньої тривалості
обслуговування повідомлення справедлива складна нерівність
(11)
Доведення. Доведення
ствердження цієї теореми виконується аналогічно доведенню попередньої теореми з
урахуванням того, що
,
Наслідок 1. Так як , з
порівняння лівої і правої границь нерівності (11) слідує, що скорочення
середнього часу обслуговування повідомлення режимі буде відносно більшим.
Наслідок 2. Максимальне
значення , як і
раніш, має місце при , бо
Наслідок 3. При , як і
раніш, тобто
затримка повідомлення максимальна.
З Наслідків 1-3 можна зробити
головний висновок про те, що варіація розподілу тривалості обслуговування в
оптимальному режимі приблизно однаково впливає на середню тривалість
обслуговування, що і в неоптимальному режимі. При цьому суттєво змінюються
порядки величин затримки.
Для аналізу впливу
коефіцієнта варіації розподілу на
скорочення середньої тривалості обслуговування зручно використовувати нормовану
по залежність від і .
Ця залежність дозволяє робити
аналіз впливу варіації закону розподілу тривалості обслуговування повідомлення
в системі на середню тривалість обслуговування в оптимальному режимі. На рис.3.
показано графіки залежності при Можна помітити, що при суттєво
зростає затримка повідомлення в черзі на обслуговування і вона може в кілька
разів перевищувати .
Рис. 3. Графік залежності
Для більш деталізованих
розрахунків в побудовано
табл. 2.
Табл. 2. Результати
розрахунків функції при
0,00,20,40,60,81,0
|
|
|
|
|
|
|
1,01,6282,1763,105,682
|
|
|
|
|
|
|
1,01,6352,1983,1595,883
|
|
|
|
|
|
|
1,01,7192,2633,3146,288
|
|
|
|
|
|
|
1,01,7312,3723,5857,045
|
|
|
|
|
|
|
1,01,7442,5243,9578,106
|
|
|
|
|
|
|
1,01,812,724,4369,47
|
|
|
|
|
|
|
За допомогою цієї таблиці
зручно виконувати лінійну двупараметричну інтерполяцію при любих
значеннях і .
Висновки
лінія зв’язок
режим тривалість
Таким чином, в даній роботі
виконано порівняльний аналіз основних характеристик оптимального і
неоптимального режимів, доказано теореми про взаємозв‘язки середньої тривалості
Т0 обслуговування повідомлень і ймовірності Р0 того, що лінія буде зайнята, про
взаємозв‘язки обсягів пам‘яті n* i n0
буферних пристроїв ліній зв‘язку, що функціонують в оптимальному і
неоптимальному режимах, про вплив коефіцієнту варіації розподілу
тривалості обслуговування на середню тривалість обслуговування Т0 повідомлення
в оптимальному і неоптимальному режимах, а також середню затримку Т01
повідомлення в черзі на обслуговування, запропоновано відносно простий спосіб лінійної
двупараметричної інтерполяції нормованої середньої тривалості обслуговування в
оптимальному режимі за допомогою даних табл.2. Показано, що дані табл.2
дозволяють лінійну двупараметричну інтерполяцію (,) з достатньою для інженерних
розрахунків точністю.
Література
1. Цыбаков Б.С. Модель
телетрафика на основе самоподобного случайного процесса.// Радиотехника-№5, c.
24-31, 1999г.
2. В.С.Заборовський «Протяжні стохастичні
і динамічні процеси в комп’ютерних мережах: моделі, методи аналізу для систем
захисту інформації»,(http://www.neva.ru/~conference).
. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские
процессы. М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.
. Мину М. Математическое
программирование. Теория и алгоритмы: Пер. с фр. - М.: Наука, 1990. - 488 с.
. Зайченко Ю.П. Задачи проектирования
структуры распределенных вычислительных сетей // Автоматика. - 1981. - № 3. -
С. 35-44.