Расчет вероятности катастрофы и надежности системы энергоснабжения самолета

Расчет вероятности катастрофы и надежности системы энергоснабжения самолета

Департамент по авиации

Министерства транспорта и коммуникации Республики Беларусь

Минский государственный высший авиационный колледж

Кафедра ЕНД

Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика

Специальность: «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и электросветотехническое оборудование)»

студента группы ЗПВ107

Рыжко Дмитрия Александровича

Минск-2012 г.

Содержание

. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата

.1 Постановка задачи задания 1

.2 Решение. Математическая часть

.3 Расчетная часть

. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета

.1 Постановка задачи задания 2

.2 Решение. Математическая часть

.3 Расчетная часть

Список использованной литературы

вероятность катастрофа отказ система надежность

Задание 1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата

.1 Задача

Летательный аппарат (ЛА) состоит из:двигателей с вероятностью отказа P1 , P2 , …, Pm ; дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа

P1э , P2э , …,;вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС

каждая.

Катастрофа наступает, если выходят из строя:

любые (r+1) и более двигателей;

все системы энергоснабжения;

хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа P1э и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа PС каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом:

двигателей;

систем энергоснабжения;

вспомогательных подсистем.

Дано

Решение:

Математическая часть

Введем обозначения событий:, D2, D3, D4 - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;, B2, B3 - отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

Ci - отказ i-й вспомогательной подсистемы, i =  ;

ЕК - катастрофа;

ЕKD, ЕKЭ, ЕKC - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

Вероятность катастрофы ЛА с дублирующими системами

 . (1.1)

Перейдем к противоположным событиям и будем иметь:

 . (1.2)

Вследствие соотношения двойственности из равенства (1.2) получим:

. (1.3)

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

. (1.4)

Вследствие независимости событий  из равенства (1.4) получим:

Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, ЕKC и найдем их вероятности катастроф, связанных с отказом:

двигателей ЕKD;

систем энергоснабжения ЕKЭ;

вспомогательных подсистем ЕKC .

Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P(ЕKD) = PKD .

Так как событие ЕKD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей, наступает, если выходят из строя любые (r + 1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью PD .

Значит,

.

Так как в нашем случае число двигателей m = 4, а r = 3; то

r + 1 = 3 + 1 = 4.

Следовательно,

,

где ЕKD3 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r = 3 из m = 4 двигателей;

ЕKD≥4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла в

связи с выходом из строя любых (r+1) = 4 и более двигателей, а в нашем случае ЕKD≥4 = ЕKD4 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа всех четырех двигателей. Из этого следует, что

 . (1.6)

В свою очередь, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (а с вероятностью PD), значит,

, (1.7)

тогда

.

Так как события ЕKD3 и ЕKD ≥ 4 несовместны, то

а для нашего случая, учитывая выражение (1.6), получим:

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом r = 3 двигателей (при работающих остальных) из четырех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

 (1.8)

то есть работает только 4-й, либо 3-й, либо 2-й, либо 1-й двигатель из четырех имеющихся у ЛА.

Доказать, что события EKD3 и ЕKD ≥ 4 несовместны, можно следующим образом:

Согласно равенствам (1.7) и (1.6) имеем:

в соответствии с выражением (1.8) находим далее:

Используя тот факт, что  и , получим:

Но если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

______________________

Примечание -  и  - прерванное и продолженное преобразование текущего выражения.

По определению условной вероятности имеем:

а вследствие независимости событий  далее находим:

Используя равенство (1.7) и несовместимость  его слагаемых, получим:

Вследствие независимости всех событий  и так как , будем далее иметь:

Так как P (Di) = Pi , i = 1,4 и P (EK / ED3) = PD , то

Если выполняется условие

 (1.9)

для всех  и учитывая, что значение вероятности случайного события меньше единицы, то

,

а также значит, что

.

Тогда имеем

 (1.1(1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

          (1.11)       

Рассмотрим структуру событий ЕКЭ и найдем Р(ЕКЭ) = РКЭ .

ЕКЭ ≡ В1 · В2 · В3 - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n = 3 по условию задачи).

.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

Рассмотрим структуру событий ЕКС и найдем Р(ЕКС) = РКС . Событие ЕКС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем. Значит,

По закону двойственности

Так как события  независимы, получим:

Поскольку, получим:

Тогда

Если выполняется условие:

то

(1.14)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

 (1.15)

Расчетная часть

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

Если выполняется условие  и  и , то будем далее иметь

Видно, что PKD ≤ PKЭ ≤PKC, так как ≤≤.

Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

.2 Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем

Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы , одна система энергоснабжения с вероятностью отказа  и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа  каждая) с учетом, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга, будет определяться по формуле:

 (1.16)

где - вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем;

 - вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя, системы энергоснабжения соответственно в случае без дублирующих систем.

Исходя из исходных данных будем иметь:

P’KD = P1 = 5∙10-4 ; P’KЭ = P’1Э = 2∙10-4,

а как уже подсчитано ранее, PKC = , то, подставив эти значения в формулу (1.16), получим:

P’(EK)=P’KD+P’KЭ+PKC=P1+P1Э+NPc=5∙10-4+2∙10-4+8 ∙10-6=

-4(5+2+8∙10-2)=7,08∙10-4

Так как

≫,

то из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности  и :

’(EK)/P(EK)= 7,08∙10-4/8.00016∙10-6=88(раз)

Вывод

Наиболее вероятной является катастрофа, связанная с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 88 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.

. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета

.1 Задача

Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями распределения  для каждого из m элементов.

Определить вероятность того, что в интервале (0; ) часов откажут:

только один элемент;

только два элемента;

все m элементов;

ни один из m элементов не откажет.

2.2 Типовой пример решения задачи

Дано:

Решение

Математическая часть

Введем обозначения:

 - события, состоящие в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал;

Тогда

 - вероятности безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно.

Так как время безотказной работы элемента определяется его функцией надежности, которая равна

вероятность безотказной работы i-го элемента будет

Таким образом, вероятность безотказной работы 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=e-0,37∙5=e-1,85=0,1572

Вероятность отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

p1=1-q1=1-0,1572=0,8428

_________________________

Примечание - Значения функции у = е-х взяты из приложения Б.

Вероятность безотказной работы 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

q2=e-0,47∙5=0,09537

Вероятность отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=1-q2=1-0,09537=0,90463

Вероятность безотказной работы 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=e-0,17∙5=e-0,85=0,4274

Вероятность отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет

=1-q3=1-0,4274= 0,5726

Расчетная часть

Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находятся следующим образом:

Вероятность отказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет

(A1)=p1 ∙ q2 ∙ q3 + p2 ∙ q1 ∙ q3 + p3 ∙ q1 ∙ q2 = 0,8428 ∙ 0,09537 ∙ 0,4274 + 0,90463 ∙ 0,1572 ∙ 0,4274 + 0,5726 ∙ 0,1572 ∙ 0,09537 = 0,103717

вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет(A2)= p1p2 q3 +p1p3q2 +p2p3q1 = 0,8428 ∙ 0,90463 ∙ 0,4274 + 0,8428 ∙ ∙0,5726 ∙ 0,09537 + 0,90463 ∙ 0,5726 ∙ 0,1572 = 0,45311

вероятность отказа всех трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет

(A3)=p1p2p3= 0,8428 ∙ 0,90463 ∙ 0,5726 = 0,43656

вероятность безотказной работы всех трех элементов во время испытаний в заданном интервале (0; 5) будет

(A4)=q1∙q2∙q3 = 0,4274 ∙ 0,09537 ∙ 0,1572 = 0,0064

Вывод

При заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным является отказ только двух элементов, а наименее вероятным - отказ всех трех элементов, так как

P(A1) = 0,103717 < P(A3) = 0,43656 < P(A2) = 0,45311

Вероятность же того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно P(A4) = 0,0064 ≈ 0,006

Список используемой литературы

Н. Нарольская «Методическое руководство по выполнению курсовой работы» «Минск-2010».

Л.С. Барковская «Теория вероятностей : практикум»/ Л.В. Станишевская, Ю.Н Черторицкий - Минск: БГЭУ, 2004.

А.П. Рябушко «Индивидуальные задания по высшей математике» Часть4 Минск «Высшая школа».

1.