О некоторых свойствах ганкелевых операторов над группами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра математического анализа

О некоторых свойствах ганкелевых операторов над группами

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы М-41 _____________Дыба Р.В.

Гомель 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

. Полухарактеры и характеры

.1 Начальные сведения

.2 Двойственность Понтрягина

.3 Функциональная характеристика показательной функции

.4 Полугруппа S_p

.4.1 Определение и некоторые свойства

.4.2 Инвариантная мера в S_p

.4.3 Полухарактеры и характеры в S_p

.5 Полугруппа S

.5.1 Определение и некоторые свойства

.5.2 Инвариантная мера в S

.5.3 Полухарактеры и характеры в S

. Операторы Ганкеля

.1 Определения матрицы и оператора Ганкеля

.2 Ганкелевы операторы в пространствах Харди

.3 Символы операторов Ганкеля и Теорема Нехари

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной курсовой работы является изучение некоторых полугрупп, возникающих в статистических вычислениях и их свойств, и некоторых свойств ганкелевых операторов над ними. В работе рассмотрен вопрос о введении в них инвариантной меры, а также находится общий вид полухарактеров и характеров двух полугрупп, имеющих немаловажное значение и использующихся в анализе на полумодулях. Также в данной работе рассмотрен основной пример оператора Ганкеля и изучены некоторые его свойства.

1. ПОЛУХАРАКТЕРЫ И ХАРАКТЕРЫ

.1 Начальные сведения

Частичным ассоциативным группоидом называют систему, состоящую из непустого множества S и отображения т(х,у) = ху (закона композиции), действующего из непустого подмножества произведения S x S в S и обладающего свойством ассоциативности. Если т определено не на всем произведении S x S, то S называют полугруппой. Полугруппа S называется абелевой (коммутативной), если ху = ух при всех х, у Î S. Далее мы будем, как правило, иметь дело с полугруппами.

Левым (правым) идеалом полугруппы S называется такое непустое подмножество AÍ S, что saÎA (asÎA) при всех sÎS, аÎА. Если А является и левым, и правым идеалом полугруппы S, то его называют (двусторонним) идеалом. Идеал полугруппы S называется простым, если его дополнение есть полугруппа.

Говорят, что подмножество Р полугруппы S обладает левыми (правыми) сокращениями на элементы S, если из равенства

sx = sy (xs = ys), где sÎS,

x, уÎP, следует равенство х = у. Мы скажем, что S - полугруппа с (двусторонними) сокращениями, если она обладает и левыми, и правыми сокращениями.

Группа G называется группой левых частных полугруппы S, если S погружается в G, и каждый элемент xÎG представляется в виде

х =а^-1b,

где a,bÎS. Известно (теорема Оре), что полугруппа S погружается в группу левых частных тогда и только тогда, когда она обладает сокращениями и реверсивна справа, т. е. Sa ∩Sb ≠ 0 для любых a, bÎ S. В частности, любая коммутативная полугруппа с сокращениями погружается в группу частных.

Полугруппа S, наделенная хаусдорфовой топологией, для которой отображение т(х,у) = ху из SS в S непрерывно, называется топологической полугруппой.

Топологическая группа - это топологическая полугруппа, являющаяся группой, в которой непрерывна также и операция перехода к обратному элементу. Топологическая группа называется локально компактной, если ее топологическое пространство локально компактно.

Скажем, что топологическая полугруппа S погружается в топологическую группу G, если существует взаимно-непрерывный инъективный гомоморфизм р: S → G. При этом, когда это удобно, мы будем отождествлять S с ее образом p(S) в группе G. В этом случае группа S ∩ S ^-1 обратимых элементов полугруппы S будет обозначаться G(S).

Если X - топологическое пространство, то наименьшая σ-алгебра β(Х) его подмножеств, содержащая все открытые множества, называется σ -алгеброй борелевских множеств. Мера μ, определенная на σ -кольце Í β(Х), называется внутренне регулярной, если для любого ВÎ  имеем

μ (B) = sup{μ (C):СÍ В,С Î ,С компактно}.

Мера на β(Х) называется борелевской мерой. Борелевская мера на хаусдорфовом пространстве X называется мерой Радона, если она внутренне регулярна, и меры всех компактных множеств конечны.

Левой мерой Хаара на локально компактной группе G называется мера Радона μ, инвариантная в том смысле, что μ(хВ) = μ(В) для любых ВÎ β (Х),

хÎ G. Известно (А. Хаар, А. Вейль), что левая мера Хаара всегда существует и единственна с точностью до множителя. То же верно для правой меры Хаара. Если группа абелева, то просто говорят о мере Хаара на группе G.

Пусть теперь S - топологическая полугруппа (не обязательно абелева). Полухарактером полугруппы S будем называть непрерывный гомоморфизм из S в полугруппу с операцией умножения (- единичный диск комплексной плоскости), отличный от тождественно нулевого. Пространство всех полухарактеров полугруппы S, наделенное топологией поточечной сходимости, будет обозначаться S*, а его подпространства, состоящие из всех вещественнозначных (положительных, ограниченных положительных) полухарактеров, - через S_r* (соответственно S₊*, S₁*).

Для топологической полугруппы S через S^ обозначим множество всех ее ограниченных полухарактеров (т. е. ненулевых непрерывных гомоморфизмов из S в замкнутый единичный диск  комплексной плоскости с операцией умножения), наделенное топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах S, а через S^₊ - подпространство этого пространства, состоящее из неотрицательных полухарактеров (разумеется, в дискретном случае

S₁* = S^₊).

Характером будем называть полухарактер, равный по модулю единице, а группа характеров будет обозначаться X.

Следует отметить, что даже в случае абелевых полугрупп с сокращениями множества S*, S₊*, S^, S^₊ и ряд их множеств являются относительно поточечного умножения лишь частичными ассоциативными группоидами. (Действительно, пусть, например, S есть мультипликативная полугруппа 23. Тогда индикаторы множеств 2 \ 3 и 3 \ 2 принадлежат S^₊, но их произведение равно нулю). Тем не менее, все эти группоиды являются полугруппами, если S содержит единицу.

.2 Двойственность Понтрягина

Пусть G - коммутативная группа. Как было определено выше, характером этой группы называется гомоморфизм G в группу Т (единичную окружность комплексной плоскости), т. е. такая функция  на G с комплексными значениями, равными 1 по абсолютной величине, что

(х + у) = (х)(у).  (1)

Если G - топологическая группа, то, как правило, термин «характер» означает «непрерывный характер». Мы будем считать все рассматриваемые характеры непрерывными, не оговаривая этого особо. Если  и  - характеры группы G, то их произведение  - также характер; если  - характер, то

 (комплексное сопряженное) - также характер. Таким образом, совокупность всех характеров данной группы G образует группу относительно операции обычного умножения функций. Эта группа обозначается G^ и называется группой, двойственной к G. Группа G становится топологической группой, если определить сходимость  как равномерную сходимость на каждом компакте K G.

Пример.

Пусть G =  - группа целых чисел. Ясно, что каждый характер  G^ определяется своим значением на образующем элементе 1 G (не путать 1 с единицей группы, роль которой играет 0). В самом деле, из (1) следует, что

 для всех ,                           (2)

Значение  может быть любым числом Т. Тем самым множество G отождествляется в этом случае с окружностью Т.

Теорема. Имеет место изоморфизм топологических групп ^ = Т.

Доказательство. Мы уже видели, что множество  естественно отождествляется с Т. Покажем, что это соответствие является изоморфизмом топологических групп. Будем обозначать через  характер, определяемый условием , Т. Равенство  показывает,

что соответствие  является изоморфизмом групп Т и ^. Осталось проверить, что это соответствие является гомеоморфизмом. Поскольку группа  дискретна, каждый компакт в  состоит из конечного числа точек. Значит, сходимость в  является поточечной сходимостью. Равенство (2) показывает, что  тогда и только тогда, когда , т. е. когда . Теорема доказана.

Также можно доказать, что группа Т^ изоморфна. Тогда получаем, что группы  и Т двойственны друг к другу. Этот факт является частным случаем принципа двойственности Л. С. Понтрягина:

Для любой локально компактной топологической группы G естественное отображение G в (G^)^, которое элементу gG ставит в соответствие характер f_g на G^ по формуле

,  G^,

является изоморфизмом топологических групп.

1.3 Функциональная характеристика показательной функции

Для нахождения характеров нам понадобится решать уравнения вида (1). Однако вначале рассмотрим задачу:

Найти все непрерывные в промежутке  функции f(x), удовлетворяющие условию

f(x+y) = f(x) + f(y),  (3)

каковы бы ни были значения x и у.

Уравнение (3) является простейшим примером так называемых функциональных уравнений, формулирующих некое свойство искомой функции, по которому она и должна быть найдена. Наша задача состоит в отыскании всех непрерывных решений уравнения (3).

Легко видеть, что линейные однородные функции вида

f(x) = cx ( c=const)  (4)

удовлетворяют этому уравнению. Покажем, что они будут единственными непрерывными функциями, имеющими свойство (3).

Прежде всего, с помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (3) на случай любого числа (=n) слагаемых:

= f(x) + f(y) +… + f(z) (5)

Действительно, если допустить верность его для какого-либо числа n2 слагаемых, то оно окажется верным и для n+1 слагаемых:

,

Полагая в (5) x = y = … = z, найдем:

f(nx) = nf(x).  (6)

Заменив здесь x на , получим

,

А затем, если подставить mx ( m- натуральное) вместо x и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению

  (7)

Положим теперь в основном уравнении (3) x = y = 0; получим

f(0) = 2f(0), откуда f(0)=0.   (8)

Если же взять y = - x, то, с учетом (8) найдем:

f(-x) = - f(x),

т. е. функция f(x) нечетная, тогда из (6) и (7) легко получить:

f(-nx) = - f(nx) = -n f(x)  (9)

и, аналогично, вообще

  (10)

Полученные соотношения (6) - (10) могут быть объединены в равенстве

f(rx) = rf(x),

справедливом для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное число r.

Если взять здесь x = 1 и обозначить f(1) через c, то получим

f(r) = сr.

Таким образом, мы, собственно говоря установили уже вид функции f, но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет условию (3), и не опирались на ее непрерывность.

Пусть теперь q будет любое иррациональное значение аргумента. Легко построить стремящуюся к нему последовательность рациональных чисел r₁, r₂, …, r_n, …

(можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). Мы только что показали, что

f(r_n) = сr_n (n = 1,2,…),

Перейдем здесь к пределу при ; справа мы получим сq, слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится

lim f(r_n) = f(q),

так что, окончательно,

f(q) = cq.

Таким образом, действительно, наша функция при всех вещественных значениях аргумента выражается формулой (4). Эта формула дает самое общее решение уравнения (3) в непрерывных функциях.

Вернемся теперь к уравнению (1). Решим его вначале для вещественно- значных функций. Итак, рассмотрим уравнение

f(x+y) = f(x) *f(y),  (3)

где f:  непрерывна. Нетрудно заметить, что если

f(x) = a^x (a > 0),  (4)

то, каковы бы ни были два вещественных числа x и у, равенство (3) всегда имеет место. Оказывается, что функциональным свойством (3), вместе со свойством непрерывности, показательная функция определяется вполне. Точнее говоря: единственной функцией, определенной и непрерывной во всем промежутке  и удовлетворяющей в нем условию (3), является показательная функция (если не считать функции, тождественно равной 0).

Иными словами, формула (4) - за указанным исключением - дает самое общее решение функционального уравнения (3) в непрерывных функциях.

Для доказательства этого рассмотрим произвольную функцию f(x), определенную и непрерывную при всех x и удовлетворяющую условию (3). Исключается тривиальный случай, когда f(x) 0.

Итак, при некотором значении x = х₀ эта функция отлична от 0.

Полагая в (3) у = х₀-х, получим

f(x)f(х₀-х) = f(х₀) 0;

отсюда ясно, что f(x) отлична от 0 при всяком х. Больше того, заменяя в (3) x и у через , найдем:

f(x) = ,

так что f(x) всегда строго положительна.

Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (3), например, по натуральному основанию е:

ln f(x+y) = ln f(x)+ln f(y).

Если положить

(x)= ln f(x),

то в лице (x) мы будем иметь функцию, непрерывную (как результат суперпозиции непрерывных функций, и удовлетворяющую условию:

 (x+y)= (x) +(y),

аналогичному (А). В таком случае, как мы установили, необходимо

(x)= ln f(x) = cx (с = const.),

откуда, наконец,

f(x) = e^cx = a^x

(если положить а = e^c), ч. и тр. д.

.4 Полугруппа S_p

.4.1 Определение и некоторые свойства

Рассмотрим множество неотрицательных действительных чисел . Кроме того, пусть , . Введем здесь алгебраическую операцию следующим образом:

, ,

(в дальнейшем будем рассматривать только такие x,y и p). Обозначим . Справедлива следующая

Доказательство. Очевидно, что введенная операция определена на всем множестве . Заметим, что

.

операция  ассоциативна на . Итак, по определению - полугруппа. Заметим также, что указанная операция коммутативна. Действительно:

Тогда  является абелевой полугруппой.

Установим наличие у  нулевого элемента . Нетрудно заметить, что таким элементом является число ноль (), т.к.

.

Единственность нуля следует из его единственности в .

Пусть теперь , . Тогда

,

,

.

Тогда получаем, что  обладает правыми сокращениями. Аналогично показывается, что  обладает и левыми сокращениями, т.е. обладает сокращениями.

Таким образом,  - абелева полугруппа с нулем, обладающая сокращениями, ч.т.д.

Теперь найдем группу частных , если она существует.

Рассмотрим . Пусть , т.е. .

.

Возможны следующие два случая:

) p - нечетное число. В этом случае . Тогда

 - группа частных, в которую погружается .

2) p - четное число. Тогда , где - один из p комплексных корней единицы, и группа частных имеет вид:

.

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Теорема.  погружается в группу частных

.4.2 Инвариантная мера в S_p

Рассмотрим полугруппу  и попытаемся ввести в ней инвариантную меру. Нетрудно убедится, что -алгебра борелевских множеств на  является сужением -алгебры борелевских множеств  на , т.е.

.

Теорема.  где , является -аддитивной инвариантной мерой, заданной в полугруппе .

Доказательство. Пусть - мера Лебега - Стилтьеса, где .

Она определена на, а значит, определена и на . Очевидно, что  строго возрастает на. Кроме того, она непрерывна, а значит, непрерывна слева на всей области определения. Тогда по свойствам меры -аддитивна. Осталось проверить ее инвариантность.

Докажем, что данная мера инвариантна слева, т.е.   . Ввиду -аддитивности меры  достаточно показать, что это верно для M = [a;b), где . Покажем это.

.

Заметим, что  непрерывна как композиция непрерывных функций, а значит . Тогда

  =

==

.

Итак, данная мера инвариантна слева. Аналогично показывается, что она инвариантна справа, ч.т.д.

1.4.3 Полухарактеры и характеры в S_p

Теорема. Отображение  является полухарактером  , где , а  таково, что .

Доказательство. 1) Пусть ,  непрерывно как композиция непрерывных отображений; кроме того,  . Также заметим, что

 ,

т.е.

.

Таким образом,  - полухарактер.

) Пусть теперь  - некоторый полухарактер. Тогда , т.е. . Положим , , g непрерывна как композиция непрерывных функций (φ непрерывна по условию). Тогда

 = и

.

Выше было показано (п. 1.3), что в этом случае , где .

Следовательно, , ч.т.д.

Замечание. Для характеров формулируется и доказывается аналогичная теорема, с той лишь разницей, что на константу c налагается условие | c | = 1.

.5 Полугруппа S

.5.1 Определение и некоторые свойства

Рассмотрим множество: . Введем на нем алгебраическую операцию следующим образом:

 .

Обозначим . Тогда справедливо утверждение:

Лемма. Множество  является абелевой полугруппой без нулевого элемента и обладает сокращениями.

Доказательство. Очевидно, что введенная операция определена на всем множестве. Нетрудно видеть, что

=

=  =

.

операция  ассоциативна на . Тогда по определению - полугруппа. Заметим, указанная операция коммутативна. Действительно:

.

Значит,  является абелевой полугруппой.

В не существует нулевого элемента, т.к. таким элементом может являться только пара (0,0).

,

Получаем, что  обладает правыми сокращениями. Аналогично показывается, что  обладает и левыми сокращениями, т.е. обладает сокращениями.

Итак,  - абелева полугруппа с нулем, обладающая сокращениями, ч.т.д.

Замечание. Наряду с полугруппой  мы также можем рассматривать и полугруппу , для которой верна аналогичная лемма.

.5.2 Инвариантная мера в S

Попытаемся ввести в  инвариантную меру. Нетрудно убедится,

что -алгебра борелевских множеств на  является сужением -алгебры борелевских множеств  на , т.е.

.

В  можно ввести меру Лебега (обозначим её ). Тогда положим  . Заметим, что  , значит естественно определить: .  определяется через меру Лебега, а стало быть является -аддитивной мерой.

В существует топология, индуцированная естественной топологией . Она является топологической полугруппой, т.к. отображение  является непрерывным.

Теорема.  является инвариантной мерой, заданной в полугруппе .

Доказательство. Докажем, что данная мера инвариантна слева, т.е.   . Ввиду -аддитивности меры  достаточно показать, что это верно для M = [a;b), где ,. Покажем это.

.

Т.к.  непрерывна, то  

Тогда .

Итак, данная мера инвариантна слева. Аналогично показывается, что она инвариантна справа, ч.т.д.

1.5.3 Полухарактеры и характеры в S

Справедливо следующее утверждение:

Теорема. Отображение  является полухарактером  , где ,  так, что  и .

Доказательство. 1) Отображение  непрерывно как композиция непрерывных отображений; кроме того,   и . Также верно, что  . Действительно.

 .

Таким образом,  - полухарактер.

) Пусть теперь  - некоторый полухарактер. Тогда  , т.е.

.

Заметим, что . Обозначим , тогда  . Положим , , f непрерывна как композиция непрерывных функций (φ непрерывна по условию). Тогда  ,

 и мы придем к равенству

,

.

Заметим, что  . Тогда   т., что  , отсюда следует, что   (f непрерывна). Это верно . Тогда, положив , получим: , c=const, . Тогда  .

Вернемся к равенству . Пусть в нем , тогда при  .

Если , то получаем равенство .

Тогда  т., что , и, следовательно,

,

Откуда и получим, что .

Для отрицательных значений x проводятся аналогичные рассуждения.

Итак , ч.т.д.

Замечание. Если | c | = 1 и | a | = 1, то мы получим соответствующую теорему для характеров.

2. ОПЕРАТОРЫ ГАНКЕЛЯ

.1 Определения матрицы и оператора Ганкеля

Рассмотрим преобразование числовых последовательностей

,

связанное с бесконечной матрицей . Начальный способ введения оператора Ганкеля состоит в том, чтобы рассмотреть специальный случай тех преобразований ,у которых каждая из диагоналей, перпендикулярных к главной диагонали, состоит из одинаковых элементов, т.е.   для некоторой числовой последовательности . Это приведет нас к следующему определению.

Определение. Оператором Ганкеля, действующим из одного пространства последовательностей X в другое Y, , называется отображение, которому соответствует матрица с элементами

, .

Матрица , элементы которой задаются указанным образом, называется матрицей Ганкеля:

.

Замечание. Мы можем переписать это условие в виде равенства операторов. Определим оператор сдвига

и его левый обратный

.

Рассмотрим , где , является естественным базисом в пространстве числовых последовательностей. Тогда  - n-ый столбик матрицы , и  совпадает с . Поэтому, следующая простая перестановка на матрице

показывает, что  - оператор Ганкеля тогда и только тогда, когда

Классическое пространство, рассматриваемое в теории операторов Ганкеля (и это единственное, которое мы рассмотрим здесь) - обычное гильбертово пространство последовательностей

.

.2 Ганкелевы операторы в пространствах Харди

Рассмотрим отображение

,

где  - пространство Харди. Тогда действие оператора S на  есть умножение на независимую переменную :

,

и действие его левого обратного S* есть действие усеченного оператора умножения

,

где  - ортогональная проекция . Теперь мы можем рассматривать операторы Ганкеля как операторы, действующие между пространствами  и   с базисами  и . Чтобы сделать это, мы вводим инволюцию

на . Тогда , и в частности .

Пусть  будет оператором Ганкеля. Тогда оператор

определяется матрицей  относительно базисов , и удовлетворяет следующему равенству операторов (так называемое уравнение Ганкеля)

,

(где ). Действительно, замечая, что , мы получим

.

.3 Символы операторов Ганкеля и Теорема Нехари

Теперь мы рассмотрим характерный пример оператора Ганкеля.

Лемма. Пусть  и .

Тогда 1)  - ограниченный оператор Ганкеля,

) ,

) .

Доказательство. Пусть  и  удовлетворяют условиям леммы. Тогда  для всех , и

для . Следовательно,  - ограниченный оператор Ганкеля. Кроме того, для  мы имеем

,

отсюда

.

Ясно, что это равенство не выполняется для каждого , если функция  не голоморфная. Получим

для каждого , , и наконец

.

Лемма доказана.

Обратное утверждение также верно. Его называют теоремой Нехари.

Теорема (З. Нехари, 1957). Если оператор  является ограниченным оператором Ганкеля, то существует  такой, что и .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе были рассмотрены две полугруппы, возникающие в статистических вычислениях и основной пример ганкелевского оператора, изучены их простейшие свойства. Также решался вопрос о возможности введения инвариантных мер, велся поиск общего вида полухарактеров, характеров.

полухарактер функция ганкель оператор

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Р. Миротин. Гармонический анализ на абелевых полугруппах. // Под ред. А.Р. Миротина:- Гомель, ГГУ им. Ф.Скорины, 2008.- 11-12,46-47,207 с.

. А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. Теоремы и задачи Функционального анализа. // Под ред. А.А. Кириллова, А.Д. Гвишиани.- М: Наука, 1979.- 132-134,381 с.

. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1.- М: Наука, 1970.- 157-159 с.

4. N.K. Nikolski. Operators, Functions and Systems: An Ecipy Deaching. Vol. I.- Amer. Math. Sic.- 2002.- 179-182,461 c.